גופים במרחב – חישוב, המרות וממדים חסרים

בשיעור זה נלמד לקרוא נתונים של גופים תלת־ממדיים ולתרגם אותם לשפה מתמטית: איך מחשבים נפח, שטח פנים ושטח מעטפת, ואיך מוצאים ממד חסר בעזרת נוסחה. כל חישוב מתחיל בזיהוי הגוף, רישום הנתונים, בחירת נוסחה מתאימה והקפדה על יחידות מידה.

מעבר בין ייצוג מילולי, ייצוג חזותי וייצוג סימבולי

את הגוף התלת־ממדי אפשר לתאר בשלושה אופנים. ייצוג מילולי הוא תיאור במילים, כגון: תיבה שאורכה 80 ס״מ, רוחבה 60 ס״מ וגובהה 40 ס״מ. ייצוג חזותי הוא תרשים או סרטוט של הגוף עם הנתונים. ייצוג סימבולי הוא כתיב מתמטי של הנתונים והקשרים ביניהם, למשל $a=80$, $b=60$, $c=40$ או $V=abc$.

כדי לעבור מייצוג מילולי לייצוג סימבולי, נרשום את שם הגוף ואת הממדים הידועים. נבחין בין אורך, רוחב, גובה, עומק, קוטר ורדיוס. אם נתון קוטר, הרדיוס הוא מחציתו. אם נתון שטח הבסיס, נבדוק מהי צורת הבסיס: ריבוע, מלבן, משולש או עיגול.

כדי לעבור מייצוג חזותי לייצוג סימבולי, נעתיק את כל המספרים והאותיות מהתרשים ונשים לב ליחידות. לעיתים התרשים מציג רק חלק מהממדים, ואת הממד החסר נחשב בעזרת נתון אחר, כגון שטח, נפח או היקף.

נפח, שטח פנים ושטח מעטפת

נפח של גוף הוא כמות המקום שהגוף תופס במרחב. הנפח נמדד ביחידות מעוקבות, כגון סמ״ק או מ״ק. לקובייה שאורך מקצועה 1 ס״מ יש נפח של 1 סמ״ק.

שטח פנים הוא סכום השטחים של כל הפאות החיצוניות של הגוף. בתיבה, בקובייה, במנסרה, בפירמידה ובגליל, שטח הפנים כולל את הבסיסים ואת הפאות הצדדיות.

שטח מעטפת הוא שטח הפאות העוטפות את הגוף, ללא הבסיסים. בגליל, שטח המעטפת הוא שטח הדופן הצדדית. בפירמידה, שטח המעטפת הוא סכום שטחי הפאות הצדדיות בלבד. בשאלות על צביעה, עטיפה או בניית דפנות, נחליט תחילה אם נדרש שטח מעטפת בלבד או שטח פנים מלא.

נוסחאות בסיסיות לגופים נפוצים

לפני הצבה בנוסחה נזהה את סוג הגוף ואת צורת הבסיס שלו. נסמן ב־$S_B$ את שטח הבסיס, וב־$h$ את הגובה של הגוף. בגליל ובחרוט $r$ הוא רדיוס הבסיס.

נוסחאות נפח:

• נפח תיבה: $V=abc$.
• נפח קובייה: $V=a^3$.
• נפח מנסרה: $V=S_B\cdot h$.
• נפח פירמידה: $V=\frac{1}{3}S_B\cdot h$.
• נפח גליל: $V=\pi r^2h$.
• נפח חרוט: $V=\frac{1}{3}\pi r^2h$.
• נפח כדור: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$.

נוסחאות שטח:

• שטח פנים של תיבה: $2(ab+ac+bc)$.
• שטח מעטפת של גליל: $2\pi rh$.
• שטח פנים של גליל: $2\pi r^2+2\pi rh$.
• שטח מעטפת של חרוט: $\pi r\ell$, כאשר $\ell$ הוא אורך הקו היוצר.
• שטח פנים של חרוט: $\pi r^2+\pi r\ell$.
• שטח פנים של כדור: $4\pi r^2$.

בתיבה ובקובייה אין תמיד בסיס יחיד מוגדר, ולכן נקפיד להבין מהשאלה אילו פאות נכללות בשטח המעטפת. כאשר הגוף מורכב מכמה גופים, נפרק אותו לגופים מוכרים, נחשב כל חלק בנפרד, ואז נחבר או נחסר לפי הנדרש.

מציאת ממדים חסרים בעזרת חישוב מספרי או אלגברי

ממד חסר הוא אורך, רוחב, גובה, רדיוס או קוטר שאינו נתון ישירות, אך אפשר לחשב אותו מתוך נתונים אחרים. הדרך: לכתוב את הנוסחה המתאימה, להציב את הנתונים הידועים ולפתור את המשוואה עבור הנעלם.

אם נתון נפח של תיבה ושני ממדים, נחלץ את הממד השלישי. מתוך $V=abc$ נקבל $c=\frac{V}{ab}$. אם נתון שטח מעטפת של גליל ורדיוס הבסיס, נחלץ את הגובה מתוך $S_M=2\pi rh$, ולכן $h=\frac{S_M}{2\pi r}$. אם נתון נפח של פירמידה ושטח הבסיס, נחלץ את הגובה מתוך $V=\frac{1}{3}S_Bh$, ולכן $h=\frac{3V}{S_B}$.

חישוב יכול להיות מספרי או אלגברי. בחישוב מספרי מציבים מספרים בכל הנתונים ומקבלים תוצאה מספרית. בחישוב אלגברי משאירים חלק מהגדלים כאותיות ומקבלים ביטוי. למשל, אם נפח תיבה הוא $V$, אורכה $a$ ורוחבה $b$, הגובה הוא $\frac{V}{ab}$. ביטוי כזה שימושי כשרוצים לבדוק כיצד שינוי בממד אחד משפיע על שאר הגדלים.

המרת יחידות אורך, שטח ונפח

המרת יחידות נדרשת כאשר הנתונים או התשובה אינם באותה יחידה. ביחידות אורך:

• $1$ מטר $=100$ סנטימטרים.

לכן, כדי לעבור ממטרים לסנטימטרים מכפילים ב־100, וכדי לעבור מסנטימטרים למטרים מחלקים ב־100.

בשטח היחידות ריבועיות, ולכן יש להעלות את יחס ההמרה בריבוע:

• $1$ מ״ר $=10{,}000$ סמ״ר.

לכן, כדי לעבור ממ״ר לסמ״ר מכפילים ב־10,000, וכדי לעבור מסמ״ר למ״ר מחלקים ב־10,000.

בנפח היחידות מעוקבות, ולכן יש להעלות את יחס ההמרה בחזקה שלישית:

• $1$ מ״ק $=1{,}000{,}000$ סמ״ק.

לכן, כדי לעבור ממ״ק לסמ״ק מכפילים ב־1,000,000, וכדי לעבור מסמ״ק למ״ק מחלקים ב־1,000,000.

יחידות נפח נפוצות:

• $1$ ליטר $=1{,}000$ סמ״ק.
• $1{,}000$ ליטרים $=1$ מ״ק.

התאמת יחידות וקריאת נתונים מתרשים

לפני חישוב נפח או שטח, נוודא שכל הממדים כתובים באותה יחידה. אם אורך נתון במטרים ורוחב בסנטימטרים, נמיר אחד מהם כך ששניהם יהיו זהים. אם נפח נתון בליטרים והממדים בסנטימטרים, נזכור ש־1 ליטר הוא 1,000 סמ״ק.

כאשר מחשבים שטח, התוצאה מתקבלת ביחידות ריבועיות של הממדים שהוצבו. אם הממדים הוצבו בסנטימטרים, השטח יתקבל בסמ״ר. אם רוצים תשובה במ״ר, נמיר את התוצאה בסיום. כאשר מחשבים נפח, התוצאה מתקבלת ביחידות מעוקבות: אם הממדים בסנטימטרים, הנפח יתקבל בסמ״ק; אם הממדים במטרים, הנפח יתקבל במ״ק.

תרשים של גוף תלת־ממדי עשוי לכלול מבט חיצוני, מבט פנימי או פריסה של פאות. נבנה ממנו רשימת נתונים מסודרת: שם הגוף, צורת הבסיס, אורכים, רדיוסים, גבהים ושטחים ידועים. אם מופיעים קווים מקווקווים, ייתכן שהם מציינים מקצועות נסתרים או קווי עזר כגון אלכסון או גובה.

בחירת השטח או הנפח המתאים להקשר

בחישובי שטח לא תמיד נדרש שטח הפנים המלא. אם צובעים דפנות של מבנה ללא בסיס עליון או תחתון, נחשב שטח מעטפת. אם מכסים קופסה מכל הצדדים, נחשב שטח פנים מלא. אם בונים משטח ישיבה או רצפה, ייתכן שנחשב רק את שטח הבסיס או את השטח הרלוונטי.

בנפח, נשים לב אם הגוף מלא או חלול. אם הגוף חלול, כגון מכל או בריכה, הנפח הפנימי קובע כמה נוזל או חומר אפשר להכניס. אם הגוף עשוי מחומר מסוים, כגון עץ או מלח, ייתכן שנזדקק לנפח החומר עצמו ולא לנפח החלל הפנימי. לכן לפני בחירת נוסחה נגדיר מה בדיוק נדרש: כיסוי, צביעה, עטיפה, מילוי או ייצור של הגוף.