מבחני התכנסות לטורים חיוביים

הפרק מציג כלים לקביעת התכנסות או התבדרות של טורים שכל איבריהם חיוביים, החל מתנאי בסיסי הכרחי ועד מבחנים מבוססי גבול. הרעיון המרכזי הוא לבדוק אם האיברים קטנים מהר מספיק, באמצעות השוואה לטורים ידועים או באמצעות חישוב מנה ושורש.

התנאי ההכרחי להתכנסות טור

טור $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ מוגדר באמצעות סדרת הסכומים החלקיים

$S_N=\sum_{n=1}^{N}a_n.$

אם הסדרה $S_N$ שואפת לגבול סופי, אומרים שהטור מתכנס. אם אין גבול סופי, הטור מתבדר. תנאי הכרחי להתכנסות הוא

$\lim_{n\to\infty}a_n=0.$

כלומר, אם איברי הטור אינם שואפים לאפס, הטור אינו יכול להתכנס.

חשוב להדגיש שהתנאי הזה אינו מספיק. יש טורים שהאיברים שלהם שואפים לאפס ובכל זאת הם מתבדרים; הדוגמה המרכזית היא הטור ההרמוני $\sum 1/n$. לכן בדיקה ש-$a_n\to0$ אינה מספיקה כדי להוכיח התכנסות, אך היא שימושית מאוד לשלילה: ברגע שהגבול אינו אפס, אפשר לקבוע מיד שהטור מתבדר.

דוגמה: נבחן את הטור

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}.$

כאן

$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1\neq0.$

לפי התנאי ההכרחי, הטור מתבדר.

טורי $p$

טור $p$ הוא טור מהצורה

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p},$

כאשר $p$ קבוע ממשי. טורים אלה משמשים כטורי ייחוס מרכזיים במבחני השוואה, משום שההתכנסות שלהם ידועה וקלה לזכירה. לצדם משמש לעיתים גם טור הנדסי $\sum q^n$, שמתכנס כאשר $0\le q<1$ ומתבדר כאשר $q\ge1$.

הכלל לטורי $p$ הוא:

• אם $p>1$, הטור מתכנס.
• אם $p=1$, מתקבל הטור ההרמוני, והוא מתבדר.
• אם $p<1$, הטור מתבדר. במקרה $p\le0$ האיבר הכללי כלל אינו שואף לאפס, ולכן ההתבדרות נובעת ישירות מהתנאי ההכרחי.

תחום הערך של $p$	התנהגות הטור $\sum 1/n^p$	דוגמה
$p>1$	מתכנס	$\sum 1/n^2$
$p=1$	מתבדר	$\sum 1/n$
$p<1$	מתבדר	$\sum 1/\sqrt{n}$

לדוגמה, הטור $\sum 1/n^3$ מתכנס מפני ש-$p=3>1$, ואילו הטור $\sum 1/\sqrt{n}$ מתבדר מפני ש-$p=1/2<1$.

מבחן ההשוואה הישירה

מבחן ההשוואה הישירה מאפשר להסיק על טור חיובי מתוך אי־שוויון עם טור אחר שההתכנסות שלו ידועה. נאמר שטור $\sum a_n$ הוא חיובי אם $a_n>0$ לכל $n$, או לפחות החל ממקום מסוים ואילך; שינוי במספר סופי של איברים אינו משנה את שאלת ההתכנסות, משום שהוא משנה את הסכומים החלקיים רק בהפרש קבוע וסופי.

יהיו $\sum a_n$ ו-$\sum b_n$ טורים חיוביים, ונניח שמתקיים $0\le a_n\le b_n$ החל ממקום מסוים.

• אם $\sum b_n$ מתכנס, אז גם $\sum a_n$ מתכנס.
• אם $\sum a_n$ מתבדר, אז גם $\sum b_n$ מתבדר.

דוגמה להתכנסות: נבדוק את הטור

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+3}.$

עבור כל $n\ge1$ מתקיים

$0<\frac{1}{n^2+3}\le\frac{1}{n^2}.$

הטור $\sum 1/n^2$ מתכנס מפני שהוא טור $p$ עם $p=2>1$. לכן גם הטור הנתון מתכנס.

דוגמה להתבדרות: נבדוק את הטור

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}.$

עבור $n\ge1$ מתקיים $n+1\le2n$, ולכן

$\frac{1}{n+1}\ge\frac{1}{2n}.$

הטור $\sum 1/(2n)$ הוא כפולה קבועה של הטור ההרמוני, ולכן הוא מתבדר. מכאן שגם הטור $\sum 1/(n+1)$ מתבדר.

מבחן השוואת הגבולות

מבחן השוואת הגבולות מתאים כאשר קשה למצוא אי־שוויון ישיר, אך קל לזהות את קצב הגדילה של האיבר הכללי. הרעיון הוא להשוות את הטור $\sum a_n$ לטור חיובי ידוע $\sum b_n$ ולבדוק את הגבול של היחס ביניהם. אם היחס שואף לקבוע חיובי וסופי, שני הטורים מתנהגים באופן דומה, כי $a_n$ מתנהג כמו כפולה קבועה של $b_n$ עבור $n$ גדול.

אם $a_n,b_n>0$ ו-

$L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n},$

אז:

• אם $01$ או $L=\infty$, הטור מתבדר.
• אם $L=1$, המבחן אינו מכריע.

האינטואיציה היא שכאשר $L<1$, החל ממקום מסוים המנה בין איברים עוקבים קטנה מקבוע $q<1$, ולכן האיברים נשלטים על ידי טור הנדסי מתכנס. כאשר $L>1$, האיברים אינם קטנים מספיק, ובפרט אינם שואפים לאפס כנדרש להתכנסות.

דוגמה: נבדוק את הטור

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}.$

כאן

$a_n=\frac{n}{2^n}.$

נחשב את המנה:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} = \frac{n+1}{2n}.$$

לכן

$L=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac12.$

כיוון ש-$L<1$, הטור מתכנס.

המבחן יעיל במיוחד כאשר באיבר הכללי מופיעות חזקות מהצורה $c^n$ או עצרות מהצורה $n!$, משום שהיחס בין איברים עוקבים מתפשט אז בצורה נוחה. לעומת זאת, כאשר $L=1$ אין מידע מספיק. למשל, גם עבור $\sum 1/n$ וגם עבור $\sum 1/n^2$ מתקבל

$\frac{a_{n+1}}{a_n}\to1,$

אבל הטור הראשון מתבדר והשני מתכנס.

מבחן השורש של קושי

מבחן השורש של קושי מתאים במיוחד כאשר האיבר הכללי של הטור מופיע בחזקה $n$. עבור טור חיובי $\sum a_n$, בודקים את

$L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}.$

כאשר $L$ מתקבל כגבול סופי או כגבול אינסופי:

• אם $L<1$, הטור מתכנס.
• אם $L>1$ או $L=\infty$, הטור מתבדר.
• אם $L=1$, המבחן אינו מכריע.

בגרסה המדויקת יותר של המבחן משתמשים ב-$\limsup$, אך במקרים רבים בקורס החישובי הגבול הרגיל קיים ומספיק.

המשמעות של $L<1$ היא שהאיבר $a_n$ מתנהג בערך כמו חזקה של מספר הקטן מ־1, ולכן הוא קטן מהר מספיק כדי לאפשר התכנסות. לעומת זאת, אם $L>1$, האיברים אינם שואפים לאפס, והטור מתבדר.

דוגמה: נבדוק את הטור

$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n}{3n+1}\right)^n.$

כאן

$a_n=\left(\frac{2n}{3n+1}\right)^n.$

נוציא שורש מסדר $n$:

$\sqrt[n]{a_n}=\frac{2n}{3n+1}.$

לכן

$L=\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{3n+1}=\frac23.$

כיוון ש-$L<1$, הטור מתכנס.

גם במבחן השורש המקרה $L=1$ אינו מכריע. עבור $\sum 1/n$ ועבור $\sum 1/n^2$ מתקבל

$\sqrt[n]{a_n}\to1,$

אך הטור הראשון מתבדר והשני מתכנס. לכן כאשר השורש שואף ל־1, יש לבחון מבחן אחר.

בחירת מבחן התכנסות לטור חיובי

בפועל, סדר הבדיקה מתחיל בתנאי ההכרחי: אם $a_n$ אינו שואף לאפס, הטור מתבדר מיד. אם $a_n\to0$, בוחרים מבחן לפי צורת האיבר הכללי. כאשר הטור דומה לטור $p$ או לטור הנדסי, מבחן השוואת הגבולות הוא לרוב הישיר ביותר. כאשר מופיעות חזקות $c^n$ או עצרות $n!$, מבחן המנה נוח במיוחד. כאשר האיבר כולו מופיע בחזקת $n$, מבחן השורש מתאים באופן טבעי.

כל אחד מהמבחנים האלה יכול להניב אחת משלוש תוצאות: התכנסות, התבדרות, או אי־הכרעה. אם מבחן אחד אינו מכריע, יש לעבור למבחן אחר או למבחן השוואה מתאים יותר.