מונוטוניות וקיצון באמצעות הנגזרת

שיעור זה מסביר כיצד סימן הנגזרת הראשונה קובע את תחומי העלייה והירידה של פונקציה, כיצד מאתרים נקודות שבהן ייתכן קיצון מקומי, וכיצד טבלת סימנים ומבחן הנגזרת הראשונה מכריעים את סוג הקיצון. כמו כן נבהיר בקצרה את תפקיד הנגזרת השנייה בתיאור קעירות ובזיהוי נקודות פיתול, משום שמושגים אלה מסייעים לקרוא את צורת הגרף ואת שינויי המגמה שלו.

סימן הנגזרת הראשונה ומונוטוניות

מונוטוניות מתארת את כיוון ההשתנות של פונקציה בקטע. נאמר שפונקציה $f$ עולה ממש בקטע $I$ אם לכל $x_1f(x_2)$.

כאשר $f$ גזירה בקטע, סימן הנגזרת הראשונה נותן תנאי מספיק למונוטוניות:

• אם $f'(x)>0$ לכל $x$ בקטע, אז $f$ עולה ממש בקטע.
• אם $f'(x)<0$ לכל $x$ בקטע, אז $f$ יורדת ממש בקטע.
• אם $f'(x)=0$ לכל $x$ בקטע, אז $f$ קבועה בקטע.

לדוגמה, עבור $f(x)=x^2-4x$ מתקבל $f'(x)=2x-4$. כאשר $x<2$, הנגזרת שלילית ולכן הפונקציה יורדת; כאשר $x>2$, הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה עולה. הנקודה $x=2$ היא נקודה שבה הנגזרת מתאפסת, ולכן היא תיבדק כנקודה חשודה לקיצון.

נקודות חשודות לקיצון מקומי

קיצון מקומי הוא ערך של הפונקציה בנקודה שבה הוא גדול או קטן מערכי הפונקציה בסביבה קרובה של אותה נקודה. נקודה $c$ היא נקודת מקסימום מקומי אם קיימת סביבה של $c$ שבה $f(x)\le f(c)$ לכל $x$ בתחום ההגדרה. היא נקודת מינימום מקומי אם באותה סביבה $f(x)\ge f(c)$.

אם $f$ גזירה בנקודה פנימית $c$ בתחום ההגדרה ומתקבל בה קיצון מקומי, אז בהכרח $f'(c)=0$. עם זאת, התנאי $f'(c)=0$ אינו מספיק. לדוגמה, עבור $f(x)=x^3$ מתקיים $f'(0)=0$, אבל הפונקציה עולה גם משמאל ל־0 וגם מימין לו, ולכן אין ב־0 קיצון מקומי.

לפיכך, נקודה פנימית שבה יש חשד לקיצון היא נקודה שבה $f'(c)=0$ או שבה $f'$ אינה מוגדרת, ובלבד ש־$f$ עצמה מוגדרת בנקודה. לדוגמה, $f(x)=|x|$ אינה גזירה ב־0, אבל יש בה מינימום מקומי ב־0, משום שהפונקציה יורדת משמאל לנקודה ועולה מימין לה.

טבלת סימנים לנגזרת הראשונה

טבלת סימנים לנגזרת הראשונה מסדרת את המידע על סימן $f'$ בקטעים שונים של תחום ההגדרה. הנקודות שבהן $f'$ מתאפסת או אינה מוגדרת מחלקות את הציר לקטעים, ובכל קטע בודקים את סימן הנגזרת בנקודת בדיקה אחת. אם אין בקטע נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת או אינה מוגדרת, סימנה אינו משתנה בתוכו, ולכן הבדיקה בנקודה אחת מייצגת את כל הקטע.

סדר העבודה הוא:

1. מציאת תחום ההגדרה של $f$.
2. מציאת הנקודות שבהן $f'(x)=0$ או שבהן $f'$ אינה מוגדרת.
3. סימון הנקודות על ציר המספרים וחלוקת הציר לקטעים.
4. בחירת נקודת בדיקה בכל קטע וחישוב סימן $f'$ בה.
5. רישום סימן הנגזרת והמסקנה על עלייה או ירידה.

אם יש נקודות שבהן הפונקציה אינה מוגדרת, הן מפרידות בין קטעים, אך אינן יכולות להיות נקודות קיצון אם אינן שייכות לתחום ההגדרה.

נבחן את $f(x)=x^3-3x^2$. הנגזרת היא

$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2).$

הנגזרת מתאפסת ב־$x=0$ וב־$x=2$. נבחר נקודות בדיקה: $x=-1$ בקטע $(-\infty,0)$, $x=1$ בקטע $(0,2)$, ו־$x=3$ בקטע $(2,\infty)$. מתקבל $f'(-1)=9>0$, $f'(1)=-3<0$, ו־$f'(3)=9>0$.

קטע	$(-\infty,0)$	$(0,2)$	$(2,\infty)$
סימן $f'(x)$	$+$	$-$	$+$
התנהגות $f$	עולה	יורדת	עולה

לכן הפונקציה עולה בקטע $(-\infty,0)$, יורדת בקטע $(0,2)$, ועולה שוב בקטע $(2,\infty)$. מעבר מעלייה לירידה או מירידה לעלייה בנקודה חשודה הוא הבסיס לסיווג קיצון.

מבחן הנגזרת הראשונה לסיווג קיצון

מבחן הנגזרת הראשונה בודק את שינוי הסימן של $f'$ משני צדי נקודה חשודה. הקיצון נקבע לפי המעבר בין עלייה לירידה:

• אם $f'$ עוברת מסימן חיובי לסימן שלילי בנקודה $c$, הפונקציה עוברת מעלייה לירידה, ולכן ב־$x=c$ מתקבל מקסימום מקומי.
• אם $f'$ עוברת מסימן שלילי לסימן חיובי, הפונקציה עוברת מירידה לעלייה, ולכן ב־$x=c$ מתקבל מינימום מקומי.
• אם סימן $f'$ אינו משתנה משני צדי הנקודה, אין ב־$c$ קיצון מקומי.

בדוגמה הקודמת, בנקודה $x=0$ הנגזרת עוברת מסימן חיובי לסימן שלילי. לכן ב־$x=0$ מתקבל מקסימום מקומי, וערכו $f(0)=0$. בנקודה $x=2$ הנגזרת עוברת מסימן שלילי לסימן חיובי. לכן ב־$x=2$ מתקבל מינימום מקומי, וערכו

$f(2)=2^3-3\cdot 2^2=8-12=-4.$

אם הנגזרת אינה מוגדרת בנקודה חשודה, עדיין משתמשים באותו עיקרון: בודקים את סימן הנגזרת משמאל ומימין. כך, ב־$f(x)=|x|$, הנגזרת שלילית עבור $x<0$ וחיובית עבור $x>0$, ולכן ב־$x=0$ מתקבל מינימום מקומי אף שהפונקציה אינה גזירה שם.

אם התחום כולל נקודות קצה, יש להבחין בין קיצון מקומי לבין קיצון מוחלט בקטע סגור. נקודות קצה אינן נבדקות באמצעות שינוי סימן של הנגזרת משני צדיהן, משום שאין להן סביבה דו־צדדית בתוך התחום; את ערכי הפונקציה בקצוות משווים ישירות לערכים בקטע.

קעירות לפי סימן הנגזרת השנייה

הנגזרת השנייה $f''$ מתארת את קצב השינוי של הנגזרת הראשונה, ולכן היא קשורה לאופן שבו משתנה שיפוע המשיק לגרף. אם $f''(x)>0$ בקטע, שיפועי המשיקים הולכים וגדלים, והגרף קעור כלפי מעלה באותו קטע. צורה זו מזכירה קערה הפתוחה כלפי מעלה, ובסביבת כל נקודה בקטע המשיקים נמצאים מתחת לגרף.

אם $f''(x)<0$ בקטע, שיפועי המשיקים הולכים וקטנים, והגרף קעור כלפי מטה באותו קטע. צורה זו מזכירה כיפה, ובסביבת כל נקודה בקטע המשיקים נמצאים מעל הגרף. הקעירות אינה קובעת אם הפונקציה עולה או יורדת; פונקציה יכולה להיות קעורה כלפי מעלה גם בקטע שבו היא יורדת, וקעורה כלפי מטה גם בקטע שבו היא עולה.

נקודות פיתול

נקודת פיתול היא נקודה בתחום ההגדרה שבה הפונקציה משנה סוג קעירות: מקעירות כלפי מעלה לקעירות כלפי מטה, או להפך. כאשר הפונקציה גזירה פעמיים, נקודות חשודות לפיתול הן נקודות שבהן $f''(x)=0$ או שבהן $f''$ אינה מוגדרת. עם זאת, התנאי המכריע אינו ההתאפסות עצמה אלא שינוי הסימן של $f''$ משני צדי הנקודה.

נקודת פיתול יכולה להתקבל גם אם הנגזרת הראשונה אינה מתאפסת; הקריטריון הוא שינוי סוג הקעירות, לא אופקיות המשיק. בנקודה שבה הפונקציה אינה מוגדרת אין נקודת פיתול.

לדוגמה, עבור $f(x)=x^3$ מתקבל

$f''(x)=6x.$

בנקודה $x=0$ הנגזרת השנייה מתאפסת. משמאל ל־0 היא שלילית, ומימין ל־0 היא חיובית, ולכן הפונקציה עוברת מקעירות כלפי מטה לקעירות כלפי מעלה. לכן $x=0$ היא נקודת פיתול. לעומת זאת, עבור $f(x)=x^4$ מתקבל

$f''(x)=12x^2.$

גם כאן $f''(0)=0$, אבל הנגזרת השנייה חיובית משני צדי הנקודה, ולכן אין שינוי קעירות ואין נקודת פיתול ב־$x=0$.