קשר לפי דירוגים

הפרק עוסק בבדיקת קשר בין שני משתנים כאשר סוג הנתונים מכתיב את מדד הקשר המתאים. הרעיון המרכזי הוא שאין מדד אחד לכל מצב: למשתני סדר מתאים מדד דירוגי, לשתי תכונות בינאריות מתאים מדד טבלת 2×2, ולמשתנים כמותיים מתאים מתאם ליניארי או רגרסיה ליניארית.

מדד ספירמן למשתני סדר ולקשר מונוטוני

מדד ספירמן בודק קשר בין שני משתני סדר. משתנה סדר הוא משתנה שערכיו מציינים דירוג או מיקום, כגון מקום בתחרות, רמת הסכמה או דרגת חומרה. בנתונים כאלה אפשר לקבוע מי גבוה ממי, אך המרחק בין הדירוגים אינו בהכרח שווה.

המדד בודק קשר מונוטוני: קשר שבו ככל שערכי משתנה אחד עולים, ערכי המשתנה השני עולים או יורדים באופן עקבי, אך לא בהכרח בקו ישר. לכן ספירמן מתאים גם לקשר שאינו ליניארי, ובלבד שיש לו כיוון ברור.

ערכי המדד נעים בין 1- ל-1:

• 1+ — קשר דירוגי חיובי מלא: ככל שהדירוג במשתנה אחד גבוה יותר, גם הדירוג במשתנה השני גבוה יותר.
• 1- — קשר דירוגי שלילי מלא: ככל שהדירוג במשתנה אחד גבוה יותר, הדירוג במשתנה השני נמוך יותר.
• 0 — אין קשר דירוגי.

לחישוב המדד מדרגים כל משתנה בנפרד. אם יש כמה תצפיות בעלות ערך זהה, הן מקבלות את ממוצע המקומות שהיו מתקבלות ללא תיקו. לאחר מכן מחשבים לכל תצפית את הפרש הדירוגים בין שני המשתנים, המסומן בדרך כלל d, ואת ריבועו. כאשר אין תיקים, אפשר להשתמש בנוסחה:

r_s = 1 − 6Σd² / [n(n² − 1)]

כאשר n הוא מספר התצפיות.

מדד פי בטבלת 2×2

מדד פי מתאים כאשר שני המשתנים הם בינאריים, כלומר לכל אחד מהם יש שני ערכים בלבד. דוגמאות נפוצות: הצלחה או כישלון, כן או לא, גבר או אישה, תקין או פגום.

את הנתונים מסדרים בטבלת שכיחות משותפת 2×2:

	ערך 1 של Y	ערך 2 של Y
ערך 1 של X	a	b
ערך 2 של X	c	d

הנוסחה של מדד פי היא:

φ = (ad − bc) / √[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]

המונה בודק אם השכיחות המשותפת של שני הערכים גדולה או קטנה מן הצפוי לפי שולי הטבלה. סימן חיובי מצביע על נטייה להופעה משותפת של שני ערכים מסוימים, וסימן שלילי מצביע על נטייה הפוכה. העוצמה נמדדת לפי הקרבה ל-1 או ל-1-.

מדד פי הוא מקרה פרטי של מדד קרמר, והוא מתאים רק כאשר הטבלה היא מסוג 2×2. אם לאחד המשתנים יש יותר משני ערכים, יש לבחון מדד אחר, כגון קרמר.

קריאת קשר ליניארי: כיוון, עוצמה ומגבלות של מתאם פירסון

מתאם פירסון בודק קשר ליניארי בין שני משתנים כמותיים. לפני החישוב נהוג להתבונן בדיאגרמת פיזור, שבה כל תצפית מוצגת כנקודה לפי ערכי X ו-Y.

המתאם מסומן בדרך כלל באות r ומקבל ערכים בין 1- ל-1:

• r חיובי — קשר חיובי: ככל שערכי משתנה אחד גבוהים יותר, גם ערכי המשתנה השני נוטים להיות גבוהים יותר.
• r שלילי — קשר שלילי: ככל שערכי משתנה אחד גבוהים יותר, ערכי המשתנה השני נוטים להיות נמוכים יותר.
• r קרוב ל-0 — הקשר הליניארי חלש.
• r קרוב ל-1 או ל-1- — הקשר הליניארי חזק.
• r = 1 או r = 1- — כל הנקודות נמצאות על קו ישר אחד.

למתאם פירסון יש כמה מגבלות חשובות. הוא מתאר קשר ליניארי בלבד, ולכן קשר שאינו קו ישר עשוי לקבל r נמוך גם אם יש קשר ברור בין המשתנים. כמו כן, מתאם אינו מעיד בהכרח על סיבתיות: קשר בין שני משתנים אינו מוכיח שמשתנה אחד גורם לשינוי במשתנה השני.

חישוב מתאם פירסון: שונות משותפת, סטיות מן הממוצע ונתונים מזווגים

הנתונים לחישוב מתאם פירסון הם נתונים מזווגים: לכל תצפית יש זוג ערכים, x_i ו-y_i. תחילה מחשבים את ממוצע X ואת ממוצע Y. לאחר מכן מחשבים לכל תצפית את הסטייה מן הממוצע:

• סטייה של X: x_i − x̄
• סטייה של Y: y_i − ȳ

מכפלת הסטיות של כל תצפית מראה אם התצפית נמצאת מעל שני הממוצעים, מתחת לשניהם או בצורה מעורבת. סכום מכפלות הסטיות, חלקי מספר התצפיות, נקרא שונות משותפת:

COV(x,y) = Σ(x_i − x̄)(y_i − ȳ) / n

כדי לקבל את המתאם, מחלקים את השונות המשותפת במכפלת סטיות התקן של שני המשתנים:

r = COV(x,y) / (S_x · S_y)

כאשר:

S_x = √[Σ(x_i − x̄)² / n]

S_y = √[Σ(y_i − ȳ)² / n]

החלוקה בסטיות התקן מנרמלת את המדד, ולכן r נשאר בין 1- ל-1 ללא תלות ביחידות המדידה.

יציבות המתאם בהמרות: השפעת שינוי יחידות וקידוד על פירסון

מתאם פירסון יציב תחת טרנספורמציה לינארית, כלומר המרה מהצורה:

X′ = aX + b
Y′ = cY + d

הוספת קבוע, כגון העברת ציונים או שינוי נקודת מוצא, אינה משנה את המתאם. גם שינוי יחידות מדידה, כגון מעבר מדולרים לשקלים או מסנטימטרים למטרים, אינו משנה את עוצמת המתאם.

הסימן של המתאם תלוי בכיוון ההמרה. אם שני המקדמים a ו-c חיוביים, או אם שניהם שליליים, המתאם שומר על סימנו. אם אחד מהם שלילי והשני חיובי, המתאם מתהפך בסימן אך שומר על עוצמתו.

לכן, המרת יחידות רגילה לא תשנה את r. לעומת זאת, שינוי קידוד שהופך את כיוון הערכים, למשל החלפה שבה 1 מייצג “גבוה” ו-2 מייצג “נמוך”, עלול להפוך מתאם חיובי לשלילי, או להפך.

קו ניבוי: רגרסיה ליניארית, שיפוע, חותך ותחום החיזוי

כאשר רוצים לנבא את ערכו של משתנה אחד על פי משתנה אחר, משתמשים בקו רגרסיה ליניארית, הנקרא גם קו ניבוי. הקו נכתב כך:

ŷ = a + bx

הסימון ŷ מציין את הערך המנובא של Y. הפרמטר a הוא החותך: הערך המנובא של Y כאשר X = 0. הפרמטר b הוא השיפוע: השינוי הצפוי בערך המנובא של Y כאשר X עולה ביחידה אחת.

את הקו בונים בשיטת הריבועים הפחותים, כלומר בוחרים את הקו שממזער את סכום ריבועי ההפרשים בין הערכים המנובאים לערכים שנצפו בפועל. הקשר בין המתאם לשיפוע הוא:

b = r · S_y / S_x

ולאחר מכן מחשבים את החותך לפי:

a = ȳ − b x̄

קו הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים של הנתונים.

תחום החיזוי חשוב: ניבויים נעשים בדרך כלל רק עבור ערכי X שנמצאים בטווח הנתונים שנבדקו או קרובים אליו. הרחבת הניבוי אל ערכי X חריגים או רחוקים מן הטווח הנצפה עלולה להיות לא אמינה.

שונות מוסברת ושונות לא מוסברת

ריבוע המתאם, r², מראה איזה חלק מן השונות של המשתנה המוסבר Y מוסבר על ידי הקשר הליניארי עם X.

אם r = 0.80, אז:

r² = 0.64

כלומר 64% מן השונות של Y מוסברים על ידי הקשר הליניארי עם X. החלק הנותר, 36%, הוא שונות לא מוסברת. שונות זו נובעת מגורמים נוספים שאינם כלולים במודל, או מסטיות של הנקודות מקו הניבוי.

ככל ש-r² קרוב יותר ל-1, כך חלק גדול יותר מן השונות מוסבר על ידי הקשר, והניבוי באמצעות הקו מדויק יותר. כאשר r² קרוב ל-0, הקשר הליניארי מסביר חלק קטן בלבד מן השונות.

התאמת המדד לנתונים: עץ בחירה בין קרמר, פי, ספירמן ופירסון

בחירת מדד הקשר מתחילה בזיהוי סולם המדידה של שני המשתנים. סולם המדידה קובע אם הערכים הם שמות, דרגות או מספרים כמותיים.

• אם שני המשתנים בינאריים, מתאים מדד פי.
• אם שני המשתנים שמיים או קטגוריאליים, מתאים מדד קרמר.
• אם שני המשתנים הם משתני סדר או דירוג, מתאים מדד ספירמן.
• אם שני המשתנים כמותיים והקשר הנבדק הוא קשר ליניארי, מתאים מתאם פירסון.

אם הקשר בין שני משתנים כמותיים אינו ליניארי אך הוא מונוטוני, מדד ספירמן עשוי להתאים יותר מפירסון. אם המשתנים אינם כמותיים ואינם ניתנים לדירוג, אין להשתמש בפירסון.