ארגז הכלים לחישוב נגזרות

הנגזרת של פונקציה בנקודה היא קצב השינוי הרגעי שלה, והיא מוגדרת באמצעות גבול מנת ההפרשים כאשר התוספת של המשתנה שואפת לאפס. חישוב ישיר לפי הגדרה זו עלול להיות ארוך, במיוחד עבור ביטויים הכוללים חזקות, מכפלות, מנות או הרכבות. לכן נבנים כללי גזירה המאפשרים לפרק ביטוי מורכב לפעולות פשוטות ולחשב את הנגזרת באופן שיטתי. בשיעור זה נעסוק בכללי סכום, חזקה, מכפלה ומנה, בכלל השרשרת לפונקציה מורכבת, ובנגזרות של פונקציות טריגונומטריות בסיסיות.

כללי סכום, כפל בקבוע וחזקה

פונקציה $f$ גזירה בנקודה $x$ אם קיים הגבול של מנת ההפרשים בנקודה זו. כאשר $f$ ו-$g$ גזירות, גם הסכום שלהן גזיר, ומתקיים:

$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x).$

באופן דומה, כפל בקבוע אינו משנה את מבנה הגזירה. אם $c$ קבוע, אז:

$(cf)'(x)=c f'(x).$

כלל החזקה קובע כי עבור $n$ ממשי, בתחום שבו $x^n$ מוגדר:

$(x^n)'=n x^{n-1}.$

בפרט, נגזרת של קבוע היא $0$, משום שפונקציה קבועה אינה משתנה.

דוגמה: נגזור את הפונקציה

$f(x)=4x^5-2x^3+9x-7.$

נגזור כל איבר בנפרד:

$(4x^5)'=20x^4,$

$(-2x^3)'=-6x^2,$

$(9x)'=9,$

$(-7)'=0.$

לכן:

$f'(x)=20x^4-6x^2+9.$

כדאי לשים לב שהחזקה יורדת באחד, והמקדם המקורי מכפיל את האיבר.

באותו אופן, אם כותבים $\sqrt{x}=x^{1/2}$, מקבלים:

$(\sqrt{x})'=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$

גם חזקות שליליות נגזרות לפי אותו כלל. למשל:

$\left(\frac{1}{x}\right)'=(x^{-1})'=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}.$

כלל המכפלה

כאשר פונקציה היא מכפלה של שתי פונקציות גזירות, אין גוזרים כל גורם בנפרד ומכפילים את הנגזרות. הכלל הוא:

$(fg)'=f'g+fg'.$

האיבר הראשון מתאר את השינוי הנובע משינוי $f$ כאשר $g$ קבועה, והאיבר השני מתאר את השינוי הנובע משינוי $g$ כאשר $f$ קבועה.

דוגמה: נגזור את הפונקציה

$h(x)=(x^2+1)(x^3-2).$

נסמן:

$f(x)=x^2+1, \qquad g(x)=x^3-2.$

אז:

$f'(x)=2x, \qquad g'(x)=3x^2.$

לכן:

$h'(x)=2x(x^3-2)+(x^2+1)3x^2.$

נפתח סוגריים:

$h'(x)=2x^4-4x+3x^4+3x^2.$

נכנס איברים דומים:

$h'(x)=5x^4+3x^2-4x.$

כאשר מכפילים שלוש פונקציות, הכלל מתרחב באופן טבעי:

$(fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'.$

כלל המנה

אם $f$ ו-$g$ גזירות ו-$g(x)\neq 0$, אז המנה $f/g$ גזירה, ונגזרתה היא:

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}.$

הסדר במונה חשוב: תחילה מכפילים את נגזרת המונה במכנה, ואחר כך מחסרים את המונה כפול נגזרת המכנה.

דוגמה: נגזור את הפונקציה

$q(x)=\frac{2x+1}{x-3}.$

המונה הוא:

$f(x)=2x+1,$

ולכן:

$f'(x)=2.$

המכנה הוא:

$g(x)=x-3,$

ולכן:

$g'(x)=1.$

נציב בכלל המנה:

$q'(x)=\frac{2(x-3)-(2x+1)\cdot 1}{(x-3)^2}.$

נפשט את המונה:

$2(x-3)-(2x+1)=2x-6-2x-1=-7.$

לכן:

$q'(x)=-\frac{7}{(x-3)^2}.$

הנגזרת מוגדרת בכל נקודה שבה המכנה המקורי אינו מתאפס, כלומר $x\neq 3$.

לעיתים אפשר להימנע מכלל המנה על ידי פישוט אלגברי או כתיבה כחזקה שלילית, אך כאשר המנה אינה מצטמצמת, כלל המנה הוא הדרך הישירה.

כלל השרשרת לפונקציה מורכבת

פונקציה מורכבת היא פונקציה שבה הפלט של פונקציה אחת נכנס לפונקציה אחרת. אם $u=f(x)$ ו-$y=g(u)$, אז הפונקציה המורכבת היא:

$y=g(f(x)).$

כלל השרשרת קובע:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx},$

או בצורה שקולה:

$(g(f(x)))'=g'(f(x))\cdot f'(x).$

המשמעות היא שגוזרים את הפונקציה החיצונית לפי המשתנה הפנימי, ואז מכפילים בנגזרת של הפונקציה הפנימית.

דוגמה: נגזור את הפונקציה

$h(x)=(2x^3+1)^4.$

נבחר:

$u=2x^3+1.$

אז:

$h=u^4.$

נגזור את הפונקציה החיצונית:

$(u^4)'=4u^3.$

נגזור את הפונקציה הפנימית:

$(2x^3+1)'=6x^2.$

לכן:

$h'(x)=4(2x^3+1)^3\cdot 6x^2.$

כלומר:

$h'(x)=24x^2(2x^3+1)^3.$

דוגמה נוספת: נגזור את הפונקציה

$y=\sqrt{3x+1}.$

נכתוב:

$u=3x+1, \qquad y=\sqrt{u}=u^{1/2}.$

אז:

$\frac{dy}{du}=\frac{1}{2\sqrt{u}},$

ו:

$\frac{du}{dx}=3.$

לכן:

$y'=\frac{1}{2\sqrt{3x+1}}\cdot 3=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}.$

טעות נפוצה היא לגזור רק את הפונקציה החיצונית ולשכוח להכפיל בנגזרת הפונקציה הפנימית.

נגזרות של פונקציות טריגונומטריות

הנגזרות של הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות נובעות מהגדרת הנגזרת ומהזהויות הטריגונומטריות. שתי הנגזרות המרכזיות הן:

$(\sin x)'=\cos x,$

$(\cos x)'=-\sin x.$

כלומר, קצב השינוי של הסינוס הוא הקוסינוס, וקצב השינוי של הקוסינוס הוא מינוס הסינוס.

הערה חשובה: הנוסחאות האלה תקפות כאשר הזווית $x$ נמדדת ברדיאנים. אם הזווית נתונה במעלות, יש להמיר אותה לרדיאנים לפני גזירה.

טבלת נגזרות שימושית:

פונקציה	נגזרת	תחום שבו הנגזרת מוגדרת
$\sin x$	$\cos x$	לכל $x$
$\cos x$	$-\sin x$	לכל $x$
$\tan x$	$\frac{1}{\cos^2 x}$	כאשר $\cos x\neq 0$
$\cot x$	$-\frac{1}{\sin^2 x}$	כאשר $\sin x\neq 0$

את הנגזרת של $\tan x$ אפשר לקבל באמצעות כלל המנה, שכן:

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.$

לכן:

$$(\tan x)'= \frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x}.$$

נפשט את המונה:

$\cos^2 x+\sin^2 x=1.$

ולכן:

$(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}.$

דוגמה המשלבת כלל השרשרת: נגזור את הפונקציה

$f(x)=\cos(3x^2).$

הפונקציה החיצונית היא $\cos u$, והפונקציה הפנימית היא:

$u=3x^2.$

נגזרת הפונקציה החיצונית היא:

$-\sin u,$

ונגזרת הפונקציה הפנימית היא:

$6x.$

לכן:

$f'(x)=-\sin(3x^2)\cdot 6x.$

כלומר:

$f'(x)=-6x\sin(3x^2).$

דוגמה המשלבת מכפלה וטריגונומטריה: נגזור את הפונקציה

$p(x)=x\sin x.$

לפי כלל המכפלה:

$p'(x)=(x)'\sin x+x(\sin x)'.$

מכיוון ש:

$(x)'=1, \qquad (\sin x)'=\cos x,$

נקבל:

$p'(x)=\sin x+x\cos x.$

שילוב כללים בפונקציה אחת

בפועל, פונקציות אינן מופיעות כפעולה בודדת אלא כשילוב של סכומים, מכפלות, מנות ופונקציות מורכבות. במקרה כזה יש לזהות תחילה את המבנה של הביטוי: האם מדובר בסכום, במכפלה, במנה או בפונקציה מורכבת. לאחר מכן מפעילים את הכלל המתאים, ובתוך כל חלק ממשיכים לפרק לגורמים פשוטים יותר.

דוגמה: נגזור את הפונקציה

$F(x)=x^2\cos(3x)+\frac{\sin x}{x+1}.$

הביטוי הוא סכום של שני חלקים. את החלק הראשון נגזור בעזרת כלל המכפלה וכלל השרשרת:

$(x^2\cos(3x))'=2x\cos(3x)+x^2\cdot(-\sin(3x))\cdot 3.$

לכן חלק זה נותן:

$2x\cos(3x)-3x^2\sin(3x).$

את החלק השני נגזור בעזרת כלל המנה:

$$\left(\frac{\sin x}{x+1}\right)'= \frac{\cos x\cdot(x+1)-\sin x\cdot 1}{(x+1)^2}.$$

לכן הנגזרת הכוללת היא:

$F'(x)=2x\cos(3x)-3x^2\sin(3x)+\frac{(x+1)\cos x-\sin x}{(x+1)^2}.$