פונקציה הפוכה ותכונותיה

הפרק עוסק בתנאים שבהם אפשר להפוך את פעולתה של פונקציה, ובתכונות הנובעות מכך. הרעיון המרכזי הוא שפונקציה הפוכה קיימת רק כאשר לכל פלט יש מקור יחיד, ולכן היא מחליפה בין התחום לטווח ומשקפת את הגרף ביחס לישר y=x.

חד־חד־ערכיות כתנאי לקיום פונקציה הפוכה

פונקציה משייכת לכל איבר בתחום בדיוק פלט אחד. כדי להפוך אותה, נדרש שמתוך כל פלט אפשר יהיה לשחזר את הקלט באופן יחיד. תכונה זו נקראת חד־חד־ערכיות. פונקציה f היא חד־חד־ערכית אם לכל שני קלטים x₁ ו־x₂ בתחום, מהשוויון f(x₁)=f(x₂) נובע בהכרח ש־x₁=x₂. ניסוח שקול הוא: אם x₁≠x₂, אז f(x₁)≠f(x₂).

כאשר פונקציה f מוגדרת מתחום A לטווח B והיא חד־חד־ערכית ועל, כלומר לכל y∈B קיים בדיוק x∈A כך ש־f(x)=y, אפשר להגדיר פונקציה הפוכה f⁻¹ מ־B ל־A. ההגדרה היא: f⁻¹(y)=x אם ורק אם f(x)=y. אם הפונקציה חד־חד־ערכית אך אינה על כל B, אפשר עדיין להגדיר פונקציה הפוכה על הטווח בפועל, כלומר על קבוצת הערכים שאכן מתקבלים מ־f.

אם פונקציה אינה חד־חד־ערכית, יש לפחות ערך אחד בטווח שמתקבל משני קלטים שונים. במקרה זה כל ניסיון להגדיר פונקציה הפוכה נכשל, משום שהפונקציה ההפוכה תידרש להחזיר שני ערכים שונים עבור אותו קלט. דוגמה: עבור f(x)=x² על כל הישר הממשי, מתקיים f(2)=4 וגם f(-2)=4. אם ננסה להפוך אותה, הערך 4 יצטרך להיות מוחזר גם ל־2 וגם ל־(-2), ולכן אין מדובר בפונקציה.

לעומת זאת, אם נגביל את התחום של f(x)=x² לקטע [0,∞), הפונקציה נעשית חד־חד־ערכית: לכל פלט אי־שלילי יש שורש אי־שלילי יחיד. במקרה זה אפשר להגדיר פונקציה הפוכה, והיא f⁻¹(x)=√x. הגבלת תחום היא דרך נפוצה ליצור פונקציה הפוכה כאשר הפונקציה המקורית אינה חד־חד־ערכית על כל תחומה.

דוגמה חיובית פשוטה: f(x)=2x+3. אם f(x₁)=f(x₂), אז 2x₁+3=2x₂+3, ולכן 2x₁=2x₂ ומכאן x₁=x₂. מכיוון שלכל פלט יש מקור יחיד, קיימת פונקציה הפוכה.

לפעמים בוחרים ענף אחד מתוך כמה אפשרויות, אך בחירה כזו אינה הופכת את הפונקציה המקורית להפיכה על כל תחומה. למשל, אם נגדיר עבור x² את √x כהפוכה ונשאיר את התחום המקורי ℝ, נקבל עבור x=-2: f(-2)=4 אך √4=2, ולכן ההרכבה אינה מחזירה את הקלט המקורי. לפיכך יש צורך בהתאמה מלאה בין תחום הפונקציה לבין הענף הנבחר.

החלפת תחום וטווח בין פונקציה לפונקציה ההפוכה

כאשר קיימת פונקציה הפוכה, מתחלפים תפקידי הקלט והפלט. תחום הפונקציה ההפוכה הוא קבוצת כל הערכים שהפונקציה המקורית יכולה להפיק, כלומר הטווח של f. טווח הפונקציה ההפוכה הוא קבוצת כל הקלטים המקוריים, כלומר התחום של f. אם f היא פונקציה חד־חד־ערכית ועל מ־A ל־B, אז f⁻¹ היא פונקציה מ־B ל־A.

הפונקציה	תחום	טווח
f	A	B
f⁻¹	B	A

כאשר עובדים עם פונקציות ממשיות, יש לדייק בקצוות התחום ובמגבלות הגדרה. למשל, עבור f(x)=x² בתחום 0≤x≤2, הטווח הוא 0≤f(x)≤4. הפונקציה ההפוכה היא f⁻¹(x)=√x, ותחומה הוא 0≤x≤4 וטווחה הוא 0≤f⁻¹(x)≤2. כלומר הקטע [0,2], שהיה תחום של f, נעשה טווח של f⁻¹, והקטע [0,4], שהיה טווח של f, נעשה תחום של f⁻¹.

אפשר גם להגביל את התחום לקטע [-2,0]. אז הפונקציה x² חד־חד־ערכית, הטווח הוא [0,4], והפונקציה ההפוכה היא f⁻¹(x)=-√x, עם תחום [0,4] וטווח [-2,0]. הדוגמה מראה שאותו ביטוי אלגברי יכול להוביל לפונקציות הפוכות שונות, בהתאם לתחום שנבחר.

יש להבחין בין הסימון f⁻¹ לבין כתיב של ערך הופכי. הסימון f⁻¹(x) אינו אומר 1/f(x), אלא את הקלט היחיד ש־f מחזירה ממנו את x. כאשר יש חשש לבלבול, נהוג לכתוב (f(x))⁻¹ עבור הערך ההופכי הכפלי, ולהשאיר את f⁻¹ עבור הפונקציה ההפוכה.

חישוב פונקציה הפוכה ובדיקת ההרכבות בשני הכיוונים

כדי למצוא פונקציה הפוכה של פונקציה חד־חד־ערכית, נפעל לפי סדר פעולות קבוע. תחילה מוודאים שהפונקציה חד־חד־ערכית בתחום הנדון, או מגבילים את התחום כך שתהיה חד־חד־ערכית. לאחר מכן כותבים y=f(x), מבודדים את x כפונקציה של y, ולבסוף מחליפים את שם המשתנה אם רוצים לכתוב את הפונקציה ההפוכה כ־f⁻¹(x). בסיום בודקים את שתי ההרכבות: f⁻¹(f(x))=x ו־f(f⁻¹(x))=x.

דוגמה: נחשב את הפונקציה ההפוכה של

f(x) = (2x + 1) / (x - 3), x ≠ 3.

נכתוב y = (2x + 1) / (x - 3). נכפיל במכנה ונקבל:

y(x - 3) = 2x + 1.

נפתח סוגריים:

yx - 3y = 2x + 1.

נעביר את האיברים המכילים את x לאגף אחד:

yx - 2x = 3y + 1.

נוציא גורם משותף x:

x(y - 2) = 3y + 1.

נחלק ב־y - 2, ונזכור ש־y ≠ 2:

x = (3y + 1) / (y - 2).

לכן הפונקציה ההפוכה היא

f⁻¹(x) = (3x + 1) / (x - 2), x ≠ 2.

התחום של f הוא כל הממשיים פרט ל־3, והטווח שלה הוא כל הממשיים פרט ל־2. בהתאם להחלפת התחום והטווח, התחום של f⁻¹ הוא כל הממשיים פרט ל־2, והטווח שלה הוא כל הממשיים פרט ל־3.

כעת נבדוק את ההרכבות. נסמן g(x)=f⁻¹(x)=(3x+1)/(x-2). עבור ההרכבה f(g(x)) נחשב תחילה את המונה ואת המכנה:

2g(x) + 1 = 2(3x + 1)/(x - 2) + 1 = 7x / (x - 2),

g(x) - 3 = (3x + 1)/(x - 2) - 3 = 7 / (x - 2).

לכן

f(g(x)) = [2g(x) + 1] / [g(x) - 3] = x.

עבור ההרכבה השנייה, g(f(x)), נחשב באופן דומה:

3f(x) + 1 = 3(2x + 1)/(x - 3) + 1 = 7x / (x - 3),

f(x) - 2 = (2x + 1)/(x - 3) - 2 = 7 / (x - 3).

לכן

g(f(x)) = [3f(x) + 1] / [f(x) - 2] = x.

שתי הבדיקות נדרשות. הן מאשרות שהבידוד בוצע נכון ושלא אבדו מגבלות תחום במהלך הכפל או החילוק. אם אחת ההרכבות אינה שווה ל־x, ייתכן שגורם צומצם שלא כדין, שחילקנו בביטוי שיכול להתאפס, או שהוחלף תחום לא נכון. לדוגמה, אם מתקבלת זהות רק עבור חלק מהערכים, יש לחזור ולהגדיר במפורש את תחום הפונקציה ההפוכה כטווח המדויק של הפונקציה המקורית.

בבחינת גמר או במבחן ביניים, כתיבת הפונקציה ההפוכה בלבד אינה מספיקה אם נדרשת גם בדיקת תחום, טווח או הרכבות.

הקשר הגרפי בין פונקציה לפונקציה ההפוכה

הקשר הגרפי בין פונקציה לפונקציה ההפוכה נובע ישירות מהחלפת הקלט והפלט. אם הנקודה (a,b) נמצאת על גרף f, כלומר f(a)=b, אז הנקודה (b,a) נמצאת על גרף f⁻¹. לכן גרף הפונקציה ההפוכה מתקבל על ידי החלפת שיעור ה־x ושיעור ה־y של כל נקודה בגרף המקורי.

פעולת החלפת השיעורים שקולה לשיקוף ביחס לישר y=x. אם משרטטים את גרף f ואת גרף f⁻¹ באותה מערכת צירים, שני הגרפים הם תמונות ראי זה של זה ביחס לישר זה. נקודות שנמצאות על הישר y=x נשארות במקומן, משום ששיעוריהן שווים.

הקשר הגרפי גם מסביר את תנאי החד־חד־ערכיות. אם גרף של f נחתך על ידי קו אופקי בשתי נקודות, יש שני קלטים עם אותו פלט. לאחר שיקוף ביחס ל־y=x, שתי הנקודות הללו יהפכו לשתי נקודות בעלות אותו שיעור x ושיעורי y שונים. אז קו אנכי יחתוך את הגרף המשוקף בשתי נקודות, ולכן הגרף המשוקף לא ייצג פונקציה. מכאן ש־f⁻¹ היא פונקציה בדיוק כאשר כל קו אופקי חותך את גרף f לכל היותר בנקודה אחת.

בפונקציות רציפות על קטע, דרך נפוצה לוודא חד־חד־ערכיות היא לבדוק אם הפונקציה עולה ממש או יורדת ממש לכל אורך הקטע. פונקציה כזו חותכת כל קו אופקי לכל היותר פעם אחת, ולכן יש לה פונקציה הפוכה על הקטע. גם הפונקציה ההפוכה תהיה בעלת אותו אופי מונוטוני: הפוכה של פונקציה עולה ממש היא עולה ממש, והפוכה של פונקציה יורדת ממש היא יורדת ממש.

דוגמה קצרה: אם f(x)=2x+1, אז f(0)=1 ו־f(1)=3. בגרף f מופיעות הנקודות (0,1) ו־(1,3). הפונקציה ההפוכה היא f⁻¹(x)=(x-1)/2, ובגרף שלה מופיעות הנקודות (1,0) ו־(3,1). כל נקודה עברה שיקוף ביחס לישר y=x.