גבול של פונקציה לפי קושי ולפי היינה

שיעור זה עוסק בשתי הדרכים המרכזיות להגדיר גבול של פונקציה ממשית: הגדרת אפסילון-דלתא של קושי והגדרת הסדרות של היינה. הרעיון המרכזי הוא ששתי ההגדרות מתארות את אותה תכונה של התקרבות ערכי הפונקציה לערך הגבול כאשר המשתנה מתקרב לנקודה נתונה, אך כל אחת מהן נוחה לסוגים שונים של טענות והוכחות.

ניסוח הגבול באמצעות הגדרת אפסילון-דלתא של קושי

נניח ש-$f$ פונקציה ממשית המוגדרת על תחום $D \subseteq \mathbb{R}$, ו-$a$ היא נקודת הצטברות של $D$: בכל קטע פתוח סביב $a$ קיימת נקודה של $D$ השונה מ-$a$. תנאי זה מבטיח שיש משמעות לבדוק ערכי $f$ בנקודות הקרובות ל-$a$, גם אם $f(a)$ אינה מוגדרת.

הגדרת קושי אומרת: $\lim_{x \to a} f(x)=L$ אם לכל $\varepsilon>0$ קיים $\delta>0$ כך שלכל $x \in D$ המתקיים $0<|x-a|<\delta$, מתקיים $|f(x)-L|<\varepsilon$.

התנאי $0<|x-a|$ מוציא את הנקודה $a$ עצמה מהדיון. לכן הגבול אינו תלוי בערך $f(a)$, ואף בכך שהפונקציה מוגדרת ב-$a$. המשמעות היא: אפשר להבטיח שהמרחק בין $f(x)$ ל-$L$ יהיה קטן מ-$\varepsilon$, אם נגביל את $x$ לסביבה מנוקבת של $a$ ברדיוס $\delta$ מתאים.

הסדר הכמתחנים חשוב: תחילה נבחר $\varepsilon$, ורק לאחריו מותר לבחור $\delta$. הערך $\delta$ יכול להיות תלוי ב-$\varepsilon$, ב-$a$ ובפונקציה, אך אינו יכול להיות תלוי ב-$x$. אם $\delta$ מסוים מקיים את הדרישה, גם כל $\delta$ קטן ממנו מקיים אותה. לעומת זאת, $\varepsilon$ נתון מראש ואין לשנותו לאחר הבחירה.

אם רוצים גבול חד־צדדי, מגבילים את אי־השוויון ל-$a0$. נבחר $\delta=\varepsilon$. אם $0<|x-2|<\delta$, אז

$\left|\frac{x^2-4}{x-2}-4\right|=|x-2|<\varepsilon.$

מכאן שהגבול הוא 4 לפי הגדרת קושי.

הוכחת גבול או שלילתו באמצעות סדרות לפי היינה

הגדרת היינה מנסחת את אותו רעיון בעזרת סדרות. נאמר ש-$\lim_{x \to a} f(x)=L$ אם לכל סדרה $(x_n)$ של נקודות מתחום $D$, שבה $x_n \neq a$ לכל $n$ ו-$x_n \to a$, מתקיים $f(x_n) \to L$.

בניסוח זה בודקים את התנהגות הפונקציה לאורך כל הדרכים האפשריות שבהן ניתן להתקרב ל-$a$ באמצעות סדרות. אם בכל סדרה כזו ערכי הפונקציה שואפים לאותו מספר $L$, אז $L$ הוא הגבול. אם קיימת סדרה אחת שמתקרבת ל-$a$ אך ערכי הפונקציה עליה אינם שואפים ל-$L$, אז אין גבול כזה.

כדי להוכיח גבול לפי היינה יש להתחיל בסדרה שרירותית המקיימת את התנאים, ולא לבחור סדרה מסוימת מראש. השרירותיות מבטאת את הדרישה “לכל סדרה”. לכן אי אפשר להוכיח קיום גבול בעזרת בדיקת כמה סדרות נוחות בלבד; יש לכסות כל סדרה אפשרית, או להשתמש בכלל ידוע על גבולות סדרות.

הגדרת היינה יעילה במיוחד לשלילת גבול. כדי להראות ש-$\lim_{x \to a} f(x)$ אינו קיים, מספיק למצוא שתי סדרות $(x_n)$ ו-$(y_n)$ השואפות ל-$a$, כך ש-$(f(x_n))$ ו-$(f(y_n))$ שואפות לגבולות שונים, או שאחת מהן אינה שואפת לגבול כלל.

דוגמה: נראה שלפונקציה $f(x)=\sin\frac{1}{x}$ אין גבול כאשר $x \to 0$. נגדיר

$x_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n}, \qquad y_n=\frac{1}{\frac{3\pi}{2}+2\pi n}.$

שתי הסדרות חיוביות ושואפות ל-$0$. עבור הראשונה,

$\frac{1}{x_n}=\frac{\pi}{2}+2\pi n$

ולכן $f(x_n)=\sin(\frac{\pi}{2}+2\pi n)=1$. עבור השנייה,

$\frac{1}{y_n}=\frac{3\pi}{2}+2\pi n$

ולכן $f(y_n)=\sin(\frac{3\pi}{2}+2\pi n)=-1$. קיבלנו שתי סדרות השואפות ל-$0$, אך ערכי הפונקציה עליהן שואפים ל-$1$ ול-$-1$. לכן הגבול $\lim_{x \to 0}\sin\frac{1}{x}$ אינו קיים.

אפשר גם להשתמש בהיינה כדי להוכיח גבול, כאשר יודעים להעביר את החישוב לגבולות של סדרות. למשל, אם $x_n \to 3$, אז $x_n^2 \to 9$, ולכן $\lim_{x \to 3} x^2=9$. עם זאת, להוכחה כללית של גבולות מורכבים נדרשת לעיתים הגדרת קושי, משום שהיא מאפשרת שליטה ישירה במרחקים ובחסמים.

השקילות בין הגדרת קושי להגדרת היינה

שתי ההגדרות שקולות: לפונקציה $f$ יש גבול $L$ בנקודה $a$ לפי קושי אם ורק אם יש לה גבול $L$ בנקודה $a$ לפי היינה. השקילות הזו היא הבסיס לבחירה החופשית בין הכלים, והיא גם מסבירה מדוע סדרה אחת סוררת מספיקה לשלילת גבול: היא מייצרת עד ישיר לכך שתנאי קושי נכשל.

הכיוון הראשון: קושי גורר היינה. נניח ש-$\lim_{x \to a} f(x)=L$ לפי קושי, ותהי $(x_n)$ סדרה כלשהי ב-$D$ כך ש-$x_n \neq a$ ו-$x_n \to a$. יהי $\varepsilon>0$. לפי קושי קיים $\delta>0$ כך שכל $x$ עם $0<|x-a|<\delta$ מקיים $|f(x)-L|<\varepsilon$. מכיוון ש-$x_n \to a$, קיים $N$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $|x_n-a|<\delta$. יחד עם $x_n \neq a$ נקבל $0<|x_n-a|<\delta$, ולכן $|f(x_n)-L|<\varepsilon$. מכאן $f(x_n) \to L$.

הכיוון השני: היינה גוררת קושי. נוכיח בדרך השלילה. נניח ש-$L$ אינו גבול לפי קושי. פירושו שקיים $\varepsilon_0>0$ כך שלכל $\delta>0$ קיימת נקודה $x \in D$ עם $0<|x-a|<\delta$ אך $|f(x)-L| \ge \varepsilon_0$. נבחר עבור כל $n$ טבעי $\delta=\frac{1}{n}$, ונקבל נקודה $x_n$ המקיימת

$0<|x_n-a|<\frac{1}{n}, \qquad |f(x_n)-L| \ge \varepsilon_0.$

מכיוון ש-$\frac{1}{n} \to 0$, נקבל $x_n \to a$. אך אי־השוויון הקבוע מראה ש-$f(x_n)$ אינה שואפת ל-$L$. זו סתירה להגדרת היינה. לכן אם הגדרת היינה מתקיימת, גם הגדרת קושי מתקיימת.

חשוב לשים לב שההוכחה השלילית בונה סדרה אחת שבה המרחק מ-$L$ אינו קטן מ-$\varepsilon_0$. אין צורך למצוא שתי סדרות שונות; די בסדרה אחת שמפרה את תנאי הגבול.

בחירת ההגדרה היעילה לפי סוג הטענה

הגדרת קושי מתאימה כאשר צריך להוכיח גבול באופן ישיר ולהציג קשר כמותי בין דיוק המשתנה לדיוק ערך הפונקציה. היא דורשת למצוא $\delta$ עבור כל $\varepsilon$, ולכן היא יעילה בפונקציות שבהן אפשר לחסום את $|f(x)-L|$ באמצעות כפולה של $|x-a|$ או באמצעות חסם פשוט אחר. בדוגמה של $\frac{x^2-4}{x-2}$, הפישוט האלגברי איפשר לבחור $\delta=\varepsilon$ ישירות.

בפונקציות הכוללות שבר, שורש או ערך מוחלט, לעיתים נוח להגביל תחילה את $x$ לסביבה קטנה שבה המכנה רחוק מאפס או שבה הפונקציה חסומה, ורק אז לבחור $\delta$ סופי. שלב הביניים הזה אינו מחליף את ההגדרה, אלא מאפשר לפשט את אי־השוויון שבו מטפלים.

הגדרת היינה מתאימה כאשר הטענה עוסקת בכל הדרכים האפשריות להתקרב לנקודה, או כאשר רוצים לשלול קיום גבול. מציאת סדרה אחת או שתיים שבהן הפונקציה מתנהגת אחרת חושפת תלות בנתיב ההתקרבות. בפרט, פונקציות מתנודדות כמו $\sin\frac{1}{x}$ ליד $0$ נוחות לניתוח באמצעות סדרות, כי אפשר לבחור נקודות שבהן הפונקציה מקבלת ערכים קבועים ונוחים.

הגדרת היינה שימושית גם כאשר כבר ידועים כללים על גבולות סדרות: סכום, מכפלה, מנה, פונקציות רציפות או העברת חסמים. אם אפשר להראות שלכל סדרה $x_n \to a$ מתקיים $f(x_n) \to L$ בעזרת כללים אלה, מתקבלת הוכחה קצרה. לעומת זאת, אם נדרש פיקוח מדויק על גודל השגיאה, כגון בהוכחות עם אי־שוויונים מורכבים, הגדרת קושי עשויה להיות ישירה יותר.

בקורסים אקדמיים, ובפרט בשאלות של מבחן ביניים או בחינת גמר, נדרש לעיתים לזהות איזו שיטה מתאימה. אם השאלה מבקשת להוכיח גבול מפורש באמצעות $\varepsilon$ ו-$\delta$, יש להשתמש בקושי. אם השאלה מבקשת להוכיח שגבול אינו קיים, או להשתמש בסדרות, הגדרת היינה היא הכלי הטבעי. כאשר אין דרישה מפורשת, הבחירה נעשית לפי הפעולה הקצרה והבטוחה ביותר: חישוב וחסם — קושי; נתיבים וסתירה — היינה.