שונות מוסברת ושונות לא מוסברת: כמה מוסבר וכמה נותר

כאשר בודקים קשר בין שני משתנים, לא די לדעת אם הקשר חיובי או שלילי. יש גם לבחון איזה חלק מהפיזור בנתונים מוסבר על ידי הקשר, ואיזה חלק נותר בלתי מוסבר. בנוסף, יש להתאים את מדד הקשר לסולמות המדידה של המשתנים.

השונות של המשתנה התלוי

בבדיקת קשר בין שני משתנים, לעיתים מבקשים לדעת עד כמה ערכיו של משתנה אחד מסבירים את הפיזור בערכיו של המשתנה השני. ברגרסיה לינארית, המשתנה שאותו מנסים להסביר נקרא המשתנה התלוי, והמשתנה שמסביר אותו נקרא המשתנה המסביר או המשתנה הבלתי תלוי.

שונות היא מדד לפיזור הערכים סביב הממוצע. כאשר השונות גדולה, הערכים רחוקים יותר זה מזה ומהממוצע. כאשר השונות קטנה, הערכים מרוכזים יותר סביב הממוצע.

שונות מוסברת ושונות לא מוסברת

את השונות הכוללת של המשתנה התלוי נהוג לחלק לשני חלקים:

• שונות מוסברת היא החלק בשונות המשתנה התלוי שמוסבר על ידי המשתנה המסביר באמצעות קו הרגרסיה. היא נקראת גם שונות הניבויים.
• שונות לא מוסברת היא החלק שנותר לאחר השימוש במשתנה המסביר. היא נקראת גם שונות טעויות, משום שהיא מייצגת הבדלים שאינם מוסברים על ידי המודל.

אם קו הרגרסיה מצליח לתאר את הקשר היטב, הנקודות בדיאגרמת הפיזור קרובות לקו, והשונות הלא מוסברת קטנה. אם הקשר חלש, הנקודות מפוזרות יותר סביב הקו, והשונות הלא מוסברת גדולה.

מקדם ההסבר r²

כדי לבטא את חלק השונות המוסברת משתמשים בריבוע מקדם המתאם, המסומן r². אם r הוא מקדם המתאם של פירסון, אז r² הוא מקדם ההסבר. ערכו נע בין 0 ל-1, והוא מתפרש לרוב כאחוז מהשונות המוסברת.

אם r = 0.80, אז r² = 0.64. פירוש הדבר ש-64% מהשונות במשתנה התלוי מוסברים על ידי המשתנה המסביר, ו-36% הם שונות לא מוסברת. אם r = -0.70, אז r² = 0.49. גם במקרה זה 49% מהשונות מוסברים, משום שהריבוע מבטל את הסימן. לכן r² אינו מראה את כיוון הקשר, אלא רק את עוצמת ההסבר.

הקשר בין עוצמת המתאם לבין השונות שנותרת

ככל שהערך המוחלט של r גדול יותר, כך r² גדול יותר, ואחוז השונות המוסברת עולה. לעומת זאת, ככל ש-r קרוב יותר ל-0, השונות המוסברת קטנה, והשונות הלא מוסברת גדלה.

אם r² = 1, כל השונות של המשתנה התלוי מוסברת על ידי המשתנה המסביר. במצב כזה אין שונות לא מוסברת, וכל הנקודות נמצאות על קו הרגרסיה. אם r² = 0, המשתנה המסביר אינו מסביר דבר מהשונות של המשתנה התלוי במודל הלינארי, וכל השונות נותרת כשונות לא מוסברת.

r² גבוה אינו מוכיח סיבתיות. הוא רק מראה שהקשר הלינארי מסביר חלק גדול מהפיזור בנתונים. ייתכן מתאם גבוה בין שני משתנים ללא קשר סיבתי ביניהם.

בחירת מדד קשר לפי סולם המדידה

לפני חישוב מדד קשר יש לזהות את סולמות המדידה של שני המשתנים. שלושת הסולמות המרכזיים הם:

• סולם שמי או סולם זהות — המשתנה מחלק את התצפיות לקבוצות ללא סדר, כגון מגדר, בית ספר או סוג תרופה.
• סולם סדר — המשתנה מסדר את התצפיות לפי דירוג, אך המרחקים בין הדרגות אינם בהכרח שווים, כגון רמת מוטיבציה: נמוכה, בינונית, גבוהה.
• סולם כמותי — המשתנה נמדד במספרים שיש להם משמעות כמותית, כגון גובה, משקל, ציון או הכנסה.

מדדי הקשר הנפוצים הם פירסון, ספירמן, קרמר ופי. הבחירה ביניהם נעשית לפי סוג המשתנים, ולא לפי תוצאה רצויה.

מדד פי למשתנים דיכוטומיים

משתנה דיכוטומי הוא משתנה שמי שיש לו בדיוק שתי קטגוריות, כגון הצליח או לא הצליח, בעד או נגד. מדד פי מתאים כאשר שני המשתנים דיכוטומיים, כלומר כאשר טבלת השכיחות המשותפת היא טבלה בגודל 2×2.

מדד פי הוא דרך קיצור לחישוב מדד קרמר במקרה הפרטי של שני משתנים דיכוטומיים. לכן אם שני המשתנים הם שמיים ובעלי שתי קטגוריות בלבד, אפשר להשתמש בפי. אם אחד המשתנים שמי אך יש לו יותר משתי קטגוריות, פי אינו מתאים.

מדד קרמר למשתנים שמיים

מדד קרמר מתאים לבדיקת קשר בין משתנים שמיים. הוא משמש כאשר לפחות אחד המשתנים הוא שמי, או כאשר שני המשתנים שמיים ואינם שניהם דיכוטומיים. לדוגמה, אם בודקים קשר בין סוג בית ספר לבין דעה בעד או נגד, המשתנה סוג בית ספר הוא שמי עם כמה קטגוריות, ולכן קרמר הוא המדד המתאים.

מדד ספירמן לקשר דירוגי

מדד ספירמן בודק קשר דירוגי. הוא מתאים כאשר שני המשתנים הם בסולם סדר, או כאשר אחד המשתנים הוא סדר והאחר כמותי. בנתונים כאלה בוחנים את הקשר לפי דירוג התצפיות.

לדוגמה, אם רמת מוטיבציה נמדדת כנמוכה, בינונית או גבוהה, ומספר החיסורים הוא נתון כמותי, הקשר נבחן לפי דירוג, ולכן נבחר ספירמן. מדד ספירמן מקבל ערכים בין ‎-1 ל-1, והוא מראה כיוון ועוצמה של קשר דירוגי.

מדד פירסון לקשר לינארי בין משתנים כמותיים

מדד פירסון מתאים כאשר שני המשתנים כמותיים ורוצים לבדוק קשר לינארי ביניהם. הוא מקבל ערכים בין ‎-1 ל-1. ערך חיובי מראה שככל שמשתנה אחד עולה, לשני יש נטייה לעלות. ערך שלילי מראה שככל שמשתנה אחד עולה, לשני יש נטייה לרדת. ערך קרוב ל-0 מראה קשר לינארי חלש.

לדוגמה, אם בודקים קשר בין גובה בסנטימטרים לבין משקל בקילוגרמים, שני המשתנים כמותיים, ולכן המדד המתאים הוא פירסון. אם הנתונים אינם כמותיים, פירסון אינו מתאים.

עץ בחירה בין פי, קרמר, ספירמן ופירסון

כדי לבחור מדד קשר מתאים, נשאל כמה שאלות לפי סדר:

1. האם שני המשתנים דיכוטומיים? אם כן, המדד המתאים הוא פי.
2. אם לא, האם אחד המשתנים הוא שמי? אם כן, המדד המתאים הוא קרמר.
3. אם לא, האם שני המשתנים כמותיים? אם כן, המדד המתאים הוא פירסון.
4. אם לא, המשתנים הם סדריים או שילוב של סדר וכמותי, ולכן המדד המתאים הוא ספירמן.

הבחירה אינה תלויה בכיוון הקשר או בעוצמתו. היא נקבעת רק לפי סולמות המדידה של המשתנים. מדדי הקשר הם סימטריים, ולכן אין חשיבות לאיזה משתנה נקרא X ולאיזה נקרא Y לצורך בחירת המדד.