המרת ריביות לבסיס השוואה אחיד

שיעור זה עוסק בהפיכת נתוני ריבית בעלי מוסכמות שונות לבסיס אחד שניתן להשוואה. הרעיון המרכזי הוא שריבית שנתית נקובה, ריבית מנוכה מראש, ריבית רציפה וריבית ריאלית אינן ניתנות להשוואה ישירה; יש להמירן תחילה לריבית אפקטיבית תקופתית אחידה. בכל חישוב, התקופה הנבחרת נקבעת לפי התזרים או ההסכם, ולכן יש להתאים גם את הריבית וגם את האינפלציה לאותה תקופה.

ריבית נקובה וריבית אפקטיבית

ריבית נקובה היא שיעור הריבית המוצג בהסכם או בהצעה, בדרך כלל כשיעור שנתי, אך היא אינה בהכרח השיעור הכלכלי הסופי. כאשר הריבית מחושבת כמה פעמים בשנה, יש לפרק את הריבית הנקובה לתקופות חישוב. אם ריבית נקובה שנתית היא r_nom והיא מחושבת m פעמים בשנה, הריבית התקופתית לכל תקופת חישוב היא r_nom / m, והריבית האפקטיבית השנתית היא:

(1 + r_nom / m)^m - 1

ריבית אפקטיבית היא שיעור הריבית בפועל לתקופה, לאחר התחשבות בתדירות החישוב ובמועד התשלום. היא מודדת את העלות האמיתית ללווה ואת התשואה האמיתית למלווה. לדוגמה, ריבית נקובה שנתית של 12% המחושבת כל רבעון נותנת ריבית רבעונית של 3%, ולכן הריבית האפקטיבית השנתית היא:

(1.03)^4 - 1 ≈ 12.55%

לעומת זאת, אם נאמר בפירוש “ריבית שנתית אפקטיבית של 12%”, אין לפרק אותה ל-3% רבעוני; יש להתייחס אליה כריבית שנתית אחידה.

כל עוד לא נאמר אחרת, מקובל להניח שריבית שנתית הנתונה ללא פירוט היא ריבית אפקטיבית שנתית. בהשוואת הלוואות, הלווה מעדיף את הריבית האפקטיבית הנמוכה יותר, והמלווה מעדיף את הגבוהה יותר.

המרת ריבית אפקטיבית בין תקופות זמן שונות

המרה בין תקופות מתבצעת רק בין ריביות אפקטיביות. אם נתונה ריבית אפקטיבית לתקופה באורך T1 ונדרשת ריבית אפקטיבית לתקופה באורך T2, הקשר הוא:

1 + r2 = (1 + r1)^(T2 / T1)

ולכן:

r2 = (1 + r1)^a - 1

כאשר a = T2 / T1.

כאשר ממירים מתקופה ארוכה לתקופה קצרה, a קטן מ-1. כאשר ממירים מתקופה קצרה לתקופה ארוכה, a גדול מ-1. לדוגמה, אם הריבית האפקטיבית השנתית היא 12% ונדרשת ריבית רבעונית אפקטיבית, אז a = 0.25 ולכן:

r_q = (1.12)^0.25 - 1 ≈ 2.87%

אם נתונה ריבית רבעונית אפקטיבית של 2%, הריבית האפקטיבית השנתית היא:

(1.02)^4 - 1 ≈ 8.24%

בחירה בתקופת ההמרה נובעת מנתוני השאלה. אם נתונה סדרת תשלומים חודשית, יש להשתמש בריבית אפקטיבית חודשית גם אם הריבית המקורית נתונה כשנתית. אם התשלומים הם רבעוניים, יש להמיר לריבית רבעונית. אין לחלק ריבית אפקטיבית שנתית במספר התקופות; חלוקה פשוטה מתאימה רק לריבית נקובה לצורך מציאת הריבית התקופתית לפני חישוב אפקטיבי.

ריבית מנוכה מראש

ריבית מנוכה מראש היא ריבית המשולמת או נזקפת בתחילת התקופה, לא בסופה. במקרה נפוץ של הלוואה, הבנק מנכה את הריבית מסכום הפנים של ההלוואה במועד קבלתה, והלווה מחזיר את סכום הפנים בסוף התקופה. לכן הקרן שהלווה מקבל בפועל קטנה מסכום הפנים, ועלות ההלוואה בפועל גבוהה משיעור הניכוי.

אם שיעור הניכוי לתקופה הוא i, והלווה מקבל בפועל 1 - i מכל יחידת סכום פנים, הריבית האפקטיבית לאותה תקופה היא:

r_eff = i / (1 - i)

לדוגמה, הלוואה שבה נאמר כי ריבית שנתית מנוכה מראש היא 12%: על כל 100 ש”ח סכום פנים מקבל הלווה 88 ש”ח ומחזיר 100 ש”ח בסוף השנה. הריבית האפקטיבית השנתית היא:

12 / 88 ≈ 13.64%

ההמרה ההפוכה, מריבית אפקטיבית לשיעור ניכוי מראש, היא:

i = r_eff / (1 + r_eff)

גם כאן יש להקפיד על אותה תקופה. אם שיעור הניכוי הוא רבעוני, הנוסחה נותנת ריבית אפקטיבית רבעונית, ורק לאחר מכן ניתן להמיר אותה לשנתית או לכל תקופה אחרת.

ריבית המחושבת ברציפות

ריבית רציפה היא גבול של חישוב ריבית בתדירות אינסופית. השיעור הרציף, המסומן לעיתים i, אינו ריבית אפקטיבית ואינו משולם פעם אחת בסוף תקופה; הוא מתאר קצב צבירה רגעי. לכן אין להשוותו ישירות לריבית שנתית רגילה.

הקשר בין ריבית רציפה שנתית i לבין ריבית אפקטיבית שנתית הוא:

r_eff = e^i - 1

והקשר ההפוך הוא:

i = ln(1 + r_eff)

לדוגמה, ריבית רציפה שנתית של 10% שקולה לריבית אפקטיבית שנתית של:

e^0.10 - 1 ≈ 10.52%

אם נתונה ריבית אפקטיבית שנתית של 12%, הריבית הרציפה המקבילה היא:

ln(1.12) ≈ 11.33%

כאשר הריבית הרציפה נתונה לתקופה שאינה שנתית, יש להמיר תחילה את הריבית הרציפה לריבית אפקטיבית לאותה תקופה, ורק אחר כך להמיר בין תקופות לפי אותו כלל מעריכי.

משוואת פישר והתאמה בין ריבית נומינלית לריאלית

משוואת פישר מקשרת בין ריבית נומינלית, ריבית ריאלית ואינפלציה. הריבית הנומינלית נמדדת במונחי כסף, הריבית הריאלית נמדדת במונחי כוח קנייה, והאינפלציה היא שיעור העלייה במדד המחירים. המשוואה היא:

1 + i = (1 + r)(1 + g)

כאשר i היא ריבית נומינלית אפקטיבית לתקופה, r היא ריבית ריאלית אפקטיבית לאותה תקופה, ו-g הוא שיעור האינפלציה באותה תקופה. אם אחד הנתונים ניתן לתקופה שונה, יש להמיר אותו לאותה תקופה לפני הצבה במשוואה.

המשוואה מאפשרת לחלץ כל אחד מהמשתנים. לדוגמה, אם ריבית נומינלית שנתית היא 7% וריבית ריאלית שנתית היא 3%, שיעור האינפלציה הגלום הוא:

(1.07 / 1.03) - 1 ≈ 3.88%

אם ריבית ריאלית שנתית היא 3% ואינפלציה שנתית צפויה היא 3%, הריבית הנומינלית היא:

(1.03)(1.03) - 1 = 6.09%

אותו עיקרון המרה חל גם על שיעור אינפלציה ועל ריבית ריאלית: אין לערבב אינפלציה שנתית עם ריבית רבעונית. אם נתונה אינפלציה שנתית וריבית רבעונית, יש להמיר את האינפלציה לרבעונית או את הריבית לשנתית לפני ההצבה במשוואת פישר.

יש להבחין בין אינפלציה בפועל לאינפלציה חזויה. בהלוואה צמודה למדד, התשלומים מתעדכנים לפי האינפלציה בפועל, ולכן הריבית המתאימה להשוואה היא ריבית ריאלית. בהלוואה לא צמודה, התשלומים הנומינליים קבועים מראש, והריבית הנומינלית מגלמת את האינפלציה החזויה. לפיכך, השוואה בין מסלול צמוד למסלול לא צמוד מחייבת שימוש עקבי בריבית ריאלית, בריבית נומינלית ובאינפלציה המתאימה לאותו מסלול, וזאת רק לאחר שכל השיעורים הוגדרו לאותה תקופת זמן.