משפטי רציפות בתחום

הפרק דן במעבר מהגדרת הרציפות בנקודה בודדת לרציפות בתחום שלם, ובכלים שהרציפות מספקת לניתוח פונקציות. הרעיון המרכזי הוא שתכונות מקומיות של גבול ורציפות, כאשר הן מתקיימות לאורך קטע, מאפשרות להסיק מסקנות גלובליות על קיום פתרונות, ערכי קיצון והתנהגות הפונקציה.

רציפות בנקודה, בקטע ובתחום

פונקציה f רציפה בנקודה x0 אם מתקיימים שלושה תנאים: הערך f(x0) מוגדר, הגבול של f(x) כאשר x שואף ל־x0 קיים, והגבול שווה לערך הפונקציה בנקודה. תנאים אלה מבטאים את הדרישה שהגרף לא ייקרע, לא ידלג ולא יחליף ערך בנקודה.

פונקציה רציפה בקטע פתוח (a,b) אם היא רציפה בכל נקודה בתוך הקטע. בקטע סגור [a,b] נדרשת רציפות בכל נקודות הפנים (a,b), וכן רציפות חד־צדדית בקצוות: מימין בנקודה a ומשמאל בנקודה b. כלומר, הגבול מימין ב־a שווה ל־f(a), והגבול משמאל ב־b שווה ל־f(b).

תחום של פונקציה הוא קבוצת הערכים שבהם היא מוגדרת, ולעיתים הוא מורכב מכמה קטעים. רציפות בתחום פירושה רציפות בכל נקודה של התחום, בהתאם לסוג הנקודה: נקודת פנים, קצה של קטע, או נקודה שבה יש לבדוק גבול חד־צדדי.

אם התחום הוא איחוד של קטעים נפרדים, הרציפות נבדקת בכל קטע בנפרד. אין דרישה שהפונקציה תתאים בין הערכים בקצוות של קטעים שאינם מחוברים, משום שאין נקודה משותפת שבה צריך להתקיים גבול רציף.

דוגמה: הפונקציה f(x)=√x מוגדרת בתחום [0,∞). היא רציפה בכל נקודה חיובית, ובנקודה 0 היא רציפה מימין בלבד, משום שהגבול מימין הוא 0 והוא שווה ל־f(0). לכן היא רציפה בתחום כולו.

העברת רציפות בפעולות אריתמטיות

רציפות נשמרת בפעולות חשבון בסיסיות. אם f ו־g רציפות בנקודה x0, אז גם הסכום f+g, ההפרש f−g והמכפלה fg רציפות באותה נקודה. אם בנוסף g(x0)≠0, אז גם המנה f/g רציפה בנקודה x0.

גם כפל בפונקציה קבועה שומר על רציפות: אם f רציפה בנקודה או בתחום ו־c הוא קבוע, אז cf רציפה באותו מקום. מכאן נובע שפולינומים, שנבנים מחזקות של x, חיבורים וכפל בקבועים, רציפים בכל הישר.

הכלל הזה תקף גם בתחום שלם: אם שתי פונקציות רציפות בתחום משותף, אז הפעולות האריתמטיות מעבירות את הרציפות לכל נקודה שבה הביטוי מוגדר. לכן פונקציה רציונלית, שהיא מנה של שני פולינומים, רציפה בכל נקודה שבה המכנה אינו מתאפס.

דוגמה: נבחן את הפונקציה h(x)=(x^2+1)/(x−2) בנקודה x=3. המונה x^2+1 והמכנה x−2 הם פולינומים, ולכן שניהם רציפים בכל נקודה. בנקודה x=3 מתקבל מכנה 3−2=1, שאינו אפס. לכן לפי כלל המנה, h רציפה בנקודה x=3. למעשה, h רציפה בכל תחום שבו x≠2.

העברת רציפות בהרכבה

גם הרכבת פונקציות מעבירה רציפות, בתנאי שהרציפות קיימת במקום המתאים. אם g רציפה בנקודה x0 ו־f רציפה בנקודה g(x0), אז ההרכבה f∘g, המוגדרת על ידי (f∘g)(x)=f(g(x)), רציפה בנקודה x0.

כדי להסיק רציפות בתחום שלם, צריך לוודא שהפונקציה הפנימית רציפה בכל נקודות התחום ושהערכים שהיא מקבלת נמצאים בתחום שבו הפונקציה החיצונית רציפה. במצב כזה ההרכבה רציפה בכל התחום.

אם הפונקציה החיצונית אינה רציפה בערך שאליו מגיעה הפונקציה הפנימית, אין להסיק שההרכבה רציפה. לכן לפני שימוש בכלל ההרכבה יש לזהות את תחום הרציפות של הפונקציה החיצונית ואת טווח הערכים של הפנימית.

דוגמה: נבחן את h(x)=√(x^2+1). הפונקציה הפנימית g(x)=x^2+1 היא פולינום, ולכן רציפה בכל הישר. ערכיה מקיימים g(x)≥1 לכל x. הפונקציה החיצונית f(u)=√u רציפה בקטע [0,∞), ובפרט בכל ערך שהוא לפחות 1. לכן ההרכבה רציפה בכל הישר.

משפט ערך הביניים

משפט ערך הביניים קובע: אם פונקציה f רציפה בקטע הסגור [a,b], ו־L הוא מספר שנמצא בין הערכים f(a) ו־f(b), אז קיימת נקודה c בקטע כך ש־f(c)=L. אם L נמצא ממש בין הערכים, אפשר לבחור c בין a ל־b.

הניסוח "בין הערכים" אינו תלוי בסדר הקצוות: אם f(a)f(b), אז f(b)≤L≤f(a). במילים אחרות, הערך L נמצא בין שני המספרים שמתקבלים בקצוות, בלי תלות איזה מהם גדול יותר.

המשמעות הגרפית היא שגרף של פונקציה רציפה בקטע אינו יכול לעבור מערך אחד לשני בלי לעבור בכל ערכי הביניים. לכן המשפט משמש פעמים רבות להוכחת קיום פתרון של משוואה, גם כאשר אי אפשר לחשב את הפתרון במפורש.

שימוש נפוץ: אם רוצים להראות שלמשוואה f(x)=0 יש פתרון בקטע [a,b], בודקים ש־f רציפה בקטע ושהערכים בקצוות הם מסימנים מנוגדים, כלומר f(a)·f(b)<0. במקרה כזה 0 נמצא בין f(a) ל־f(b), ולכן קיימת נקודה שבה הפונקציה מתאפסת.

דוגמה: נבחן את הפונקציה f(x)=x^3−3x+1 בקטע [0,1]. זו פונקציה פולינומית, ולכן היא רציפה בקטע. מתקיים f(0)=1 ו־f(1)=1−3+1=−1. מכיוון ש־0 נמצא בין 1 ל־‎-1‎, לפי משפט ערך הביניים קיימת נקודה c בקטע (0,1) שבה f(c)=0. המשפט מבטיח קיום פתרון, אך אינו נותן את ערכו המדויק.

משפט ויירשטראס: קיום מינימום ומקסימום בקטע סגור

משפט ויירשטראס קובע שפונקציה רציפה בקטע סגור וחסום [a,b] מקבלת מינימום מוחלט ומקסימום מוחלט. כלומר, קיימות נקודות x_min ו־x_max בקטע [a,b], כך שלכל x בקטע מתקיים f(x_min)≤f(x)≤f(x_max).

הנקודות שבהן מתקבלים הערכים הקיצוניים יכולות להיות נקודות פנימיות של הקטע או נקודות קצה. לכן בבדיקת מינימום ומקסימום מוחלטים בקטע סגור נהוג לבחון נקודות פנימיות שבהן יש שינוי בהתנהגות הפונקציה, וכן את ערכי הפונקציה בשני הקצוות.

דוגמה: נבחן את f(x)=x^2−2x+3 בקטע [0,3]. נשלים לריבוע ונקבל f(x)=(x−1)^2+2. מכאן שהערך הקטן ביותר של הביטוי הוא 2, והוא מתקבל ב־x=1. נבדוק גם את הקצוות: f(0)=3, f(3)=9−6+3=6. לכן המינימום המוחלט בקטע הוא 2 בנקודה x=1, והמקסימום המוחלט הוא 6 בנקודה x=3.

תפקיד התחום במשפטי הקיום

התנאים של קטע סגור וחסום אינם טכניים בלבד. אם התחום אינו סגור או אינו חסום, רציפות לבדה אינה מבטיחה שפונקציה תקבל מינימום או מקסימום. למשל, הפונקציה f(x)=x בקטע הפתוח (0,1) רציפה, אך אינה מקבלת מינימום או מקסימום בקטע: היא מתקרבת ל־0 ול־1, אך אינה מגיעה אליהם. לעומת זאת, בקטע הסגור [0,1] אותה פונקציה מקבלת מינימום 0 בנקודה 0 ומקסימום 1 בנקודה 1.

דוגמה נוספת: הפונקציה f(x)=x בקטע [0,∞) רציפה ויש לה מינימום 0 בנקודה 0, אך אין לה מקסימום מוחלט, משום שהערכים גדלים ללא חסם. מכאן שגם כאשר חלק מהתנאים מתקיים, אין להסיק את המסקנה המלאה של המשפט.

גם במשפט ערך הביניים נדרשת רציפות בכל הקטע שבו משתמשים. אם יש נקודת אי־רציפות, המסקנה עלולה להיכשל. לדוגמה, נגדיר פונקציה בקטע [−1,1] על ידי f(x)=1 כאשר x<0, ו־f(x)=−1 כאשר x≥0. מתקיים f(−1)=1 ו־f(1)=−1, אך אין אף נקודה בקטע שבה f(x)=0, משום שהפונקציה מקבלת רק את הערכים 1 ו־‎-1‎ ואינה רציפה ב־0.

רציפות, חד־חד־ערכיות והפיכות

פונקציה חד־חד־ערכית בתחום אם היא מקבלת כל ערך לכל היותר פעם אחת: אם f(x1)=f(x2), אז בהכרח x1=x2. רציפות לבדה אינה מבטיחה חד־חד־ערכיות. למשל, הפונקציה f(x)=x^2 בקטע [−1,1] רציפה, אך אינה חד־חד־ערכית, משום ש־f(−1)=f(1).

לעומת זאת, אם פונקציה רציפה וחד־חד־ערכית בקטע, היא בהכרח מונוטונית ממש באותו קטע: היא עולה ממש או יורדת ממש. עולה ממש פירושה שלכל שתי נקודות בקטע שמתקיים בהן x1<x2 מתקיים f(x1)<f(x2); יורדת ממש מוגדרת באופן דומה עם אי־שוויון הפוך. הקשר הזה נובע מכך שאי־מונוטוניות בקטע, יחד עם רציפות, הייתה יוצרת חזרה על ערך ביניים, בסתירה לחד־חד־ערכיות.

מונוטוניות ממש מבטיחה שהפונקציה הפיכה על תמונתה. תמונת הקטע היא קבוצת כל הערכים שהפונקציה מקבלת בו. אם הפונקציה רציפה ועולה ממש בקטע, אז לכל ערך בתמונה יש בדיוק מקור אחד, ולכן אפשר להגדיר פונקציה הפוכה.

הפונקציה ההפוכה מתאימה לכל ערך בתמונה את הנקודה היחידה בקטע שממנה הוא התקבל. כאשר הפונקציה רציפה ומונוטונית ממש בקטע, גם הפונקציה ההפוכה רציפה על תמונת הקטע.

האינטואיציה לרציפות הפונקציה ההפוכה היא שהמונוטוניות מסדרת את הערכים בסדר עולה או יורד, והרציפות מונעת קפיצות. לכן שינוי קטן בערך של הפונקציה ההפוכה מתאים לשינוי קטן בערך המקורי, והגרף של הפונקציה ההפוכה מתקבל כשיקוף של הגרף המקורי בישר y=x בלי קריעות.

דוגמה: הפונקציה f(x)=x^3 רציפה בכל הישר ועולה ממש, ולכן היא חד־חד־ערכית והפיכה. הפונקציה ההפוכה היא פונקציית השורש השלישי, והיא רציפה בכל הישר. לעומת זאת, הפונקציה f(x)=x^2 אינה הפיכה בקטע [−1,1], אך אם מצמצמים את התחום ל־[0,∞), היא רציפה ועולה ממש, ולכן הפיכה; הפונקציה ההפוכה בתחום זה היא $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$.

רציפות והתנהגות הפונקציה בתחום עבודה

הבחירה בתחום העבודה קובעת אילו מסקנות אפשר להסיק מהרציפות. אם פונקציה רציפה בקטע סגור וחסום, משפט ויירשטראס מבטיח שיש לה מינימום מוחלט ומקסימום מוחלט. אם בנוסף ידוע שהפונקציה חד־חד־ערכית באותו קטע, היא מונוטונית ממש, ולכן מיקום הערכים הקיצוניים נעשה פשוט: בעלייה ממש המינימום מתקבל בקצה השמאלי והמקסימום בקצה הימני, ובירידה ממש להפך.

כאשר הפונקציה רציפה ומונוטונית ממש בקטע, אפשר לשלב את משפט ערך הביניים עם החד־חד־ערכיות. הרציפות מבטיחה קיום פתרון למשוואה f(x)=L לכל L שבין ערכי הקצוות, והחד־חד־ערכיות מבטיחה שהפתרון יחיד.

דוגמה: נבחן את f(x)=x^3−2 בקטע [1,2]. הפונקציה רציפה ועולה ממש, ולכן חד־חד־ערכית. מתקיים f(1)=−1 ו־f(2)=6. לכן לכל L שבין ‎-1‎ ל־6 קיימת נקודה יחידה בקטע שבה f(x)=L. עבור L=0 מתקבל פתרון יחיד, שהוא השורש השלישי של 2. באותו קטע, לפי משפט ויירשטראס, המינימום המוחלט הוא ‎-1‎ בנקודה x=1, והמקסימום המוחלט הוא 6 בנקודה x=2.