משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון

השיעור עוסק במשוואות שבהן מופיעה פונקציה נעלמת לצד הנגזרת הראשונה שלה בלבד. נלמד לזהות את מבנה המשוואה, להפריד משתנים כאשר הדבר אפשרי, ולקבוע פתרון פרטי בעזרת תנאי התחלה. הרעיון המרכזי הוא שהנגזרת מתארת קצב שינוי, ולכן משוואה המקשרת בין גודל לקצב שינויו מאפשרת לשחזר את הגודל עצמו עד כדי קבוע.

זיהוי משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון

משוואה דיפרנציאלית היא משוואה שבה הנעלם אינו מספר בודד אלא פונקציה, והמשוואה כוללת את הפונקציה או את נגזרותיה. סדר המשוואה הוא הסדר הגבוה ביותר של נגזרת המופיעה בה. לכן משוואה מסדר ראשון כוללת את הפונקציה הנעלמת ואת נגזרתה הראשונה בלבד, ולעולם לא תופיע בה נגזרת שנייה או גבוהה יותר.

המשתנה הבלתי תלוי יכול להיות זמן, מרחק, או פרמטר אחר. כאשר כותבים $y'$, יש להבין ביחס לאיזה משתנה מבצעים את הגזירה. במשוואה $\frac{dy}{dt}=ky$, הנגזרת היא לפי $t$, ולכן $y$ היא פונקציה של $t$. במשוואה $\frac{dy}{dx}=2xy$, הנגזרת היא לפי $x$, ולכן $y$ היא פונקציה של $x$.

דוגמאות לזיהוי:

• $y'(x)=2x$ היא משוואה מסדר ראשון, משום שהנגזרת הגבוהה ביותר היא $y'$.
• $\frac{dy}{dt}=ky$ היא משוואה מסדר ראשון, שכן מופיעה בה הנגזרת הראשונה של $y$ לפי $t$.
• $y'=x+y$ היא גם כן משוואה מסדר ראשון, אף שאינה בהכרח ניתנת להפרדת משתנים.
• $y''=y$ אינה משוואה מסדר ראשון, משום שהיא כוללת נגזרת שנייה.

לא כל משוואה מסדר ראשון ניתנת להפרדת משתנים. למשל, $y'=x+y$ היא משוואה מסדר ראשון, אך אגף ימין אינו מכפלה של פונקציה התלויה רק ב-$x$ ופונקציה התלויה רק ב-$y$. לכן הזיהוי כולל שני שלבים: תחילה בודקים מהו סדר המשוואה, ולאחר מכן בוחנים אם יש לה מבנה מתאים להפרדת משתנים.

הפרדת משתנים

משוואה מסדר ראשון נקראת ניתנת להפרדת משתנים כאשר אפשר לכתוב אותה בצורה $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y),$ כלומר מכפלה של פונקציה התלויה רק ב-$x$ ופונקציה התלויה רק ב-$y$.

אם $h(y)\neq 0$, נחלק ב-$h(y)$ ונכפיל ב-$dx$ באופן פורמלי: $\frac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx.$ לאחר מכן מבצעים אינטגרציה בשני האגפים: $\int \frac{1}{h(y)}\,dy=\int g(x)\,dx.$ התוצאה היא קשר בין $y$ ל-$x$ הכולל קבוע אינטגרציה אחד. את הקבוע נהוג לסמן ב-$C$.

שלבי העבודה המקובלים הם:

1. מזהים את הצורה $y'=g(x)h(y)$.
2. בודקים אם יש ערכי $y$ שבהם $h(y)=0$, שכן אלה עשויים לתת פתרונות קבועים.
3. עבור $h(y)\neq 0$, מפרידים את המשתנים ומבצעים אינטגרציה.
4. כותבים פתרון כללי הכולל קבוע $C$.
5. אם נתון תנאי התחלה, מציבים אותו כדי למצוא את $C$.

חשוב לבדוק גם פתרונות שבהם $h(y)=0$, משום שבמהלך החילוק ב-$h(y)$ עלולים לאבד אותם. אם $h(y_0)=0$, הפונקציה הקבועה $y=y_0$ היא פתרון של המשוואה. לעיתים הפתרון הקבוע כלול בפתרון הכללי לאחר בחירה מתאימה של $C$, ולעיתים יש לציין אותו בנפרד.

כאשר לאחר אינטגרציה מתקבל ביטוי עם לוגריתם, למשל $\ln|y|=x^2+C$, המעבר לביטוי מפורש של $y$ כולל בדרך כלל החלפת קבוע. הסיבה היא ש-$e^C$ חיובי, אך הסימן של $y$ יכול להיקבע לפי תנאי ההתחלה, ולכן נוח לסמן קבוע ממשי חדש $C$.

דוגמה קצרה: נפתור $\frac{dy}{dx}=2xy.$ כאן $g(x)=2x$ ו-$h(y)=y$. עבור $y\neq 0$ נפריד: $\frac{dy}{y}=2x\,dx.$ אינטגרציה נותנת $\ln|y|=x^2+C.$ לאחר הוצאת לוגריתם: $y=Ce^{x^2}.$ גם $y=0$ מתקבל כפתרון, והוא כלול בנוסחה הכללית כאשר $C=0$. אם נתון תנאי התחלה $y(0)=3$, נציב $x=0$ ונקבל $3=C$, ולכן הפתרון הפרטי הוא $y=3e^{x^2}$.

הפונקציות ההיפרבוליות כדוגמה לקשרי גזירה

הפונקציות ההיפרבוליות נבנות מן הפונקציה המעריכית ומשמעותיות בהקשר של משוואות דיפרנציאליות, משום שהן מקיימות קשרי גזירה פשוטים. סינוס היפרבולי מוגדר כך: $\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},$ וקוסינוס היפרבולי מוגדר כך: $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.$

שתיהן רציפות וגזירות לכל $x$ ממשי. נגזרותיהן הן: $\frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x,\qquad \frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x.$ בניגוד לפונקציות הטריגונומטריות הרגילות, אין כאן סימן מינוס בגזירת $\cosh x$. הזהות המרכזית היא $\cosh^2 x-\sinh^2 x=1.$ זהות זו מסבירה את השם "היפרבוליות": הנקודה $(\cosh t,\sinh t)$ נמצאת על ההיפרבולה $x^2-y^2=1$.

מבחינה גרפית, $\cosh x$ היא פונקציה זוגית עם מינימום מוחלט בנקודה $(0,1)$, ואילו $\sinh x$ היא פונקציה אי־זוגית העוברת בראשית הצירים ועולה לכל אורך התחום. עבור ערכי $x$ גדולים וחיוביים, שתי הפונקציות מתנהגות בקירוב כמו $\frac{e^x}{2}$.

משוואת גדילה ודעיכה

מודל בסיסי של גדילה או דעיכה מתקבל כאשר קצב השינוי של גודל פרופורציונלי לגודל עצמו. המשוואה היא $\frac{dy}{dt}=ky,$ כאשר $y(t)$ היא הכמות או הגודל בזמן $t$, ו-$k$ הוא קבוע ממשי. אם $k>0$, הגודל גדל; אם $k<0$, הגודל דועך; ואם $k=0$, הגודל קבוע.

הקבוע $k$ מתאר קצב שינוי יחסי. כאשר $k=0.05$, קצב השינוי הרגעי הוא $5\%$ מהכמות הנוכחית ליחידת זמן, במודל רציף. כאשר $k=-0.2$, מדובר בירידה יחסית של $20\%$ ליחידת זמן. לכן הסימן של $k$ קובע אם העקומה עולה או יורדת, וגודלו של $k$ משפיע על מהירות השינוי.

זו משוואה ניתנת להפרדת משתנים. עבור $y\neq 0$ נכתוב: $\frac{dy}{y}=k\,dt.$ אינטגרציה בשני האגפים נותנת: $\ln|y|=kt+C.$ לכן $|y|=e^{kt+C}=e^C e^{kt},$ ואפשר לסמן את הקבוע החדש ב-$C$ ולכתוב $y(t)=Ce^{kt}.$ הפתרון $y(t)=0$ מתקבל כאשר $C=0$.

אם נתון תנאי התחלה $y(0)=y_0$, מציבים $t=0$: $y_0=Ce^{0}=C,$ ולכן $y(t)=y_0e^{kt}.$ אם תנאי ההתחלה נתון בזמן $t_0$, כלומר $y(t_0)=y_0$, הפתרון הוא $y(t)=y_0e^{k(t-t_0)}.$

בתהליכים רציפים אלה אין צורך להניח שהשינוי מתרחש במדרגות בדידות של אחוזים. המשוואה מתארת שינוי מיידי, והפתרון המעריכי נובע ישירות מהאינטגרציה. לכן מודל זה מתאים לתיאור תופעות שבהן קצב השינוי תלוי בכמות הקיימת בכל רגע.

דוגמה לגדילה: נניח ש-$\frac{dy}{dt}=0.05y$ ו-$y(0)=200$. כאן $k=0.05$ ו-$y_0=200$, ולכן $y(t)=200e^{0.05t}.$ אחרי $t=10$: $y(10)=200e^{0.5}\approx 200\cdot 1.6487=329.7.$

דוגמה לדעיכה: נניח ש-$\frac{dy}{dt}=-0.2y$ ו-$y(0)=80$. אז $y(t)=80e^{-0.2t}.$ אחרי $t=3$: $y(3)=80e^{-0.6}\approx 80\cdot 0.5488=43.9.$

הגרפים של פתרונות אלה מתחילים באותה נקודת התחלה כאשר $t=0$, אך נפרדים מיד: עבור $k>0$ העקומה עולה, ועבור $k<0$ היא יורדת ושואפת לאפס כאשר $t$ גדל.

התאמת תנאי התחלה לפתרון כללי

הפתרון הכללי של משוואה מסדר ראשון כולל בדרך כלל קבוע חופשי אחד. תנאי התחלה הוא נתון מהצורה $y(t_0)=y_0$, והוא מאפשר לקבוע את הקבוע ולעבור מפתרון כללי לפתרון פרטי.

לדוגמה, נחזור למשוואה $\frac{dy}{dx}=2xy.$ מצאנו שפתרון כללי הוא $y=Ce^{x^2}.$ אם נתון $y(0)=3$, נציב $x=0$: $3=Ce^{0}=C.$ לכן הפתרון הפרטי הוא $y=3e^{x^2}.$

בתהליכים של גדילה ודעיכה, תנאי ההתחלה הוא לרוב הכמות בזמן ההתחלתי. אם במקום $y(0)$ נתון ערך בזמן אחר, יש להציב את אותו זמן בדיוק. למשל, אם עבור $\frac{dy}{dt}=0.1y$ נתון $y(2)=50$, הפתרון הכללי הוא $y=Ce^{0.1t}$. הצבת $t=2$ נותנת $50=Ce^{0.2},$ ולכן $C=50e^{-0.2},$ והפתרון הוא $y(t)=50e^{0.1(t-2)}.$

כאשר תנאי ההתחלה כולל כמות חיובית, הפתרון נשאר חיובי לכל $t$ במודל הרציף. אם הכמות ההתחלתית היא אפס, הפתרון הוא $y(t)=0$. אם הכמות ההתחלתית שלילית, הנוסחה עדיין תקפה מבחינה אלגברית, אך במודלים של גדילה ודעיכה הכמות לרוב מייצגת גודל פיזיקלי אי־שלילי.

בדיקת הפתרון במשוואה ובתנאי ההתחלה

לאחר מציאת פתרון, יש לוודא שהוא מקיים הן את המשוואה הדיפרנציאלית והן את תנאי ההתחלה. הבדיקה נעשית בהצבה ישירה.

ניקח את הפתרון $y(t)=200e^{0.05t}$ עבור המשוואה $\frac{dy}{dt}=0.05y$ ותנאי ההתחלה $y(0)=200$.

תחילה נבדוק את תנאי ההתחלה: $y(0)=200e^{0}=200.$ כעת נגזור: $y'(t)=200\cdot 0.05e^{0.05t}=10e^{0.05t}.$ נחשב את אגף ימין של המשוואה: $0.05y(t)=0.05\cdot 200e^{0.05t}=10e^{0.05t}.$ שני האגפים שווים, ולכן הפתרון מקיים את המשוואה.

באופן דומה, עבור $y=3e^{x^2}$ במשוואה $y'=2xy$, נגזור בעזרת כלל השרשרת: $y'=3e^{x^2}\cdot 2x=6xe^{x^2}.$ אגף ימין הוא $2xy=2x\cdot 3e^{x^2}=6xe^{x^2}.$ גם כאן מתקבלת זהות, ולכן הפתרון נכון. בנוסף, $y(0)=3e^0=3$, ולכן תנאי ההתחלה מתקיים.

יש להקפיד גם על תחום ההגדרה שבו הפתרון תקף. לדוגמה, אם בתהליך ההפרדה חילקנו ב-$y$, יש לציין שהפתרון הקבוע $y=0$ נבדק בנפרד או כלול בפתרון הכללי. בדיקה כזו חושפת שגיאות אלגבריות נפוצות בהפרדת משתנים, באינטגרציה או בהצבת תנאי ההתחלה.