התפלגות נורמלית וציון תקן – מציאת מדדים והשוואה

השטח שמתחת לעקומה הנורמלית מייצג את חלק האוכלוסייה, ולכן אפשר לעבור מתיאור של אחוזים לערך מספרי, ולחשב בעזרתו ממוצע, סטיית תקן או ציון תקן.

שטחים מתחת לעקומה הנורמלית

התפלגות נורמלית היא התפלגות של נתונים שמתרכזים סביב ערך מרכזי ונעשים נדירים יותר ככל שמתרחקים ממנו. הגרף שלה נקרא עקומה נורמלית: צורתו פעמון סימטרי, והוא נמתח משני צדי הממוצע.

הממוצע, המסומן בדרך כלל באות μ, הוא מרכז ההתפלגות. בעקומה נורמלית הוא נמצא בנקודה הגבוהה ביותר, ומחצית הנתונים נמצאים משמאלו ומחצית מימינו. סטיית התקן, המסומנת σ, היא מדד לפיזור הנתונים סביב הממוצע. ככל שסטיית התקן גדולה יותר, העקומה רחבה ושטוחה יותר; ככל שהיא קטנה יותר, העקומה צרה ותלולה יותר.

השטח הכולל שמתחת לעקומה הוא 100%. לכן כל שטח חלקי מייצג אחוז מהאוכלוסייה. שטח משמאל לערך מסוים הוא אחוז הנתונים הקטנים מאותו ערך; שטח מימין לערך הוא אחוז הנתונים הגדולים ממנו. כאשר בוחרים פרט באקראי מהאוכלוסייה, ההסתברות שהערך שלו יימצא בתחום מסוים שווה לאחוז האוכלוסייה באותו תחום חלקי 100.

מציאת ממוצע או סטיית תקן משטחים וערכים

כאשר נתונים ערך של משתנה והאחוז המתאים לו, אפשר להסיק מכך מידע על הממוצע או על סטיית התקן. תחילה מזהים איזה חלק מהאוכלוסייה נמצא משמאל לערך. אם נתון אחוז מימין, כלומר "גדול מ-", משלימים אותו ל-100% כדי לקבל את האחוז שמשמאל.

לדוגמה, אם 16% מהביצים כבדות מ-68 גרם, אז 84% מהביצים קלות מ-68 גרם. בהתפלגות נורמלית, כ-84% מהנתונים נמצאים עד סטיית תקן אחת מעל הממוצע: 50% מתחת לממוצע ועוד כ-34% בין הממוצע לסטיית תקן אחת מעליו. לכן הערך 68 מתאים לממוצע ועוד סטיית תקן אחת.

אם ידוע שהממוצע הוא 62 גרם, מתקבל הקשר:

68 = 62 + σ

מכאן שסטיית התקן היא 6 גרם.

באופן דומה, אם 50% מהנתונים קטנים מערך מסוים, הערך הוא הממוצע עצמו. אם 2.5% מהנתונים קטנים מערך מסוים, הערך נמצא כשתי סטיות תקן מתחת לממוצע. אם 97.5% מהנתונים קטנים מערך מסוים, הערך נמצא כשתי סטיות תקן מעל הממוצע.

כאשר נתון שטח בין שני ערכים, משתמשים בסימטריה של העקומה. אם השטח שבין שני ערכים הוא 68% והערכים סימטריים סביב הממוצע, הממוצע הוא אמצע הקטע, והמרחק מהממוצע לכל אחד מהערכים הוא סטיית תקן אחת. בכל מקרה יש להקפיד האם האחוז הנתון הוא "קטן מ-", "גדול מ-" או "בין", ולהפוך אותו לשטח מצטבר משמאל לערך.

מציאת ממוצע וסטיית תקן בעזרת מערכת משוואות

כאשר נתונים שני ערכים ושני אחוזים המתארים את אותה התפלגות, אפשר לבנות שתי משוואות ממעלה ראשונה ולפתור אותן כדי למצוא את הממוצע ואת סטיית התקן.

נניח שידוע כי 84% מהנתונים קטנים מ-28, וכי 97.5% מהנתונים קטנים מ-32. לפי כלל השטחים המקובל בהתפלגות נורמלית, כ-84% מתאים לערך שנמצא סטיית תקן אחת מעל הממוצע, וכ-97.5% מתאים לערך שנמצא שתי סטיות תקן מעל הממוצע. לכן מתקבלות שתי משוואות:

μ + σ = 28
μ + 2σ = 32

נחסר את המשוואה הראשונה מהמשוואה השנייה ונקבל:

σ = 4

נציב במשוואה הראשונה:

μ + 4 = 28

ולכן:

μ = 24

הדרך הזו מתאימה גם כאשר אחד הערכים נמצא מתחת לממוצע. במקרה כזה ציון התקן המתאים לו שלילי. למשל, אם 2.5% מהנתונים קטנים מערך 16, הערך מתאים ל-μ − 2σ. אם נתון גם ערך אחר, מקבלים מערכת משוואות עם סימנים מתאימים. העיקרון הוא שתמיד כותבים את הקשר בין הערך x, הממוצע μ, סטיית התקן σ והמיקום היחסי של הערך ביחס לממוצע.

ציון תקן: חישוב ופירוש

ציון תקן הוא מספר שמציין כמה סטיות תקן מפרידות בין ערך מסוים לבין הממוצע של ההתפלגות. הוא מסומן בדרך כלל באות z, והנוסחה שלו היא:

z = (x − μ) / σ

כאשר x הוא הערך הנתון, μ הוא הממוצע, ו-σ היא סטיית התקן.

אם ציון התקן הוא 0, הערך שווה לממוצע. אם ציון התקן הוא 1, הערך גבוה מסטיית תקן אחת מעל הממוצע. אם ציון התקן הוא −2, הערך נמוך בשתי סטיות תקן מתחת לממוצע. ציון תקן חיובי מתאר ערך מעל הממוצע, וציון תקן שלילי מתאר ערך מתחת לממוצע.

לדוגמה, אם ציוני מבחן מתפלגים נורמלית עם ממוצע 75 וסטיית תקן 12, ותלמיד קיבל ציון 93, ציון התקן שלו הוא:

z = (93 − 75) / 12 = 18 / 12 = 1.5

הפירוש: הציון של התלמיד גבוה ב-1.5 סטיות תקן מהממוצע. זהו מיקום גבוה יחסית באוכלוסיית הנבחנים.

ציון תקן אינו נמדד ביחידות של המשתנה המקורי. הוא מאפשר לתאר מיקום יחסי בצורה אחידה, גם כאשר המשתנים נמדדים ביחידות שונות או כאשר ההתפלגויות שונות זו מזו. בשאלות נתונות אפשר להיעזר בטבלה או בגרף של ציוני תקן כדי לעבור מאחוז לערך z המתאים לו.

השוואת מיקום יחסי בין אוכלוסיות שונות

כאשר משווים שני נתונים משתי אוכלוסיות שונות, השוואה ישירה של הערכים בלבד עלולה להטעות, כי לכל אוכלוסייה יכולים להיות ממוצע וסטיית תקן שונים. לכן משתמשים בציון תקן: הוא מנרמל את הערך, כלומר ממיר אותו למדד משותף של מרחק מהממוצע ביחידות של סטיית תקן.

לדוגמה, נשווה בין גובה של גבר ישראלי לגובה של גבר הולנדי. נניח שבישראל ממוצע הגובה של גברים הוא 175 ס"מ וסטיית התקן היא 10 ס"מ, ובהולנד הממוצע הוא 185 ס"מ וסטיית התקן היא 6 ס"מ. גבר ישראלי שגובהו 177 ס"מ וגבר הולנדי שגובהו 187 ס"מ נראים במבט ראשון כבעלי יתרון ברור להולנדי, כי 187 גדול מ-177.

אבל מבחינת מיקום יחסי יש לבדוק את ציוני התקן:

עבור הגבר הישראלי:

z = (177 − 175) / 10 = 0.2

עבור הגבר ההולנדי:

z = (187 − 185) / 6 = 1/3 ≈ 0.33

שני הגברים גבוהים מהממוצע באוכלוסייה שלהם, אך הגבר ההולנדי נמצא במיקום יחסי גבוה יותר, כי ציון התקן שלו גדול יותר.

כדי להשוות מיקום יחסי של נתונים באוכלוסיות שונות:

• מחשבים את ציון התקן של כל נתון לפי הממוצע וסטיית התקן של האוכלוסייה שלו.
• משווים בין ציוני התקן.
• ציון תקן גדול יותר מעיד על מיקום יחסי גבוה יותר באוכלוסייה.
• ציון תקן שלילי מעיד שהנתון נמוך מהממוצע, וציון תקן חיובי מעיד שהוא גבוה מהממוצע.

מעבר מציון תקן לערך ומציאת נתון חסר

הנוסחה של ציון התקן מאפשרת גם פעולה הפוכה: אם ידועים ציון התקן והממוצע או סטיית התקן, אפשר למצוא את הערך x או את המדד החסר. נוח לכתוב את הנוסחה כך:

x = μ + zσ

אם ציון תקן חיובי, הערך נמצא מעל הממוצע. אם ציון התקן שלילי, הערך נמצא מתחת לממוצע.

לדוגמה, הישגים בקפיצה למרחק מתפלגים נורמלית עם סטיית תקן 10 ס"מ. אם להישג של 230 ס"מ מתאים ציון תקן 0.5, אפשר למצוא את הממוצע:

230 = μ + 0.5 · 10
230 = μ + 5
μ = 225

כלומר, ממוצע ההישגים הוא 225 ס"מ.

אם נתון הערך, ציון התקן והממוצע, אפשר למצוא את סטיית התקן. למשל, אם ערך של 88 נמצא בממוצע 80 ומתאים לציון תקן 2, אז:

88 = 80 + 2σ
8 = 2σ
σ = 4

אם נתונים שני זוגות של ערך וציון תקן, מתקבלות שתי משוואות ממעלה ראשונה בנעלמים μ ו-σ. לדוגמה, אם ערך אחד הוא 28 ומתאים ל-z = 1, וערך שני הוא 32 ומתאים ל-z = 2, מתקבלות המשוואות:

28 = μ + σ
32 = μ + 2σ

פתרון המערכת נותן את הממוצע ואת סטיית התקן. כך אפשר להשלים נתונים חסרים בהתפלגות נורמלית מתוך מידע חלקי על ערכים, אחוזים או ציוני תקן.