גאומטריה אנליטית – הקו הישר: ייצוגים ויחסים

השיעור עוסק בקשר שבין משוואה של ישר לבין הגרף שלו במערכת הצירים. הרעיון המרכזי: כל נקודה על הישר מקיימת את משוואת הישר, וכל זוג מספרים שמקיים את המשוואה מתאים לנקודה על הישר. מתוך הקשר הזה אפשר לחשב שיפוע, לכתוב משוואת ישר ולקבוע כיצד שני ישרים ממוקמים זה ביחס לזה.

הייצוג האלגברי והגרפי של ישר

במערכת צירים קרטזית יש שני צירים מאונכים: ציר אופקי המסומן בדרך כלל $x$, וציר אנכי המסומן $y$. כל נקודה במישור מתוארת על ידי זוג סדור של מספרים $(x,y)$, שבו הערך הראשון מציין את המיקום ביחס לציר $x$, והערך השני ביחס לציר $y$.

ייצוג אלגברי של ישר הוא משוואה שכל הנקודות על הישר מקיימות. ייצוג גרפי הוא הקו עצמו במערכת הצירים. שני הייצוגים מתארים את אותו אובייקט: המשוואה נותנת כלל חישובי, והגרף מציג את כל הנקודות שמקיימות את הכלל.

שתי צורות נפוצות לייצוג ישר:

• צורה מפורשת: $y=mx+n$. בצורה זו אפשר לראות מיד את שיפוע הישר ואת נקודת החיתוך עם ציר $y$.
• צורה כללית: $ax+by=c$, כאשר $a$ ו־$b$ אינם שניהם אפס. צורה זו מתאימה לכל ישר, כולל ישר אנכי.

לדוגמה, המשוואה $y=2x-3$ מתארת ישר שבו עבור כל עלייה של יחידה אחת בערך $x$, הערך $y$ עולה ב־2 יחידות. הנקודה $(0,-3)$ נמצאת על הישר, כי הצבת $x=0$ נותנת $y=-3$. גם הנקודה $(2,1)$ נמצאת עליו, כי $2\cdot2-3=1$. לעומת זאת, הנקודה $(1,0)$ אינה על הישר, כי $2\cdot1-3=-1$ ולא $0$.

כאשר נתון גרף של ישר, אפשר לבחור שתי נקודות עליו ולעבור מהן לתיאור אלגברי: תחילה מחשבים את השיפוע לפי שתי הנקודות, ואחר כך מוצאים את הקשר המלא בין $x$ ל־$y$. כאשר נתונה משוואה, אפשר לעבור לגרף על ידי מציאת שתי נקודות על הישר ושרטוט הקו העובר דרכן.

שיפוע הישר וכיוונו

שיפוע של ישר הוא היחס בין השינוי בערכי $y$ לשינוי בערכי $x$ בין שתי נקודות על הישר. אם נתונות שתי נקודות שונות על הישר, $(x_1,y_1)$ ו־$(x_2,y_2)$, ושני ערכי $x$ שלהן שונים, השיפוע הוא:

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

השיפוע מתאר את קצב השינוי של הישר. בבעיות כלכליות, למשל, שיפוע יכול לתאר קצב שינוי של עלות, הכנסה או כמות לפי שינוי במשתנה אחר.

לסימן השיפוע יש משמעות גרפית:

• שיפוע חיובי: הישר עולה משמאל לימין.
• שיפוע שלילי: הישר יורד משמאל לימין.
• שיפוע $0$: הישר אופקי ומקביל לציר $x$.
• ישר אנכי מהצורה $x=a$: אין לו שיפוע מוגדר, מפני שהשינוי בערכי $x$ בין שתי נקודות עליו הוא $0$, ואין אפשרות לחלק ב־$0$.

לדוגמה, אם שתי נקודות על ישר הן $(1,2)$ ו־$(4,8)$, אז:

$m=\frac{8-2}{4-1}=\frac{6}{3}=2$

כלומר, עבור כל יחידה שבה $x$ גדל, הערך $y$ גדל ב־2. שיפוע זה מתאים לישר עולה.

השיפוע מאפשר גם להשוות בין ישרים. ישרים בעלי שיפועים שווים נמשכים באותו כיוון, ולכן הם מקבילים או מתלכדים. ישרים בעלי שיפועים שונים נחתכים בנקודה אחת.

כתיבת משוואת ישר

כדי לכתוב משוואת ישר, דרושים בדרך כלל אחד משני סוגי נתונים: שיפוע ונקודה אחת, או שתי נקודות על הישר.

אם נתון שיפוע $m$ ונקודה $(x_1,y_1)$ שעל הישר, אפשר להשתמש בקשר:

$y-y_1=m(x-x_1)$

ולסדר אותו לצורה מפורשת $y=mx+n$.

לדוגמה, ישר ששיפועו $3$ ועובר בנקודה $(2,5)$:

$y-5=3(x-2)$

נפתח סוגריים:

$y-5=3x-6$

ולכן:

$y=3x-1$

אם נתונות שתי נקודות, תחילה מחשבים את השיפוע בעזרת הנוסחה לשיפוע, ואחר כך מציבים את השיפוע ואת אחת הנקודות. לדוגמה, עבור הנקודות $(1,4)$ ו־$(3,10)$:

$m=\frac{10-4}{3-1}=\frac{6}{2}=3$

נציב את השיפוע $3$ ואת הנקודה $(1,4)$:

$y-4=3(x-1)$

ולכן:

$y=3x+1$

שני מקרים מיוחדים:

• ישר אופקי: משוואתו $y=b$, ושיפועו $0$.
• ישר אנכי: משוואתו $x=a$, ואין לו שיפוע מוגדר ואין לו ייצוג בצורה מפורשת.

אפשר גם לעבור מצורה מפורשת לצורה כללית על ידי העברת אגפים. לדוגמה:

$y=3x+1$

ניתן לכתיבה גם כך:

$3x-y=-1$

בצורה הכללית אפשר להכפיל את שני אגפי המשוואה במספר שונה מאפס ולקבל משוואה אחרת למראה, אך אותו ישר.

מצבים הדדיים בין שני ישרים

שני ישרים במישור יכולים להימצא באחד משלושה מצבים: נחתכים, מקבילים או מתלכדים.

שני ישרים הם נחתכים אם יש להם נקודה משותפת אחת בלבד. בצורה מפורשת, תנאי מספיק לכך הוא שהשיפועים שונים. אם $m_1 \neq m_2$, הישרים נחתכים.

שני ישרים הם מקבילים אם אין להם נקודה משותפת. בצורה מפורשת, הם מקבילים אם השיפועים שווים אך נקודות החיתוך עם ציר $y$ שונות. כלומר, אם $m_1=m_2$ ו־$n_1 \neq n_2$, הישרים מקבילים.

שני ישרים הם מתלכדים אם כל נקודותיהם משותפות, כלומר יש להם אינסוף נקודות משותפות. בצורה מפורשת, הם מתלכדים אם יש להם אותו שיפוע ואותה נקודת חיתוך עם ציר $y$. בצורה כללית, הם מתלכדים אם המשוואות שקולות, כלומר אחת מתקבלת מהאחרת על ידי הכפלה במספר שונה מאפס.

דוגמאות:

• הישרים $y=2x+1$ ו־$y=2x+4$ הם מקבילים, כי השיפועים שווים אך נקודות החיתוך עם ציר $y$ שונות.
• הישרים $y=2x+1$ ו־$y=-x+1$ הם נחתכים, כי השיפועים שונים.
• הישרים $y=2x+1$ ו־$2y=4x+2$ הם מתלכדים, כי לאחר חלוקת המשוואה השנייה ב־2 מתקבלת בדיוק המשוואה הראשונה.

שימו לב: שוויון שיפועים לבדו אינו אומר בהכרח שהישרים מקבילים. אם יש להם שיפועים שווים ויש להם גם נקודה משותפת אחת, הם מתלכדים.

נקודות חיתוך עם הצירים

נקודת חיתוך של ישר עם ציר $y$ מתקבלת כאשר $x=0$. מציבים $x=0$ במשוואת הישר ומקבלים את ערך $y$. בצורה מפורשת $y=mx+n$, נקודת החיתוך עם ציר $y$ היא תמיד $(0,n)$.

נקודת חיתוך של ישר עם ציר $x$ מתקבלת כאשר $y=0$. מציבים $y=0$ במשוואת הישר ופותרים את המשוואה המתקבלת עבור $x$.

לדוגמה, עבור הישר:

$2x+3y=6$

נמצא תחילה את החיתוך עם ציר $y$. נציב $x=0$:

$2\cdot0+3y=6$

ולכן:

$3y=6,\quad y=2$

נקודת החיתוך עם ציר $y$ היא $(0,2)$.

כעת נמצא את החיתוך עם ציר $x$. נציב $y=0$:

$2x+3\cdot0=6$

ולכן:

$2x=6,\quad x=3$

נקודת החיתוך עם ציר $x$ היא $(3,0)$.

במקרים מיוחדים:

• ישר אנכי $x=a$ חותך את ציר $x$ בנקודה $(a,0)$, ואינו חותך את ציר $y$ אם $a \neq 0$.
• ישר אופקי $y=b$ חותך את ציר $y$ בנקודה $(0,b)$, ואינו חותך את ציר $x$ אם $b \neq 0$.

נקודת חיתוך של שני ישרים באמצעות מערכת משוואות

נקודת החיתוך של שני ישרים היא הנקודה שנמצאת על שניהם גם יחד. לכן שיעוריה חייבים לקיים את שתי משוואות הישרים בו־זמנית. מציאת נקודה זו נעשית על ידי פתרון מערכת משוואות ליניאריות.

כאשר שני הישרים נתונים בצורה מפורשת, דרך נוחה היא להשוות את הביטויים של $y$. לדוגמה, עבור הישרים:

$y=2x+1$

ו־

$y=-x+4$

נשווה את שני הביטויים:

$2x+1=-x+4$

נוסיף $x$ לשני האגפים:

$3x+1=4$

נחסר $1$:

$3x=3$

ולכן:

$x=1$

נציב $x=1$ באחת המשוואות, למשל $y=2x+1$:

$y=2\cdot1+1=3$

לכן נקודת החיתוך היא $(1,3)$.

פתרון מערכת המשוואות גם מאפשר לקבוע את המצב ההדדי בין הישרים:

• אם מתקבל פתרון יחיד, הישרים נחתכים.
• אם מתקבלת סתירה, כגון $1=-5$, אין נקודת חיתוך והישרים מקבילים.
• אם מתקבלת זהות, כגון $0=0$, יש אינסוף פתרונות והישרים מתלכדים.

לדוגמה, עבור הישרים $y=2x+1$ ו־$y=2x-5$, השוואה נותנת:

$2x+1=2x-5$

לאחר חיסור $2x$ משני האגפים מתקבל:

$1=-5$

זו סתירה, ולכן אין נקודת חיתוך והישרים מקבילים.

כאשר המשוואות נתונות בצורה כללית, אפשר לפתור את המערכת בשיטת הצבה או בשיטת חיבור וחיסור של משוואות. בכל מקרה, הפתרון המשותף של שתי המשוואות הוא נקודת החיתוך, אם היא קיימת.