ראייה מרחבית

בשיעור זה נלמד לזהות ולתאר גופים תלת־ממדיים בעזרת נקודות מבט שונות, מבטים ופריסות. גוף במרחב אינו נקבע לפי תמונה אחת בלבד, ולכן יש לבחון כמה כיווני התבוננות וכמה ייצוגים.

הסתכלות על גוף תלת־ממדי מנקודות מבט שונות

גוף תלת־ממדי הוא גוף שיש לו אורך, רוחב וגובה, ולכן אי אפשר לתאר אותו במלואו באמצעות רישום אחד בלבד. כאשר מסתכלים על גוף מכיוון מסוים, מתקבלת תמונה דו־ממדית הנקראת מבט. המבט מראה רק את החלקים הפונים אל הצופה; חלקים הנמצאים מאחוריהם או בצדדים אחרים אינם נראים.

שני צופים המסתכלים על אותו גוף עשויים לראות תמונות שונות. למשל, במבט מלפנים רואים את החזית של מבנה, אך לא את מה שנמצא בצדו או מאחוריו. אם במבנה יש דלת או חלון, מיקומם ייראה בצד אחד במבט מלפנים ועשוי להיראות בצד ההפוך במבט מאחור. לכן זיהוי גוף מחייב בדיקה של כמה נקודות מבט, או קבלת תרשים הכולל מבטים אחדים.

שינוי נקודת המבט אינו משנה את צורת הגוף, את מידותיו או את מספר הקוביות שבו; הוא משנה רק את הייצוג הנראה לעין. יש להבחין בין הגוף עצמו לבין האופן שבו הוא נראה.

בזיהוי גוף על פי כמה נקודות מבט, יש לחפש סימנים קבועים: צורת הבסיס, גובה הגוף, מיקום בליטות או פתחים. אם במבט אחד בליטה נראית בצד ימין ובמבט אחר היא נראית בצד שמאל, ייתכן שמדובר במבט הפוך, ולא בגוף שונה.

המבטים העיקריים: מלפנים, מאחור, מימין, משמאל ומבט־על

בשאלות על ראייה מרחבית משתמשים בדרך כלל בחמישה מבטים עיקריים. מבט מלפנים הוא התמונה המתקבלת כאשר מסתכלים על הגוף בניצב לחזיתו. מבט מאחור מתקבל כאשר מסתכלים בניצב לצד האחורי של הגוף. מבט מימין ומבט משמאל מתקבלים כאשר מסתכלים בניצב לצדדים של הגוף. מבט־על הוא מבט מלמעלה, והוא מראה את פריסת הגוף על המישור שעליו הוא עומד.

העומק הוא הממד שבין החזית לאחור. כל מבט חושף שני ממדים בלבד מתוך שלושת הממדים של הגוף:

• במבט מלפנים או מאחור רואים את הרוחב ואת הגובה, אך לא את העומק.
• במבט מימין או משמאל רואים את העומק ואת הגובה, אך לא את הרוחב.
• במבט־על רואים את הרוחב ואת העומק, אך לא את הגובה.

כאשר בתרשים מופיע חץ, החץ קובע את כיוון ההסתכלות. יש להקפיד לזהות אם החץ מצביע על מבט מלפנים, מאחור, מימין, משמאל או מלמעלה. מעבר ממבט מלפנים למבט מאחור הופך את כיוון הצפייה, ולכן צד שנראה ימין במבט מלפנים עשוי להיראות שמאל במבט מאחור.

תרשימים של גופים תלת־ממדיים

תרשים הוא ייצוג שטוח של גוף תלת־ממדי. יש תרשימים המציגים את הגוף כפי שהוא נראה במרחב, ויש תרשימים המציגים מבט אחד בלבד. בתרשים תלת־ממדי אפשר לראות לעיתים כמה פאות בו־זמנית, אך חלק מהמקצועות — קווי החיבור בין הפאות — עשויים להיות מוסתרים. מקצוע מוסתר מסומן לעיתים בקו מקווקו כדי להראות שהוא קיים בגוף אך אינו נראה מהכיוון הנוכחי.

כדי לזהות גוף מתרשים, יש לבדוק את צורת הבסיס, את מספר הפאות, את סוג הפאות ואת היחסים בין הגבהים. אם הגוף בנוי מקוביות, יש לספור את הקוביות הנראות ולזכור שייתכנו קוביות נסתרות. קובייה נסתרת היא קובייה הנמצאת מאחורי קובייה אחרת, מתחתיה או בתוך טור שבו קובייה אחרת מסתירה אותה מנקודת המבט הנתונה.

בתרשימים של מבני קוביות נעשה לעיתים שימוש ברשת משבצות או בשרטוט תלת־ממדי שבו כל קובייה מצוירת כגוף קטן בעל כמה פאות נראות. הרישום עצמו שטוח, אך הוא נועד לייצג קוביות במרחב.

פריסה של קובייה

פריסה של גוף היא סידור של כל הפאות שלו במישור אחד, כך שאפשר לקפל את הפאות לאורך המקצועות ולקבל את הגוף הסגור. בקובייה יש שש פאות, וכולן ריבועים שווים. פריסה של קובייה מציגה את ששת הריבועים פרושים על הדף, עם קווי חיבור המראים היכן הם צמודים זה לזה.

לא כל סידור של שישה ריבועים הוא פריסה תקינה של קובייה. כדי שפריסה תתאים לקובייה, צריכים להתקיים כמה תנאים:

• כל ששת הריבועים מופיעים בפריסה.
• הריבועים מחוברים זה לזה לאורך צלעות, כך שהפריסה היא גוף אחד רצוף.
• לאחר הקיפול אין שני ריבועים המכסים את אותה פאה.
• לאחר הקיפול אין חפיפה בין פאות, וכל פאה מגיעה למקום אחד בלבד.

בפריסה אפשר לזהות פאות סמוכות ופאות נגדיות. פאות סמוכות הן פאות החולקות מקצוע משותף. פאות נגדיות הן פאות שאינן חולקות מקצוע, ובקובייה הן פונות לכיוונים מנוגדים. בפריסה תקינה, שני ריבועים הצמודים לאורך צלע עתידים להיות פאות סמוכות בקובייה, ואילו פאות נגדיות אינן צמודות זו לזו לאורך צלע.

כדי לבדוק אם פריסה מסוימת יכולה להתקפל לקובייה, אפשר לדמיין קיפול של פאה אחת בכל פעם: מתחילים מפאה מרכזית, מקפלים את הפאות הצמודות לה, ובודקים אם נשארת פאה חסרה או אם שתי פאות מגיעות לאותו מקום.

קביעת מבטים של גוף המורכב מקוביות

גוף המורכב מקוביות בנוי מקוביות זהות, המסודרות לעיתים בשורה אחת, במספר שורות או בכמה קומות. כדי לקבוע כיצד ייראה מבט של גוף כזה, יש לדמיין את ההסתכלות בניצב לכיוון הנדרש ולשרטט רק את מה שנראה מאותו כיוון.

בקביעת מבט מלפנים או מאחור מסתכלים על המבנה מהחזית או מהאחור. בכל טור של קוביות הנמצאות זו מאחורי זו, רואים רק את הקוביות שיוצרות את קו המתאר הגבוה ביותר באותו טור. אם קובייה נמצאת מאחורי קובייה אחרת באותו גובה, היא אינה מוסיפה ריבוע למבט. אם קובייה אחורית גבוהה יותר, החלק הגבוה שלה ייראה מעל הקובייה הקדמית.

בקביעת מבט מימין או משמאל מסתכלים על המבנה מהצד. גם כאן, קוביות הנמצאות זו מאחורי זו ביחס לכיוון ההסתכלות עשויות להסתיר זו את זו. לכן המבט מראה את קו המתאר הצדדי של המבנה, ולא את כל הקוביות שבו.

אם המבנה אינו סימטרי, מבט מימין ומבט משמאל עשויים להיות שונים. אין להניח שהמבט משמאל הוא תמיד היפוך פשוט של המבט מימין; יש להסתכל מהכיוון המבוקש ולבדוק אילו קוביות קרובות לצופה ואילו מוסתרות.

מבט־על של מבנה מקוביות מראה את פריסת הקוביות על הבסיס. אם יש כמה קוביות זו על זו באותה עמודה, במבט־על רואים ריבוע אחד בלבד עבור אותה עמודה. לכן מבט־על אינו מראה את גובה העמודות, אלא רק את המקומות שבהם יש קוביות.

בעת שרטוט מבט, יש לשמור על חיבור בין ריבועים כאשר הקוביות צמודות זו לזו באותו כיוון. אין צורך לשרטט קוביות מוסתרות, אלא אם כן נדרש במפורש להשתמש בקווים נסתרים.

מבנה יחיד ומספר אפשרויות לפי מבטים נתונים

כאשר נתון מבט אחד בלבד, בדרך כלל אי אפשר לדעת כיצד נראה הגוף כולו. למשל, אם במבט מלפנים רואים שני ריבועים, ייתכן שמאחוריהם אין קוביות נוספות, וייתכן שיש קוביות נוספות שאינן נראות מהחזית. מבט אחד אינו מספיק כדי לקבוע את המבנה באופן חד־משמעי.

כאשר נתונים שני מבטים, למשל מבט־על ומבט מלפנים, המידע מצטמצם, אך עדיין ייתכנו כמה מבנים שונים המתאימים לשני המבטים. כאשר נתונים שלושה מבטים, למשל מבט־על, מבט מלפנים ומבט מימין, לעיתים אפשר לקבוע את המבנה באופן חד־משמעי, ולעיתים עדיין נשארות כמה אפשרויות.

כדי לבדוק אם מבנה מסוים מתאים למבטים נתונים, יש להשוות כל מבט בנפרד: מסתכלים על המבנה מלפנים ובודקים אם התמונה זהה למבט מלפנים הנתון, לאחר מכן עושים זאת עבור מבט־על ועבור המבט הצדדי הנתון. אם אפילו מבט אחד אינו מתאים, המבנה אינו מתאים.

כאשר מבקשים לבנות מבנה לפי מבטים, כדאי להתחיל ממבט־על, משום שהוא קובע את מקומות העמודות. לאחר מכן מתאימים את הגבהים כך שיתאימו למבט מלפנים ולמבט הצדדי.

בשאלות העוסקות במספר קוביות אפשרי, נדרש לעיתים למצוא את המספר המינימלי או המקסימלי של קוביות במבנה המתאים למבטים נתונים. המבנה בעל המספר המינימלי הוא המבנה שבו מציבים רק את הקוביות ההכרחיות כדי לקיים את כל המבטים. אם אפשר להסיר קובייה בלי שאחד המבטים ישתנה, הקובייה אינה חלק מהמבנה המינימלי. המבנה בעל המספר המקסימלי מתקבל על ידי הוספת קוביות במקומות שבהם הוספתן אינה משנה אף אחד מהמבטים הנתונים.

תרשים מספרי ומעבר בין ייצוגים

לעיתים מבט־על של מבנה מקוביות ניתן כתרשים מספרי. בתרשים כזה מוצגת רשת של משבצות, ובכל משבצת כתוב מספר. המספר מציין כמה קוביות יש בעמודה הנמצאת באותה משבצת. משבצת ריקה או מספר 0 מציינים שאין קובייה באותו מקום. תרשים מספרי קובע את המבנה באופן מלא יותר ממבט־על רגיל, משום שהוא מוסיף את מידע הגובה.

כדי לעבור מתרשים מספרי למבט מלפנים, בוחנים את עמודות הרוחב של הרשת. עבור כל עמודת רוחב, הגובה הנראה במבט מלפנים הוא המספר הגדול ביותר מבין המספרים הנמצאים באותה עמודה לאורך העומק. הסיבה: קובייה גבוהה יותר באותו טור תיראה מעל קוביות נמוכות יותר או תסתיר אותן.

כדי לעבור מתרשים מספרי למבט מימין, בוחנים את שורות העומק של הרשת. עבור כל שורת עומק, הגובה הנראה במבט מימין הוא המספר הגדול ביותר מבין המספרים הנמצאים באותה שורה לאורך הרוחב. בדרך זו אפשר לעבור בין ייצוג מספרי, ייצוג תלת־ממדי וייצוג של מבטים, ולבדוק אם תרשימים שונים מתארים את אותו גוף.

אם בתרשים המספרי כל המספרים הם 1, המבנה הוא מבנה שטוח של קומה אחת, ומבט־על, מבט מלפנים ומבט מימין יהיו תלויים רק בפריסת המשבצות.