רמות המדידה

השיעור עוסק בסיווג משתנים לפי משמעות הערכים הנמדדים, ובאופן שבו הסיווג משפיע על בניית טבלאות, בחירת תרשימים וחישוב מדדי מרכז. הרעיון המרכזי הוא שכל ערך נמדד אינו רק מספר: יש לפרש אותו לפי הסולם שבו נמדד.

סולמות המדידה: שמי, סדר, רווחים ומנה

משתנה הוא תכונה שיכולה לקבל ערכים שונים, כגון מצב משפחתי, דירוג שביעות רצון או משקל. סולם מדידה הוא מיון של ערכי המשתנה לפי המשמעות שיש להם: זהות בלבד, סדר, הפרש או יחס.

• סולם שמי (נומינלי): הערכים הם שמות או קטגוריות בלבד. אין להם סדר כמותי, ואין משמעות ל"יותר" או "פחות". דוגמאות: מצב משפחתי, אזור מגורים, מגדר. משתנה שיש לו שני ערכים בלבד, כגון מעשן או לא מעשן, נקרא גם משתנה דיכוטומי.
• סולם סדר (אורדינלי): לערכים יש סדר או דירוג, אך אין משמעות מדויקת לגודל ההפרש בין הערכים. דוגמה: דירוג שביעות רצון מ-1 עד 7, או דרגה בצבא.
• סולם רווחים (אינטרוולי): לערכים יש סדר, וגם להפרשים ביניהם יש משמעות. עם זאת, אין משמעות ליחס בין הערכים, משום שהאפס אינו מייצג היעדר מוחלט של התכונה. דוגמה: טמפרטורה במעלות צלזיוס.
• סולם מנה (יחס): לערכים יש סדר, להפרשים יש משמעות, וגם ליחסים בין הערכים יש משמעות. דוגמאות: משקל בקילוגרמים, מספר ילדים במשפחה, מספר מכוניות למשפחה.

מבחן האפס

מבחן האפס הוא כלל להבחנה בין סולם רווחים לסולם מנה. השאלה היא אם הערך 0 במשתנה מייצג היעדר מוחלט של התכונה הנמדדת.

אם 0 פירושו "אין בכלל" מן התכונה, הסולם הוא סולם מנה. למשל, 0 קילוגרמים מייצג היעדר משקל, ו-0 ילדים מייצג היעדר ילדים. אם 0 אינו מייצג היעדר מוחלט, הסולם הוא רווחים. למשל, 0 מעלות צלזיוס אינו היעדר חום, אלא נקודה שרירותית בסולם הטמפרטורות.

הפיכת תצפיות לטבלת שכיחויות

תצפית היא הערך שנמדד עבור ישות אחת בקבוצה, למשל ציון של תלמיד אחד או מצב משפחתי של אדם אחד. כאשר יש כמה תצפיות, נוח לארגן אותן בטבלת שכיחויות.

בטבלה כזו מופיעים ערכי המשתנה בעמודה אחת, ובצדם השכיחות שלהם. שכיחות היא מספר הפעמים שערך מסוים הופיע בנתונים, ומסומנת בדרך כלל באות f.

• שכיחות יחסית היא חלקו של הערך בתוך כלל התצפיות. היא מחושבת על ידי חלוקת השכיחות במספר התצפיות, ולעיתים מוצגת באחוזים.
• שכיחות מצטברת היא מספר התצפיות שקטנות או שוות לערך מסוים. היא מתקבלת על ידי הוספת השכיחויות לפי הסדר.

כאשר המשתנה איכותי או כמותי בדיד ויש מספר סביר של ערכים, מתאימה טבלת שכיחויות בדידה. כאשר המשתנה כמותי רציף, או כאשר יש ערכים רבים מדי, נהוג לקבץ את הנתונים למחלקות, כלומר לתחומי ערכים.

בחירת תצוגה חזותית לפי סוג המשתנה

הצגה גרפית נבחרת לפי סוג המשתנה ורמת המדידה שלו.

• רשימה מתאימה כאשר מספר התצפיות קטן. היא מציגה את הערכים כפי שנמדדו, בלי עיבוד.
• תרשים עמודות מתאים למשתנה שמי, למשתנה סדר ולמשתנה כמותי בדיד. בציר האופקי מוצגים ערכי המשתנה, ובציר האנכי מוצגת השכיחות. גובה העמודה מייצג את מספר התצפיות בכל ערך.
• היסטוגרמה מתאימה למשתנה כמותי רציף שהוצג בטבלת מחלקות. הציר האופקי מייצג את תחומי המשתנה, והציר האנכי מייצג שכיחות. אם רוחבי המחלקות אינם שווים, נהוג להשתמש בצפיפות, שהיא שכיחות חלקי רוחב המחלקה.

במשתנה מסולם סדר יש לשמור על הסדר הטבעי של הערכים בתרשים. במשתנה שמי אין חובה להציג סדר כמותי, ואפשר לסדר את הקטגוריות לפי שכיחות או לפי סדר נוח לקריאה.

גבולות מחלקה מדויקים: מעבר לגבולות אמיתיים

בנתונים רציפים, מחלקות בטבלה עשויות להיכתב כגבולות מדומים. למשל, המחלקות 130–139 ו-140–149 נראות רציפות, אך הגבול העליון של הראשונה הוא 139 והגבול התחתון של השנייה הוא 140. הפער ביניהם מעיד על רמת דיוק של יחידה אחת.

כדי לעבור מגבולות מדומים לגבולות אמיתיים, מחלקים את רמת הדיוק ב-2. מחסירים את התוצאה מהגבול התחתון של כל מחלקה ומוסיפים אותה לגבול העליון. אם רמת הדיוק היא 1, מוסיפים ומחסירים 0.5. לכן המחלקה 130–139 תיכתב בגבולות אמיתיים כ-129.5–139.5, והמחלקה 140–149 תיכתב כ-139.5–149.5.

אם הנתונים כבר ניתנו בגבולות אמיתיים, כגון 0.5–3.5 ו-3.5–9.5, אין צורך לשנות אותם. בכל מקרה יש להקפיד שרמת הדיוק תהיה קבועה בכל המחלקות.

סימון הסכום Σ וחוקי חישוב

בסטטיסטיקה נהוג להשתמש בסימן Σ לציון סכום. אם נמדדו n תצפיות במשתנה X, הסימון ΣX פירושו סכום כל התצפיות: X₁ + X₂ + ... + Xₙ.

חוקים שימושיים:

• Σ(X + c) = ΣX + n·c, כלומר הוספת קבוע לכל תצפית מוסיפה את הקבוע כפול מספר התצפיות לסכום.
• Σ(cX) = cΣX, כלומר כפל בקבוע מוציא את הקבוע מחוץ לסכום.
• Σ(X + Y) = ΣX + ΣY, כלומר סכום של חיבור שני משתנים שווה לסכום כל אחד מהם בנפרד.

יש להבחין בין סכום ריבועים לבין ריבוע סכום. הסימון ΣX² פירושו: מעלים כל תצפית בריבוע ואז מחברים את הריבועים. הסימון (ΣX)² פירושו: מחברים תחילה את התצפיות ורק אז מעלים את הסכום בריבוע. למשל, עבור הערכים 2, 3, 4 מתקבל ΣX = 9, ΣX² = 4 + 9 + 16 = 29, ואילו (ΣX)² = 81.

מרכז ההתפלגות: ממוצע, חציון ושכיח

מדדי מרכז מתארים את הנקודה שבה מתרכזים ערכי ההתפלגות. התפלגות היא פיזור הערכים של המשתנה. שלושת המדדים הנפוצים הם ממוצע, חציון ושכיח.

ממוצע הוא סכום התצפיות חלקי מספרן. הוא מתאים לנתונים כמותיים, בעיקר בסולם רווחים או מנה. הממוצע משתמש בכל הערכים, ולכן ערכים קיצוניים יכולים להשפיע עליו במידה רבה.

חציון הוא הערך שמחצית התצפיות קטנות או שוות לו ומחצית התצפיות גדולות או שוות לו. כדי למצוא אותו ברשימה, מסדרים את התצפיות בסדר עולה. אם מספר התצפיות אי־זוגי, החציון הוא התצפית שבמרכז. אם מספר התצפיות זוגי, החציון הוא הממוצע של שתי התצפיות האמצעיות. החציון מתאים לסולם סדר ומעלה, והוא פחות מושפע מערכים קיצוניים.

שכיח הוא הערך הנפוץ ביותר בהתפלגות. הוא מתאים לכל סוגי המשתנים, כולל סולם שמי. בהתפלגות מסוימת עשוי להיות יותר משכיח אחד.

הבחירה בין המדדים תלויה בסולם המדידה ובצורת הנתונים. בסולם שמי נשתמש בדרך כלל בשכיח בלבד. בסולם סדר אפשר להשתמש בשכיח ובחציון. בסולם רווחים ובסולם מנה אפשר לחשב ממוצע, חציון ושכיח, אך כאשר הנתונים כוללים ערכים קיצוניים או שההתפלגות אינה סימטרית, החציון עשוי לתאר את מרכז ההתפלגות באופן אמין יותר מהממוצע.