מתיק מינימום שונות לחזית היעילה

השיעור עוסק בבניית תיקי השקעה משני נכסים מסוכנים ובמעבר מקבוצת כל השילובים האפשריים אל קבוצת השילובים שכדאי למשקיע רציונלי לבחור מהם. הרעיון המרכזי הוא שפיזור בין נכסים יכול להקטין את סטיית התקן של התיק, אך לא כל שילוב משיג תמורה מספקת לתוספת הסיכון. לכן תחילה מאתרים את התיק בעל השונות הנמוכה ביותר, ולאחר מכן מגדירים את החזית היעילה ואת השפעתו של נכס חסר סיכון.

איתור תיק מינימום השונות בשילוב שני נכסים

נניח שני נכסים מסוכנים, A ו־B. המשקיע מחלק את הונו ביניהם באמצעות משקלות X_A ו־X_B, כך שמתקיים X_A+X_B=1. תוחלת התשואה של התיק היא ממוצע משוקלל של תוחלות התשואה של הנכסים:

E(r_P)=X_AE(r_A)+X_BE(r_B)

לעומת זאת, שונות התשואה של התיק אינה ממוצע משוקלל פשוט, משום שהיא תלויה גם במתאם בין תשואות הנכסים:

σ_P^2=X_A^2σ_A^2+X_B^2σ_B^2+2X_AX_Bσ_Aσ_Bρ_{AB}

כאשר ρ_{AB} הוא מקדם המתאם בין תשואות שני הנכסים.

תיק מינימום השונות (MVP – Minimum Variance Portfolio) הוא השילוב של X_A ו־X_B שמניב את השונות הנמוכה ביותר מבין כל התיקים האפשריים. כאשר מתקיים פתרון פנימי שאינו מקרה קצה של מתאם מלא, ניתן לחשב את המשקל בנכס A לפי הנוסחה:

X_A(MVP) = [σ_B² − σ_Aσ_Bρ_AB] / [σ_A² + σ_B² − 2σ_Aσ_Bρ_AB]

והמשקל בנכס B הוא X_B(MVP) = 1 − X_A(MVP).

להמחשה, נשתמש בשני נכסים בלתי מתואמים:

נכס	תוחלת תשואה	סטיית תקן
A	15%	10%
B	10%	20%

במקרה זה ρ_{AB}=0, ולכן:

X_A(MVP) = 0.20² / (0.10² + 0.20²) = 0.8

כלומר, תיק מינימום השונות מורכב מ־80% בנכס A ו־20% בנכס B. תוחלת התשואה שלו היא:

0.8 × 15% + 0.2 × 10% = 14%

וסטיית התקן היא בערך 8.94%. קיבלנו סטיית תקן נמוכה מזו של נכס A לבדו, אף שנכס A הוא הפחות מסוכן מבין השניים. זוהי הדגמה של אפקט פיזור הסיכון.

במקרה של מתאם חיובי מלא, ρ_{AB}=1, סטיית התקן של התיק היא צירוף ליניארי של סטיות התקן של הנכסים, ולכן אין פיזור סיכון. ללא מכירה בחסר, תיק מינימום השונות יהיה ההשקעה בנכס הפחות מסוכן. במקרה של מתאם שלילי מלא, ρ_{AB}=-1, ניתן לבנות תיק שסטיית התקן שלו שווה לאפס, אם בוחרים את המשקל בנכס A כך ש־X_Aσ_A=X_Bσ_B, כלומר:

X_A(MVP) = σ_B / (σ_A + σ_B)

תיק אפשרי, תיק נשלט ותיק יעיל

תיק אפשרי הוא כל תיק שניתן ליצור אותו באמצעות חלוקת ההון בין הנכסים הקיימים, גם אם אינו כדאי. במישור שבו הציר האופקי מציג סטיית תקן והציר האנכי מציג תוחלת תשואה, כל שילוב של שני נכסים מתווה קו או עקומה של תיקים אפשריים.

תיק נשלט הוא תיק שקיים עבורו תיק אחר בעל תוחלת תשואה גבוהה יותר וסטיית תקן נמוכה יותר, או תיק שווה באחד המדדים וטוב יותר במשנהו. משקיע רציונלי לא יבחר בתיק נשלט, משום שיש חלופה עדיפה עליו בכל ממד רלוונטי.

תיק יעיל הוא תיק שאינו נשלט. באופן שקול, תיק יעיל הוא תיק שמשיג את תוחלת התשואה הגבוהה ביותר עבור רמת סיכון נתונה, או את הסיכון הנמוך ביותר עבור תוחלת תשואה נתונה.

בשילוב שני נכסים, נקודת תיק מינימום השונות מחלקת את קבוצת התיקים האפשריים לשני חלקים. החלק שמציג סיכון גבוה יותר ותוחלת תשואה נמוכה יותר ביחס לתיקים אחרים הוא אזור התיקים הנשלטים. החלק שמתחיל בנקודת מינימום השונות וממשיך לכיוון תוחלת התשואה הגבוהה יותר הוא החזית היעילה של הנכסים המסוכנים. לכן אין לראות את כל הקו שבין שני הנכסים כחזית יעילה; רק הענף שמעל נקודת מינימום השונות מקיים את תנאי היעילות.

משקלים שליליים ומגבלות משקל במצב של מכירה בחסר

הנוסחה לתיק מינימום השונות מניבה לעיתים משקל שלילי או משקל גדול מ־1. כדי לפרש זאת, יש להבחין תחילה בין שני מצבים. כאשר אסורה מכירה בחסר, המשקלות חייבות לקיים 0 ≤ X_A, X_B ≤ 1. במצב כזה, אם הפתרון הפנימי של הנוסחה יוצא מתחום זה, הוא אינו אפשרי, והפתרון נמצא על השפה. בשילוב של שני נכסים ללא מכירה בחסר, הפתרון יהיה ההשקעה בנכס בעל השונות הנמוכה יותר מבין השניים.

מכירה בחסר היא מכירת נכס שהמשקיע אינו מחזיק בו, תוך שימוש בתמורה למימון רכישה של נכס אחר. במצב כזה, המשקל של הנכס שנמכר בחסר הוא שלילי, ואילו המשקל בנכס הנרכש יכול להיות גדול מ־1. סכום המשקלות הכולל נשאר 1, אך המגבלה שכל משקל בודד יהיה אי־שלילי אינה חלה.

משקל שלילי אינו מעיד בהכרח על הפסד צפוי. הוא מבטא חשיפה קצרה לנכס: אם תשואת הנכס שנמכר בחסר יורדת, עמדה זו עשויה לתרום לתיק, ואם היא עולה, היא עלולה להגדיל את ההפסד. לכן מכירה בחסר יכולה להרחיב את קבוצת התיקים האפשריים ולאפשר תיקים בעלי סיכון נמוך יותר או תוחלת גבוהה יותר, אך היא גם חושפת את המשקיע לסיכונים נוספים.

שילוב נכס חסר סיכון עם תיק הנכסים המסוכנים

עד כה דנו בנכסים מסוכנים בלבד. כעת נוסיף נכס חסר סיכון, כלומר נכס שתשואתו r_f ידועה מראש וסטיית התקן של תשואתו היא אפס.

אם משקיעים חלק w בתיק מסוכן P ואת היתרה בנכס חסר הסיכון, מתקבלת תוחלת תשואה:

E(r_C)=wE(r_P)+(1-w)r_f

וסטיית התקן של השילוב היא:

σ_C=wσ_P

כאשר w חיובי. הקשר בין תוחלת התשואה לסטיית התקן הוא אפוא קו ישר. שיפוע הקו הוא:

[E(r_P) − r_f] / σ_P

שיפוע זה נקרא יחס שארפ, והוא מודד את עודף התשואה המתקבל לכל יחידת סיכון.

כאשר קיים נכס חסר סיכון, לא מספיק לבחון תיקים על עקומת הנכסים המסוכנים בלבד. יש לחפש את התיק המסוכן שיוצר את הקו בעל השיפוע הגבוה ביותר מנקודת הנכס חסר הסיכון. תיק זה הוא תיק ההשקה של הקו עם חזית הנכסים המסוכנים, והוא ממקסם את יחס שארפ. במסגרת CAPM ובתנאי שיווי משקל, תיק ההשקה מזוהה עם תיק השוק; במודל תיקי השקעה כללי הוא פשוט התיק המסוכן שממקסם את יחס שארפ.

החזית היעילה החדשה אינה העקומה של הנכסים המסוכנים, אלא הקו הישר שמתחיל בנקודת התשואה חסרת הסיכון ועובר דרך תיק ההשקה. משקיעים שונים בוחרים נקודות שונות על הקו בהתאם לרמת שנאת הסיכון שלהם: משקיע זהיר יותר ישקיע חלק גדול יותר בנכס חסר הסיכון, ומשקיע שמוכן ליטול סיכון גבוה יותר ישקיע חלק גדול יותר בתיק המסוכן, ואף יכול ללוות בשיעור חסר הסיכון כדי להגדיל את חשיפתו לתיק המסוכן.