אומדים, תכונותיהם ומשמעות רמת הסמך באמידת ממוצע

השיעור עוסק במעבר מממצאי מדגם למסקנה על אוכלוסייה שלמה, כאשר הפרמטר הנחקר אינו ידוע. הרעיון המרכזי הוא שימוש בסטטיסטי מדגמי כאומד, ולצדו רווח סמך שמבטא את אי־הוודאות של האמידה.

פרמטר, סטטיסטי ואומד

אוכלוסייה היא קבוצת הפרטים שעליה רוצים להסיק. פרמטר הוא גודל קבוע המתאר את האוכלוסייה, כגון תוחלת μ, שונות σ² או פרופורציה p. מדגם הוא חלק מהאוכלוסייה שנבחר באקראי, וסטטיסטי הוא גודל המחושב מתצפיות המדגם, כגון ממוצע המדגם X̄. מכיוון שהפרמטרים אינם ידועים בדרך כלל, המדגם משמש בסיס לאמידה שלהם.

כאשר משתמשים בסטטיסטי כדי להעריך פרמטר, הוא נקרא אומד. נהוג לסמן פרמטר כללי ב־θ ואת האומד שלו ב־θ̂. הערך המספרי המתקבל במדגם מסוים נקרא אומדן או אומד נקודתי. לדוגמה, X̄ הוא אומד ל־μ, והערך 5.2 שהתקבל במדגם מסוים הוא האומדן של μ באותו מדגם.

חוסר הטיה ושגיאת אמידה

אומד נחשב חסר הטיה כאשר התוחלת שלו שווה לערך הפרמטר באוכלוסייה: E(θ̂)=θ. כלומר, אם נחזור על דגימות רבות ונחשב את האומד בכל מדגם, ממוצע הערכים של האומד יהיה הפרמטר עצמו. ממוצע המדגם X̄ הוא אומד חסר הטיה לתוחלת האוכלוסייה μ, משום ש־E(X̄)=μ.

שגיאת אמידה היא ההפרש בין האומד לפרמטר, θ̂−θ. מכיוון שהפרמטר אינו ידוע, לא ניתן לחשב את השגיאה במדגם יחיד, אך אפשר לתאר את הפיזור שלה באמצעות התפלגות הדגימה. התפלגות הדגימה של אומד היא ההתפלגות של הערכים שהאומד יכול לקבל במדגמים חוזרים מאותו גודל. טעות התקן של אומד היא סטיית התקן של התפלגות הדגימה שלו, ומסומנת SE. עבור ממוצע מדגם, כאשר סטיית התקן של האוכלוסייה ידועה, טעות התקן היא σ/√n. כאשר σ אינה ידועה, משתמשים באומד שלה S ומקבלים את טעות התקן האומדת S/√n.

רווח סמך ומשמעות רמת הסמך

אמידה נקודתית בלבד אינה מספיקה, משום שהסיכוי שהאומד הנקודתי יהיה בדיוק שווה לפרמטר הוא בדרך כלל אפסי, במיוחד במשתנים רציפים. לכן בונים רווח סמך: קטע [A,B] המחושב מתוך המדגם, שבו A הוא הגבול התחתון ו־B הוא הגבול העליון. לפני הדגימה אפשר לכתוב את התכונה ההסתברותית P(A≤μ≤B)=1−α.

רמת הסמך, הנקראת גם רמת ביטחון, היא 1−α, והיא מתארת את שיעור ההצלחות של שיטת הבנייה לאורך דגימות חוזרות. אם נבנה רווחי סמך רבים מאותה שיטה, שיעור הרווחים שיכללו את הפרמטר ישאף ל־1−α. לדוגמה, רווח סמך ברמת סמך 95% נבנה כך שבדגימות חוזרות רבות, כ־95% מהרווחים יכילו את μ. לאחר שהמדגם נדגם והרווח חושב, הפרמטר קבוע והרווח קבוע; לכן לא נכון לומר שהפרמטר "נמצא בהסתברות 95%" בתוך הרווח הספציפי, אלא שהרווח נבנה בשיטה בעלת רמת סמך 95%. כמו כן, רמת הסמך אינה מתארת את אחוז התצפיות באוכלוסייה שנמצאות בתוך הרווח; היא מתייחסת לאמינות שיטת האמידה של הפרמטר.

רווח סמך לתוחלת כאשר שונות האוכלוסייה ידועה

כאשר רוצים לאמוד את μ וידועה σ², בונים רווח סמך סביב X̄. התנאים המקובלים הם מדגם אקראי, וכן שהמשתנה מתפלג נורמלית באוכלוסייה או שגודל המדגם גדול מספיק כדי להסתמך על משפט הגבול המרכזי; בכללי הקורס נפוץ התנאי n≥30. אם המדגם קטן והאוכלוסייה אינה נורמלית, אין להסתמך על הנוסחה ללא הנחות נוספות.

הרווח הוא:

X̄ ± z_{1−α/2} · σ/√n

כאשר z_{1−α/2} הוא הערך בהתפלגות הנורמלית התקנית שמשאיר שטח α/2 בכל זנב. עבור רמת סמך 95%, α=0.05 ולכן z_{0.975}≈1.96. הגבול התחתון הוא A=X̄−z_{1−α/2}σ/√n, והגבול העליון הוא B=X̄+z_{1−α/2}σ/√n.

רווח סמך לתוחלת כאשר שונות האוכלוסייה אינה ידועה

במקרים רבים σ² אינה ידועה. אז מחליפים אותה בשונות המדגמית S². כדי ש־S² תהיה אומד חסר הטיה לשונות האוכלוסייה, מחשבים אותה עם מכנה n−1:

S² = Σ(X_i−X̄)²/(n−1)

במקום ערך z משתמשים בערך t מהתפלגות t עם דרגות חופש df=n−1. הרווח הוא:

X̄ ± t_{1−α/2, n−1} · S/√n

התפלגות t היא התפלגות סימטרית פעמונית עם תוחלת 0, אך היא רחבה יותר מההתפלגות הנורמלית התקנית. לכן, עבור אותה רמת סמך, הערכים הקריטיים של t גדולים יותר מהערכים הקריטיים של z, והרווח המתקבל רחב יותר. ככל שגודל המדגם עולה, דרגות החופש עולות, התפלגות t מתקרבת להתפלגות הנורמלית התקנית, וההבדל בין הרווחים קטן.

שגיאת אמידה מקסימלית, מרכז הרווח ואורכו

ברווח סמך סימטרי לממוצע, שגיאת האמידה המקסימלית היא המרחק מהאומד הנקודתי אל כל אחד מהגבולות, והיא נקראת גם טעות דגימה:

ε = z_{1−α/2} · σ/√n

או, כאשר σ אינה ידועה,

ε = t_{1−α/2,n−1} · S/√n

מכאן נובעים שלושה קשרים שימושיים:

• אורך רווח הסמך הוא L=B−A=2ε.
• ממוצע המדגם נמצא בדיוק באמצע הרווח: X̄=(A+B)/2.
• אם נתונים A ו־B, אפשר לשחזר את האומד הנקודתי ואת אורך הרווח.

לדוגמה, אם רווח סמך לממוצע הוא [510,590], אז X̄=(510+590)/2=550, אורך הרווח הוא 80, ושגיאת האמידה המקסימלית היא 40.

השפעת רמת הסמך, גודל המדגם והשונות על רוחב הרווח

רווח סמך אינו קבוע מראש; רוחבו מושפע משלושה גורמים עיקריים. העלאת רמת הסמך מגדילה את הערך הקריטי, ולכן מרחיבה את הרווח. הגדלת גודל המדגם n מקטינה את טעות התקן, ולכן מקטינה את רוחב הרווח. שונות אוכלוסייה גדולה יותר, או אומד שונות גדול יותר, מגדילה את טעות התקן ולכן מרחיבה את הרווח.

כאשר מתכננים מחקר ורוצים ששגיאת האמידה המקסימלית לא תעלה מראש מערך ε, אפשר לחשב את גודל המדגם הדרוש. אם σ ידועה ורוצים רמת סמך 1−α, נדרש:

n ≥ (z_{1−α/2} · σ / ε)²

ומעגלים כלפי מעלה למספר שלם. דרישה לרמת סמך גבוהה יותר או לשגיאה קטנה יותר תגדיל את n הנדרש.