התפלגות נורמלית וציון תקן – מבנה ההתפלגות

בשיעור זה נבחן את המבנה הגרפי של התפלגות נורמלית ואת הסימנים לזיהוי שלה. התפלגות נורמלית מתארת נתונים שמתרכזים סביב הממוצע, יורדים בהדרגה ככל שמתרחקים ממנו ויוצרים עקומה סימטרית דמויית פעמון. הממוצע וסטיית התקן אינם רק מספרים לחישוב: הם קובעים את מיקום העקומה ואת צורתה, ולכן הם מאפשרים להבין היכן נמצאים רוב הנתונים וכיצד לקרוא גרף נתונים.

זיהוי התפלגות נורמלית בגרף

התפלגות נורמלית היא התפלגות שכיחויות של משתנה כמותי, שבה רוב הערכים קרובים יחסית לממוצע, ורק מעט ערכים רחוקים ממנו. בגרף רציף, התפלגות כזו נראית כעקומה חלקה דמויית פעמון, ולכן היא נקראת לעיתים עקומת פעמון.

הזיהוי הראשוני נעשה לפי שלושה סימנים עיקריים:

• העקומה סימטרית סביב קו אנכי שעובר בנקודת הממוצע.
• יש לה שיא אחד בלבד, והוא נמצא במרכז ההתפלגות.
• ככל שמתרחקים מהממוצע ימינה או שמאלה, גובה העקומה יורד בהדרגה.

בגרף שכיחויות רגיל, כגון דיאגרמת עמודות או מצולע שכיחויות, אפשר לראות לעיתים צורה שמזכירה פעמון. כשמספר הנתונים גדול והערכים רציפים, הצורה עשויה להתקרב לעקומה נורמלית חלקה. עם זאת, לא כל צורה דמויית פעמון היא בהכרח התפלגות נורמלית; יש לבדוק גם סימטריה, שיא יחיד ודעיכה מסודרת בקצוות.

נתונים אמיתיים אינם תמיד נורמליים בדיוק; לעיתים הגרף מקיים את התכונות רק בקירוב. לכן, אם צורת הגרף סימטרית בקירוב, בעלת שיא מרכזי אחד ודעיכה הדרגתית בקצוות, אפשר להתייחס אליה כהתפלגות נורמלית לצורך ניתוח ראשוני של הנתונים.

הבחנה בין התפלגות נורמלית להתפלגויות שאינן נורמליות

כדי לזהות התפלגות נורמלית, חשוב גם לדעת מה אינו נורמלי. בגרפים של נתונים אמיתיים יכולות להופיע צורות שונות שאינן מקיימות את תכונות העקומה הנורמלית.

התפלגות אסימטרית היא התפלגות שבה צד אחד של הגרף ארוך או נמוך יותר מהצד השני. אם לעקומה יש זנב ארוך לכיוון הערכים הגבוהים, היא נקראת התפלגות אסימטרית ימנית. אם הזנב הארוך פונה לכיוון הערכים הנמוכים, היא נקראת התפלגות אסימטרית שמאלית. הזנב הוא החלק המתמשך והנמוך יותר של העקומה, והוא מצביע על כיוון הערכים החריגים. בהתפלגות אסימטרית הממוצע אינו עומד במרכז הסימטרי של הגרף, ולכן היא אינה נורמלית.

התפלגות אחידה היא התפלגות שבה שכיחויות הערכים דומות זו לזו לאורך טווח הערכים. בגרף כזה אין שיא בולט במרכז ואין צורת פעמון, ולכן גם היא אינה התפלגות נורמלית.

התפלגות רב־שיאית היא התפלגות שבה יש יותר משיא אחד. למשל, גרף עם שתי פסגות ברורות עשוי להעיד על שתי קבוצות שונות שנמדדו יחד. מאחר שבעקומה נורמלית יש שיא יחיד בלבד, התפלגות רב־שיאית אינה נורמלית.

בעת זיהוי גרף, יש לבדוק את שלושת הסימנים יחד: סימטריה, שיא יחיד ודעיכה בקצוות. אם אחד מהם חסר, יש מקום להטיל ספק בכך שההתפלגות נורמלית.

תכונות העקומה הנורמלית

העקומה הנורמלית היא מודל גרפי להתפלגות נתונים. שלוש התכונות שלה מתארות כיצד הנתונים מסודרים סביב הממוצע.

סימטריה סביב הממוצע

העקומה הנורמלית סימטרית ביחס לקו אנכי שעובר בנקודת הממוצע. אם נחלק את הגרף לשני צדדים לאורך קו זה, הצד הימני והצד השמאלי יהיו דמויי תמונת ראי זה של זה.

הסימטריה אינה רק צורה יפה; היא מבטאת תכונה של הנתונים: המרחק מהממוצע משמאל דומה למרחק מהממוצע מימין. לכן, באופן עקרוני, אחוז הנתונים במרחק מסוים מתחת לממוצע דומה לאחוז הנתונים במרחק זהה מעל הממוצע.

שיא יחיד במרכז

בעקומה נורמלית יש שיא אחד בלבד. השיא הוא הנקודה הגבוהה ביותר בגרף, והוא מייצג את האזור שבו השכיחות גדולה ביותר. בהתפלגות נורמלית שיא זה נמצא מעל הממוצע.

שיא יחיד במרכז מלמד שהנתונים אינם מתפצלים לכמה קבוצות מרכזיות. רוב הערכים נמצאים סביב אותו אזור מרכזי, ואין פסגה נפרדת נוספת שמושכת חלק משמעותי מהנתונים.

דעיכה בקצוות

ככל שמתרחקים מהממוצע, שכיחות הערכים קטנה. הירידה אינה חדה ופתאומית אלא הדרגתית, ולכן העקומה יורדת באופן חלק לעבר הקצוות. תכונה זו נקראת דעיכה בקצוות.

לכן העקומה אינה יורדת בדרך כלל לאפס בבת אחת, אלא מתקרבת אליו בהדרגה. המשמעות היא שערכים רחוקים מאוד מהממוצע נדירים יחסית. נתונים קיצוניים יכולים להופיע, אך ככל שהם רחוקים יותר מהממוצע, שכיחותם קטנה יותר.

תפקיד הממוצע: מיקום מרכז העקומה

הממוצע הוא מדד המיקום המרכזי של ההתפלגות הנורמלית. בעקומה נורמלית הממוצע קובע את מיקום השיא ואת ציר הסימטריה. לכן, אם נדע מהו הממוצע, נוכל לדעת היכן נמצא מרכז הגרף על ציר הערכים.

כאשר משווים שתי התפלגויות נורמליות עם אותה סטיית תקן אך ממוצעים שונים, צורתן תהיה דומה, אך אחת תהיה מוזזת ימינה או שמאלה ביחס לשנייה. לדוגמה, אם התפלגות אחת מתארת מדידות שממוצען נמוך יותר, העקומה שלה תופיע שמאלה יותר על הציר. אם הממוצע גבוה יותר, העקומה תופיע ימינה יותר.

הממוצע אינו קובע את רוחב העקומה. הוא אינו אומר אם הנתונים מרוכזים מאוד סביבו או מפוזרים על פני טווח רחב; לשם כך משמשת סטיית התקן. שינוי בממוצע בלבד אינו משנה את מידת הפיזור של הנתונים, אלא רק מזיז את כל העקומה על הציר.

תפקיד סטיית התקן: רוחב העקומה ופיזור הנתונים

סטיית התקן היא מדד לפיזור הנתונים סביב הממוצע. בהתפלגות נורמלית סטיית התקן קובעת עד כמה העקומה רחבה או צרה, שטוחה או תלולה.

כאשר סטיית התקן קטנה, רוב הנתונים קרובים לממוצע. בגרף תופיע עקומה צרה ותלולה יחסית: היא עולה במהירות לשיא ויורדת ממנו במהירות. הנתונים מרוכזים באזור מצומצם סביב הממוצע.

כאשר סטיית התקן גדולה, הנתונים מפוזרים על פני טווח רחב יותר. בגרף תופיע עקומה רחבה ושטוחה יותר: הירידה לקצוות מתונה יותר, והערכים מתפרשים על פני טווח גדול יותר סביב הממוצע.

לכן, אם שתי עקומות נורמליות מתארות שתי קבוצות בעלות ממוצע זהה אך סטיות תקן שונות, שתיהן יהיו מרוכזות באותה נקודה על הציר, אך אחת תהיה צרה והשנייה רחבה. הבדל זה משפיע על מיקום הנתונים: בהתפלגות עם סטיית תקן גדולה, סביר יותר למצוא ערכים רחוקים מהממוצע. לעומת זאת, שינוי בסטיית התקן אינו מזיז את מרכז העקומה, אלא משנה את מידת הריכוז של הנתונים סביב הממוצע.

ציון תקן כמדידת מיקום ביחס להתפלגות

ציון תקן הוא מספר שמציין בכמה סטיות תקן נמצא ערך מסוים מהממוצע. הוא מתאים את הערך המקורי לסולם משותף שבו הממוצע הוא 0 וכל יחידה היא סטיית תקן אחת.

אם ערך שווה בדיוק לממוצע, ציון התקן שלו הוא 0. אם הערך גבוה מהממוצע, ציון התקן שלו חיובי. אם הערך נמוך מהממוצע, ציון התקן שלו שלילי. לדוגמה, ערך שנמצא סטיית תקן אחת מעל הממוצע מקבל ציון תקן 1, וערך שנמצא סטיית תקן אחת מתחת לממוצע מקבל ציון תקן 1-.

הנוסחה לציון תקן היא:

ציון תקן = (הערך − הממוצע) ÷ סטיית התקן

ציון תקן מאפשר להבין את מיקומו של נתון בתוך ההתפלגות, גם אם היחידות המקוריות שונות. למשל, אפשר להשוות ציון במבחן אחד לציון במבחן אחר באמצעות ציוני התקן, משום שהם מודדים את המרחק מהממוצע ביחס לפיזור של אותה התפלגות.

ככל שהערך המוחלט של ציון התקן גדול יותר, הנתון רחוק יותר מהממוצע. ציון תקן של 0 מציין מיקום מרכזי; ציון תקן חיובי מציין מיקום מעל הממוצע, וציון תקן שלילי מציין מיקום מתחתיו.

סימון סטיות תקן על ציר הערכים

כדי לקרוא גרף של התפלגות נורמלית, נהוג לסמן על ציר הערכים נקודות שנמצאות במרחקים קבועים של סטיות תקן מהממוצע. נקודות אלה עוזרות להבין היכן נמצאים הנתונים ביחס למרכז ההתפלגות.

אם הממוצע מסומן על הציר, אפשר לסמן סביבו את הערכים הבאים:

• הממוצע פחות סטיית תקן אחת
• הממוצע
• הממוצע ועוד סטיית תקן אחת
• הממוצע פחות שתי סטיות תקן
• הממוצע ועוד שתי סטיות תקן

סימון כזה ממחיש שהעקומה אינה רק צורה, אלא מפה של מיקומים. האזור הסמוך לממוצע מייצג את רוב הנתונים, והאזורים הרחוקים יותר מייצגים נתונים פחות שכיחים. נתון שנמצא רחוק מהממוצע במספר גדול של סטיות תקן נחשב קיצוני יחסית להתפלגות. הסימון מאפשר גם לזהות במהירות אם ערך נמצא באזור המרכזי של ההתפלגות או באחד הקצוות.

השוואת מיקום נתונים בשתי התפלגויות נורמליות

כאשר משווים נתונים משתי התפלגויות נורמליות שונות, לא די להשוות את הערכים עצמם. יש לבחון את מיקום כל ערך ביחס לממוצע וביחס לסטיית התקן של ההתפלגות שלו. שני נתונים שנמצאים סטיית תקן אחת מעל הממוצע בהתפלגויות שונות נמצאים באותו מיקום יחסי, אף על פי שערכיהם המספריים עשויים להיות שונים.

ייתכן שערך גבוה יותר במספרו יהיה פחות חריג מהממוצע בהתפלגות אחת, וערך נמוך יותר יהיה חריג יותר בהתפלגות אחרת. הבחינה נעשית באמצעות המרחק מהממוצע ביחידות סטיית תקן, כלומר באמצעות ציון התקן. כך אפשר לקבוע אם נתון קרוב למרכז, רחוק יחסית או קיצוני בהתפלגות שבה הוא נמצא.

לכן, לפני שמסיקים מסקנה מערך מספרי בודד, יש לבדוק את ההקשר ההתפלגותי שלו: מהו הממוצע של אותה התפלגות, מהי סטיית התקן שלה ומהו המרחק היחסי של הערך מהממוצע.