תתי־סדרות, משפט בולצאנו־ויירשטראס וגבולות ידועים

בשיעור זה נבחן את הקשר בין סדרה ממשית לבין סדרות המתקבלות ממנה על ידי בחירת אינדקסים. הרעיון המרכזי הוא שתת־סדרה שומרת על סדר האיברים המקורי, ולכן התכנסות הסדרה מחייבת התכנסות של כל תתי־הסדרות לאותו גבול. מנגד, קיום תת־סדרה מתכנסת אחת אינו מספיק, ונזדקק לחסימות, למשפט בולצאנו־ויירשטראס, לגבולות ידועים ולכלל הסנדוויץ׳.

הגדרת תת־סדרה ובנייתה

נתונה סדרה ממשית $(a_n)_{n=1}^{\infty}$. תת־סדרה שלה היא סדרה $(a_{n_k})_{k=1}^{\infty}$, שבה $(n_k)$ היא סדרה עולה ממש של מספרים טבעיים:

$n_1 < n_2 < n_3 < \cdots$

סדרה מתכנסת ל־$L$ אם לכל $\varepsilon>0$ קיים $N$ כך שלכל $n\ge N$ מתקיים $|a_n-L|<\varepsilon$. סדרה חסומה אם קיים $M>0$ כך ש־$|a_n|\le M$ לכל $n$.

כל סדרה מתכנסת היא חסומה: אם $a_n\to L$, נבחר $\varepsilon=1$. קיים $N$ כך שלכל $n\ge N$, $|a_n-L|<1$, ולכן $|a_n|\le |L|+1$. יחד עם חסם סופי לאיברים הראשונים, מתקבל חסם לכל הסדרה.

חסימות אינה גוררת התכנסות. הסדרה $a_n=(-1)^n$ חסומה, אך אינה מתכנסת; תת־הסדרה הזוגית שואפת ל־$1$, והאי־זוגית שואפת ל־$-1$.

אם סדרה מתכנסת ל־$L$, אז כל תת־סדרה שלה מתכנסת גם היא ל־$L$. אכן, עבור $\varepsilon>0$ קיים $N$ כך שלכל $n\ge N$, $|a_n-L|<\varepsilon$. אם $k\ge N$, אז $n_k\ge k\ge N$, ולכן $|a_{n_k}-L|<\varepsilon$.

הקשר בין גבולות תתי־סדרות להתכנסות הסדרה

קיום תת־סדרה מתכנסת אחת אינו מספיק. לדוגמה, לסדרה $a_n=(-1)^n$ יש תת־סדרה קבועה $a_{2k}=1$, אך הסדרה עצמה אינה מתכנסת.

כדי להסיק התכנסות מתוך תתי־סדרות, אפשר לחלק את הסדרה למספר סופי של תתי־סדרות המכסות את כל האינדקסים. אם כולן מתכנסות לאותו גבול $L$, אז הסדרה כולה מתכנסת ל־$L$. במקרה כזה, עבור $\varepsilon>0$ בוחרים לכל תת־סדרה אינדקס התחלתי מתאים, ולוקחים את הגדול שביניהם. למשל, אם

$a_{2k}=\frac{1}{k},\qquad a_{2k-1}=\frac{1}{2k},$

אז שתי תתי־הסדרות שואפות ל־$0$, ומכיוון שכל אינדקס הוא זוגי או אי־זוגי, נובע $a_n\to0$.

לעומת זאת, אם קיימות שתי תתי־סדרות השואפות לגבולות שונים, הסדרה אינה מתכנסת. זו דרך שימושית להוכחת אי־התכנסות.

משפט בולצאנו־ויירשטראס לסדרה חסומה

משפט בולצאנו־ויירשטראס קובע שלכל סדרה ממשית חסומה קיימת תת־סדרה מתכנסת. אם הסדרה חסומה בקטע $[m,M]$, גבולה של כל תת־סדרה מתכנסת שייך גם הוא ל־$[m,M]$.

המשפט אינו טוען שהסדרה כולה מתכנסת. הוא מבטיח רק שאפשר לבחור רצף אינדקסים שבו הערכים מתכנסים. אינטואיטיבית, אינסוף נקודות בתוך קטע סופי חייבות להתרכז סביב ערך אחד לפחות. לדוגמה, הסדרה

$a_n=(-1)^n+\frac{1}{n}$

חסומה. תת־הסדרה הזוגית מקיימת

$a_{2k}=1+\frac{1}{2k}\to1,$

והאי־זוגית מקיימת

$a_{2k-1}=-1+\frac{1}{2k-1}\to-1.$

לכן יש לה תתי־סדרות מתכנסות, אך היא עצמה אינה מתכנסת.

שימוש נפוץ במשפט הוא בהוכחות עקיפות. נניח שסדרה חסומה, וידוע שכל תת־סדרה מתכנסת שלה חייבת להתכנס לאותו גבול $L$. אם הסדרה לא הייתה מתכנסת ל־$L$, קיים $\varepsilon>0$ ותת־סדרה $(a_{n_k})$ המקיימת $|a_{n_k}-L|\ge\varepsilon$ לכל $k$. לפי המשפט, לתת־סדרה זו יש תת־תת־סדרה מתכנסת; גבולה אינו $L$, בסתירה להנחה. לכן הסדרה מתכנסת ל־$L$.

גבולות ידועים של סדרות

גבולות ידועים הם תוצאות בסיסיות לחישוב גבולות של סדרות מורכבות. הם מאפשרים לזהות תבניות מוכרות ולהימנע מחישוב ישיר ארוך. בשילוב עם אלגברת הגבולות, הם מאפשרים לפרק ביטויים מורכבים לגורמים מוכרים.

גבולות חשובים:

• $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$.
• $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x$ לכל $x\in\mathbb{R}$.
• $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$.
• $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1$ לכל $a>0$.
• אם $x_n\to0$ ברדיאנים ו־$x_n\ne0$, אז $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\sin x_n}{x_n}=1$.
• אם $a>1$ ו־$k$ קבוע, אז $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n^k}{a^n}=0$.

דוגמה:

$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^n=e^3,$

כי זהו הגבול מהצורה $\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$ עם $x=3$.

דוגמה נוספת:

$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{3n}.$

נסמן $m=2n$. אז $3n=\frac{3}{2}m$, ולכן

$$\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{3n} = \left(1+\frac{1}{m}\right)^{3m/2} = \left[\left(1+\frac{1}{m}\right)^m\right]^{3/2}.$$

מכיוון ש־$\left(1+\frac{1}{m}\right)^m\to e$, נקבל $e^{3/2}$.

כמו כן,

$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{3^n}=0,$

כמקרה פרטי של $\frac{n^k}{a^n}\to0$ עבור $a=3$, $k=2$.

כלל הסנדוויץ׳

כלל הסנדוויץ׳ קובע: אם לכל $n$ גדול דיו מתקיים

$a_n\le b_n\le c_n,$

וגם

$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=L,$

אז גם $\lim_{n\to\infty}b_n=L$. שתי הסדרות החיצוניות לוחצות את $b_n$ כלפי אותו גבול. אם החסם התחתון והעליון שואפים לערכים שונים, הכלל אינו נותן מסקנה.

דוגמה:

$\lim_{n\to\infty}\frac{\sin n}{n}.$

לכל $n$,

$-1\le\sin n\le1.$

נחלק ב־$n>0$:

$-\frac{1}{n}\le\frac{\sin n}{n}\le\frac{1}{n}.$

שני הצדדים שואפים ל־$0$, ולכן

$\frac{\sin n}{n}\to0.$

דוגמה נוספת:

$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n+5}.$

לכל $n\ge1$, $1\le\sqrt[n]{n+5}$. כמו כן, $n+5\le6n$, ולכן

$\sqrt[n]{n+5}\le\sqrt[n]{6n}=\sqrt[n]{6}\sqrt[n]{n}.$

הגבולות הידועים נותנים $\sqrt[n]{6}\to1$ ו־$\sqrt[n]{n}\to1$, ולכן הצד הימני שואף ל־$1$. מכיוון שגם הצד השמאלי שווה ל־$1$, נקבל

$\sqrt[n]{n+5}\to1.$

הבחנה בין התכנסות הסדרה להתנהגות תתי־הסדרות שלה

הקשר בין סדרה לתתי־הסדרות שלה אינו סימטרי. התכנסות הסדרה גוררת התכנסות של כל תתי־הסדרות לאותו גבול, אך התכנסות של תת־סדרה אחת אינה גוררת התכנסות של הסדרה. תת־סדרה של תת־סדרה היא תת־סדרה של הסדרה המקורית; עובדה זו חשובה בשימוש במשפט בולצאנו־ויירשטראס. הטבלה מציגה את הכיוונים הללו בצורה תמציתית.

נתון	מסקנה	נימוק
כל תת־סדרה מתכנסת לאותו גבול $L$	הסדרה מתכנסת ל־$L$	הסדרה עצמה היא תת־סדרה עם $n_k=k$
קיימת תת־סדרה מתכנסת אחת	אין מסקנה על הסדרה כולה	למשל $a_n=(-1)^n$
קיימות שתי תתי־סדרות עם גבולות שונים	הסדרה אינה מתכנסת	סתירה לגבול יחיד
הסדרה חסומה	קיימת תת־סדרה מתכנסת	משפט בולצאנו־ויירשטראס
הסדרה אינה חסומה	הסדרה אינה מתכנסת	כל סדרה מתכנסת חסומה

דוגמה: נגדיר

$a_{2k}=1,\qquad a_{2k-1}=k.$

תת־הסדרה הזוגית מתכנסת ל־$1$, אך תת־הסדרה האי־זוגית שואפת לאינסוף. לכן הסדרה אינה מתכנסת ואינה חסומה. לעומת זאת, הסדרה החסומה $a_n=(-1)^n$ אינה מתכנסת, אך יש לה תתי־סדרות מתכנסות שונות; משפט בולצאנו־ויירשטראס מבטיח קיום תת־סדרה מתכנסת, אך אינו הופך את הסדרה כולה למתכנסת.