תזרימים שצומחים לאורך זמן

שיעור זה עוסק בהיוון של תזרימי מזומנים שאינם קבועים, אלא גדלים לאורך זמן בשיעור קבוע או בשיעור המשתנה בין שלבים. היוון הוא חישוב ערכו של סכום עתידי במועד מוקדם יותר, בדרך כלל היום, באמצעות שיעור ריבית. הרעיון המרכזי הוא שהערך של תזרים תלוי בתשלום הראשון הרלוונטי, בשיעור הצמיחה, בשיעור ההיוון ובאופק התשלומים, ולכן יש לזהות תחילה את מועד התשלום הראשון ואת הכללים החלים על כל שלב.

זיהוי התשלום הראשון בסדרה צומחת

סדרה צומחת היא רצף של תקבולים או תשלומים שבו כל סכום גדל מהסכום הקודם בשיעור קבוע. נסמן את שיעור הריבית התקופתי ב־r, את שיעור הצמיחה התקופתי ב־g, ואת התשלום הראשון בסדרה ב־PMT1. שני השיעורים חייבים להיות מותאמים לאותה תקופה: אם התשלומים שנתיים, גם r וגם g הם שנתיים; אם התשלומים חודשיים, השיעורים הם חודשיים.

התשלום הראשון הוא הסכום שיתקבל בתקופה הראשונה שנכללת בחישוב הערך. אם לא נאמר אחרת, מניחים שהוא חל בסוף התקופה הקרובה, כלומר בעוד תקופה אחת מהיום. תשלומים שכבר התקבלו בעבר אינם חלק מהערך הנוכחי של התזרים העתידי, ולכן אין להוסיף אותם לחישוב ואין להסיק מהם את התשלום הראשון הרלוונטי אלא אם כן הם משמשים רק כנקודת מוצא לגידול העתידי.

אם השאלה נותנת תשלום במועד מאוחר יותר, יש לחלץ ממנו את התשלום הראשון. אם התשלום בתקופה t ידוע, אז:

PMT1 = PMT_t / (1 + g)^(t − 1)

כאשר t נספר מתחילת הסדרה. אם ידוע התשלום הראשון עצמו, אפשר לחשב כל תשלום מאוחר יותר לפי:

PMT_t = PMT1 × (1 + g)^(t − 1)

כאשר שיעור הצמיחה משתנה בין שלבים, את התשלום הראשון של כל שלב מחשבים מתוך התשלום האחרון של השלב הקודם, לפי שיעור הצמיחה החדש. לכן זיהוי נכון של התשלום הראשון בכל שלב הוא תנאי לחישוב מדויק.

סדרה צומחת לצמיתות כאשר הריבית גבוהה מהצמיחה

צמיתות היא סדרת תשלומים שנמשכת ללא הגבלת זמן. כאשר הסדרה צומחת בשיעור קבוע g, ושיעור ההיוון r גבוה ממנה, ניתן לחשב את הערך הנוכחי של כל התשלומים העתידיים בנוסחה:

PV = PMT1 / (r − g)

הנוסחה תקפה רק כאשר r > g. בתנאי זה הטור האינסופי מתכנס, כלומר סכום הערכים המהוונים של התשלומים הוא סכום סופי. ככל שההפרש בין r ל־g קטן יותר, הערך הנוכחי גבוה יותר, משום שהתשלומים העתידיים שומרים על חלק גדול יותר מערכם לאחר ההיוון.

הערך שמתקבל מהנוסחה הוא הערך במועד שקודם לתשלום הראשון בתקופה אחת. לכן, אם התשלום הראשון יתקבל בעוד שנה, הנוסחה נותנת את הערך היום. אם התשלום הראשון יתקבל בעוד יותר מתקופה אחת, יש להוון את הערך שחושב למועד המבוקש. לדוגמה, אם התשלום הראשון יתקבל בעוד שלוש תקופות, הנוסחה נותנת ערך למועד 2, ויש לחלק אותו ב־(1 + r)^2 כדי לקבל את הערך במועד 0.

אם r ≤ g, הנוסחה אינה תקפה. במקרה כזה הערך של צמיתות צומחת אינו מתכנס לערך סופי במודל הבסיסי. אם שיעור הצמיחה שווה לשיעור ההיוון, כל תשלום שומר על ערך מהוון דומה לאורך הזמן; אם שיעור הצמיחה גבוה משיעור ההיוון, הערך המהוון של התשלומים המאוחרים הולך וגדל. לכן יש לבחון אופק זמן מוגבל, שינוי בהנחות הצמיחה, או שלב שבו הצמיחה מתמתנת.

סדרה צומחת בעלת אופק זמן מוגדר

כאשר מספר התשלומים ידוע וסופי, מסמנים אותו ב־N. זהו מספר התקבולים או התשלומים שיתקבלו מעתה והלאה, ללא תשלומים שכבר התקבלו. אם r ≠ g, הערך הנוכחי של סדרה צומחת בעלת אופק מוגדר הוא:

PV = PMT1 × [1 − ((1 + g) / (1 + r))^N] / (r − g)

אם r = g, אי אפשר להשתמש בנוסחה זו משום שהמכנה מתאפס. במקרה זה כל תשלום מהוון באותו יחס, והערך הנוכחי הוא:

PV = N × PMT1 / (1 + r)

גם כאן הערך שמתקבל הוא במועד שקודם לתשלום הראשון בתקופה אחת. אם התשלום הראשון אינו בעוד תקופה אחת, יש להעביר את הערך למועד הרצוי באמצעות היוון נוסף. אם התשלום הראשון יתקבל בעוד k תקופות, הערך שחושב הוא במועד k − 1, ולכן כדי לקבל את הערך במועד 0 יש לחלק אותו ב־(1 + r)^(k − 1).

בסדרה מוגבלת חשוב להבחין בין מועד התשלום האחרון לבין מועד הערך של הסדרה. אם הסדרה כוללת N תשלומים והתשלום הראשון הוא בעוד תקופה אחת, התשלום האחרון יתקבל בעוד N תקופות, אך הערך שמתקבל מהנוסחה הוא במועד 0. אם רוצים את ערך הסדרה במועד מאוחר יותר, יש להעביר את הערך קדימה או להוון אותו בהתאם למועד המבוקש.

פיצול תזרים כאשר שיעור הצמיחה משתנה בין שלבים

במקרים רבים שיעור הצמיחה אינו קבוע לאורך כל האופק. לדוגמה, תזרים יכול לצמוח בשיעור גבוה בשנים הראשונות ולאחר מכן בשיעור מתון יותר, או לעבור לצמיתות. במקרה כזה אין להשתמש בנוסחה אחת עם שיעור צמיחה יחיד, אלא לפצל את התזרים לשלבים שבהם שיעור הצמיחה קבוע.

סדר העבודה הוא:

1. מחלקים את התזרים לשלבים לפי שינויים בשיעור הצמיחה.
2. מחשבים את התשלום הראשון של כל שלב.
3. מחשבים את הערך של כל שלב במועד ההתחלה שלו, כלומר תקופה אחת לפני התשלום הראשון של אותו שלב.
4. מהוונים את הערכים שהתקבלו למועד המבוקש, בדרך כלל להיום, ומחברים את הערכים המהוונים כדי לקבל את הערך הכולל.

אם שלב ראשון כולל N1 תשלומים, התשלום האחרון בו הוא:

PMT1 × (1 + g1)^(N1 − 1)

אם השלב השני מתחיל מיד לאחר מכן, התשלום הראשון של השלב השני הוא:

PMT1 × (1 + g1)^(N1 − 1) × (1 + g2)

אם השלב השני הוא צמיתות שצומחת בשיעור g2, והריבית r גבוהה מ־g2, הערך של השלב השני במועד תחילתו הוא:

PMT2_1 / (r − g2)

כאשר PMT2_1 הוא התשלום הראשון של השלב השני. אם השלב השני מתחיל מיד לאחר השלב הראשון, הערך הזה מתקבל במועד שבו מסתיים השלב הראשון, כלומר במועד N1. כדי לצרף אותו לערך במועד 0, יש להוון אותו ב־(1 + r)^N1.

אם השלב השני אינו צמיתות אלא סדרה מוגבלת, מחשבים את ערכו לפי נוסחת הסדרה המוגבלת, ואז מהוונים את הערך שהתקבל למועד 0. אם בין השלבים יש תקופה שבה אין תשלומים, יש להתאים את מספר תקופות ההיוון כך שהערך של כל שלב יגיע בדיוק למועד שבו הוא נמדד.

העיקרון המנחה הוא שכל שלב מטופל כסדרה עצמאית, אך התשלום הראשון שלו נגזר מההמשכיות של התזרים. כך נשמרת הרציפות בין השלבים, ונמנעת טעות שבה מניחים שהתשלום הראשון של השלב המאוחר הוא סכום חדש שאינו קשור לשלב הקודם.