מיקום באוכלוסייה

שיעור זה עוסק באיתור מקומם היחסי של ערכים בתוך התפלגות נתונים, באמצעות אחוזונים, רבעונים ועשירונים. בנוסף נבחן כיצד המרה ליניארית של הסולם — הוספת קבוע או הכפלה בקבוע — משפיעה על הממוצע ועל מדדי הפיזור. הרעיון המרכזי הוא שניתן לתאר לא רק את מרכז הנתונים, אלא גם את הנקודות שבהן עובר חלק מסוים מהאוכלוסייה.

אחוזונים בטבלת שכיחויות בדידה

אחוזון, או מאון, הוא מדד מיקום המציין ערך בנתונים שבו לראשונה שיעור התצפיות הקטנות או שוות לו מגיע ל־p% או יותר. נסמן את האחוזון ה־p ב־P_p. בטבלת שכיחויות בדידה, שבה כל ערך מופיע עם שכיחותו, מאתרים את האחוזון בעזרת השכיחות היחסית המצטברת.

שכיחות מצטברת של ערך היא סכום השכיחויות של כל הערכים הקטנים או שווים לו. שכיחות יחסית מצטברת היא השכיחות המצטברת חלקי מספר התצפיות הכולל, מוכפלת ב־100. אם השכיחות היחסית המצטברת של ערך היא 62%, פירושו ש־62% מהתצפיות קטנות או שוות לאותו ערך.

כדי לאתר את האחוזון ה־p, עוברים על הערכים מהקטן לגדול ובוחרים את הערך הראשון שבו השכיחות היחסית המצטברת גדולה או שווה ל־p. לדוגמה, אם עבור הערכים 60, 70, 80, 90 התקבלו שכיחויות יחסיות מצטברות של 20%, 50%, 90%, 100%, אז P_30 הוא 70, משום ש־50% הוא האחוז המצטבר הראשון שעולה על 30%.

בטבלה בדידה אין מבצעים אינטרפולציה, כלומר אין מחשבים ערכי ביניים בין הערכים הקיימים. אם הסף נמצא בין שני ערכים, בוחרים את הערך הבדיד הראשון שבו המצטברת מגיעה אל הסף או עוברת אותו. לכן ייתכן שהאחוזון שייבחר יתאים לאחוז מצטבר הגדול מ־p.

רבעונים

רבעונים הם אחוזונים מיוחדים המחלקים את ההתפלגות לארבעה חלקים שווים לפי אחוזים. הרבעון התחתון, המסומן Q1, הוא האחוזון ה־25. הרבעון האמצעי, Q2, הוא האחוזון ה־50 והוא זהה לחציון. הרבעון העליון, Q3, הוא האחוזון ה־75.

בטבלה בדידה מאתרים אותם באותו אופן שבו מאתרים אחוזון: Q1 הוא הערך הראשון שבו השכיחות היחסית המצטברת מגיעה ל־25% או יותר; Q2 הוא הערך הראשון שבו היא מגיעה ל־50% או יותר; Q3 הוא הערך הראשון שבו היא מגיעה ל־75% או יותר.

המשמעות של Q1 היא שלפחות 25% מהתצפיות קטנות או שוות לו. באופן דומה, לפחות 50% מהתצפיות קטנות או שוות ל־Q2, ולפחות 75% מהתצפיות קטנות או שוות ל־Q3. אם Q1=70, Q2=80, Q3=90, אז רבע מהתצפיות נמצאות עד 70, מחציתן עד 80, ושלושה רבעים עד 90.

ההפרש Q3 - Q1 נקרא הטווח הבין־רבעוני. הוא מתאר את התחום שבו נמצאים 50% מהנתונים האמצעיים, ולכן הוא משמש לעיתים לתיאור פיזור שאינו מושפע ישירות מתצפיות קיצוניות.

עשירונים

עשירונים מחלקים את ההתפלגות לעשרה חלקים שווים לפי אחוזים. העשירון הראשון מתאים לאחוזון 10, העשירון השני לאחוזון 20, וכן הלאה עד העשירון התשיעי המתאים לאחוזון 90. נהוג לסמן עשירון k ב־D_k, ולכן D_k מתאים לאחוזון 10k.

בטבלת שכיחויות בדידה, איתור עשירון זהה לאיתור אחוזון: עבור D_k מחפשים את הערך הראשון שבו השכיחות היחסית המצטברת באחוזים גדולה או שווה ל־10k. כאשר מבקשים עשירון תחתון, הכוונה היא בדרך כלל ל־D1; כאשר מבקשים עשירון עליון, הכוונה היא בדרך כלל ל־D9.

גם בעשירונים אין לבחור ערך שאינו מופיע בטבלה. העשירון הוא הערך הבדיד הראשון שבו המצטברת מגיעה אל הסף או עוברת אותו, ולכן ייתכן שהאחוז המצטבר בפועל יהיה גדול במעט מהסף המבוקש.

המרת סולמות ליניארית

המרת סולמות ליניארית, הנקראת גם טרנספורמציה ליניארית, היא שינוי שנעשה על כל התצפיות באותו אופן, לפי הכלל Y = aX + b. הקבוע b מייצג הוספה או החסרה של ערך קבוע, והקבוע a מייצג הכפלה או חילוק בקבוע. לדוגמה, הוספת 5 נקודות לכל ציון היא Y = X + 5; הכפלת כל ציון ב־2 היא Y = 2X; המרה המשלבת הכפלה והוספה היא Y = 2X + 5.

המרה כזו משמשת כאשר רוצים לשנות את יחידות המדידה או את סולם הציונים, למשל מעבר ממטרים לסנטימטרים, שקלול ציונים, או הוספת תיקון קבוע לכל הנתונים. כאשר a חיובי, סדר הערכים נשמר; כאשר a שלילי, סדר הערכים מתהפך. בכל מקרה, יש להבחין בין ההשפעה על מדדי המיקום ובין ההשפעה על מדדי הפיזור.

השפעת הוספת קבוע על ממוצע ופיזור

כאשר מוסיפים קבוע b לכל תצפית, כלומר Y = X + b, הממוצע משתנה בדיוק באותו קבוע: ממוצע Y שווה לממוצע X ועוד b. גם מדדי מיקום אחרים, כגון חציון, רבעונים ואחוזונים, זזים באותו קבוע, כל עוד סדר הנתונים אינו משתנה.

לעומת זאת, מדדי פיזור אינם משתנים. הטווח, השונות וסטיית התקן נשארים כשהיו, משום שהמרחקים בין התצפיות אינם משתנים כאשר כל הנתונים מוזזים יחד באותו שיעור. לדוגמה, אם ממוצע הציונים הוא 70 וסטיית התקן היא 8, ומוסיפים לכל ציון 5 נקודות, הממוצע החדש הוא 75 וסטיית התקן נשארת 8.

השפעת הכפלה בקבוע על ממוצע ופיזור

כאשר מכפילים כל תצפית בקבוע a, כלומר Y = aX, הממוצע מוכפל ב־a: ממוצע Y שווה ל־a כפול ממוצע X. אם a חיובי, גם החציון, הרבעונים והאחוזונים מוכפלים ב־a. אם a שלילי, הממוצע עדיין מוכפל ב־a, אך יש לשים לב שסדר הנתונים מתהפך.

מדדי פיזור מושפעים מהכפלה באופן שונה. הטווח וסטיית התקן מוכפלים בערך המוחלט של a, כלומר |a|. השונות מוכפלת ב־a², משום שהשונות נמדדת בריבוע המרחקים. לדוגמה, אם ממוצע הוא 70 וסטיית התקן היא 8, ומכפילים כל ציון ב־2, הממוצע החדש הוא 140, סטיית התקן היא 16, והשונות היא 256 אם השונות המקורית הייתה 64.

המרה ליניארית כללית

עבור המרה כללית Y = aX + b מתקבלים הכללים הבאים: הממוצע הוא a כפול ממוצע X ועוד b. הטווח הוא |a| כפול הטווח של X. סטיית התקן היא |a| כפול סטיית התקן של X. השונות היא a² כפול השונות של X.

הקבוע b משפיע על המיקום אך אינו משפיע על הפיזור. הקבוע a משפיע גם על המיקום וגם על הפיזור: הוא מכפיל את הממוצע, ובמקביל מכפיל את סטיית התקן בערך המוחלט שלו ואת השונות בריבועו. לכן, כאשר נתונים עוברים המרה ליניארית, יש תחילה לזהות את a ואת b, ורק אז לחשב את המדדים החדשים לפי הכללים האלה.