מבחן להפרש תוחלות ושמירת כיוון ההפרש: מדידות לפני ואחרי ורווח להפרשים

שיעור זה עוסק בהסקה סטטיסטית על הבדל בין שתי תוחלות, תוך דגש על מצבים שבהם שתי המדידות נעשות על אותם נבדקים, כגון מדידה לפני טיפול ומדידה לאחריו. הרעיון המרכזי הוא שהשוואה כזו נעשית באמצעות משתנה הפרשים יחיד, ולכן יש להגדיר מראש את כיוון ההפרש ולשמור עליו בכל שלבי החישוב, הפלט והפירוש.

הפרש תוחלות וכיוון ההפרש

כאשר משווים שתי אוכלוסיות או שני מצבי מדידה, הפרמטר הנבדק הוא הפרש התוחלות, למשל μ₁ − μ₂. האומד הנקודתי שלו הוא הפרש הממוצעים במדגם, x̄₁ − x̄₂. במדגם מזווג, האומד הוא ממוצע ההפרשים, D̄.

כיוון ההפרש אינו עניין טכני בלבד. אם מגדירים את ההפרש כ־“קבוצה 1 פחות קבוצה 2”, ערך חיובי פירושו שהממוצע בקבוצה 1 גבוה יותר. אם מחליפים את סדר הקבוצות, הסימן מתהפך. לכן יש לקבוע את הכיוון לפני החישוב ולהשתמש בו בעקביות בכל הנוסחאות, בטבלאות ובמסקנה.

מדגמים בלתי תלויים ומדגמים מזווגים

לפני בחירת המבחן יש להבחין בין שני מבני נתונים נפוצים.

סוג העיצוב	מבנה הנתונים	הפרמטר הנבדק
מדגמים בלתי תלויים	שתי קבוצות נפרדות של נבדקים	μ₁ − μ₂
מדגם מזווג	שתי מדידות על אותם נבדקים או זוגות תואמים	μ_D
מדידות לפני ואחרי	מקרה פרטי של מדגם מזווג	μ_D לפי כיוון ההפרש

במדגמים בלתי תלויים, למשל השוואת ציונים אצל שני מרצים שונים, כל נבדק שייך לקבוצה אחת בלבד. במדגם מזווג, כל נבדק נמדד פעמיים, ולכן ההשוואה אינה בין שתי קבוצות נפרדות אלא בין שני מצבים אצל אותו נבדק.

רווח סמך להפרש תוחלות במדגמים בלתי תלויים

כאשר המדגמים בלתי תלויים, רווח הסמך להפרש התוחלות נבנה סביב האומד x̄₁ − x̄₂. אם שונויות האוכלוסייה ידועות, משתמשים בהתפלגות Z. אם השונויות אינן ידועות אך מניחים שוויון שונויות בין שתי האוכלוסיות, משתמשים בהתפלגות t עם דרגות חופש n₁ + n₂ − 2.

במקרה של שוויון שונויות, אומדים את השונות המשותפת באמצעות השונות המשוקללת:

S_p² = [(n₁ − 1)S₁² + (n₂ − 1)S₂²] / (n₁ + n₂ − 2)

וטעות התקן של הפרש הממוצעים היא:

SE = S_p√(1/n₁ + 1/n₂)

רווח הסמך הוא:

(x̄₁ − x̄₂) ± t · SE

אם הערך 0 נמצא בתוך רווח הסמך, אין ברמת הביטחון הנתונה עדות מספקת להבדל בין התוחלות. אם הרווח כולו חיובי או כולו שלילי, ניתן להסיק גם על כיוון ההבדל, בהתאם להגדרת ההפרש.

מדידות לפני ואחרי כמדגם מזווג

במדידות לפני ואחרי, כל נבדק נמדד פעמיים. במקום להתייחס לשתי העמודות כאל שני מדגמים בלתי תלויים, מחשבים לכל נבדק הפרש אחד. אם מסמנים את המדידה לפני כ־X ואת המדידה אחרי כ־Y, אפשר להגדיר D = X − Y או D = Y − X. שתי ההגדרות תקינות, אך הן מחייבות פירוש הפוך של הסימן.

לדוגמה, אם בודקים שיפור בציונים לאחר הכנה, ומגדירים D = Before − After, אז שיפור יתבטא בערך שלילי של D, משום שהציון לאחר ההכנה גבוה יותר. אם מגדירים D = After − Before, אותו שיפור יתבטא בערך חיובי. לכן אין משמעות לסימן בלי ידיעת כיוון ההפרש שהוגדר.

מבחן השערות לתוחלת ההפרשים

במדגם מזווג, השערת האפס היא שתוחלת ההפרשים באוכלוסייה שווה לערך מסוים, לרוב 0:

H₀: μ_D = 0

ההשערה החלופה יכולה להיות דו־כיוונית:

H₁: μ_D ≠ 0

או חד־כיוונית:

H₁: μ_D > 0
H₁: μ_D < 0

סטטיסטי המבחן הוא:

t = (D̄ − μ_D0) / (S_D / √n)

כאשר D̄ הוא ממוצע ההפרשים במדגם, S_D היא סטיית התקן של ההפרשים, n הוא מספר הזוגות, ודרגות החופש הן n − 1.

דוחים את השערת האפס כאשר ערך המובהקות, p, קטן מרמת המובהקות α, או כאשר סטטיסטי המבחן נמצא באזור הדחייה המתאים. במבחן חד־כיווני יש לוודא שסימן הסטטיסטי תואם את כיוון ההשערה. אם ההשערה היא μ_D > 0 אך התקבל t שלילי מאוד, אין דוחים את השערת האפס לכיוון זה.

רווח סמך לתוחלת ההפרשים

רווח סמך לתוחלת ההפרשים נבנה סביב ממוצע ההפרשים במדגם:

D̄ ± t · (S_D / √n)

כאשר t נקבע לפי רמת הביטחון ולפי דרגות החופש n − 1. זהו רווח לתוחלת ההפרשים באוכלוסייה, ולא להפרש של נבדק בודד.

אם רמת הביטחון היא 95%, הפירוש הוא שהשיטה נותנת רווחים הכוללים את μ_D ב־95% מהמדגמים החוזרים. אם הרווח אינו כולל את 0, הוא תואם דחייה של H₀: μ_D = 0 במבחן דו־כיווני ברמת מובהקות 0.05. אם הרווח כולל את 0, המבחן הדו־כיווני המתאים לא ידחה את השערת האפס.

סימן הגבולות מראה את כיוון ההפרש לפי ההגדרה שנבחרה. אם הרווח הוא ל־Before − After והוא כולו שלילי, פירושו שהמדידה לאחר המדידה הראשונה גבוהה יותר בממוצע. אם הרווח הוא ל־After − Before והוא כולו חיובי, אותה תופעה תתואר כהפרש חיובי לטובת המדידה המאוחרת.

הקשר בין רווח סמך למבחן השערות

רווח סמך דו־כיווני ומבחן השערות דו־כיווני באותה רמת α מובילים לאותה הכרעה לגבי השערת האפס שההפרש שווה ל־0. רווח סמך ברמת ביטחון 95% שקול למבחן ברמת מובהקות 5% כאשר בודקים האם הפרמטר שווה ל־0.

עם זאת, רווח הסמך אינו רק כלל הכרעה. הוא מציג גם את גודל ההפרש המשוער ואת טווח אי־הוודאות סביבו. לכן גם כאשר דוחים את השערת האפס, חשוב לבדוק אם הרווח מצביע על הפרש קטן או גדול, ומה כיוונו לפי הגדרת המשתנה.

שמירת כיוון ההפרש בפלט מחשובי

פלט של מבחן t למדגמים מזווגים מציג בדרך כלל את ממוצע ההפרשים, סטיית תקן, טעות תקן, רווח סמך 95%, סטטיסטי t, דרגות חופש וערך מובהקות דו־כיווני. לפני הפירוש יש לבדוק איזה הפרש הוגדר בפלט, למשל Before − After.

אם ממוצע ההפרשים Before − After הוא שלילי, פירושו שהמדידה השנייה גבוהה יותר בממוצע. אם רווח הסמך להפרש זה הוא כולו שלילי, יש עדות לכך שהמדידה השנייה גבוהה יותר, בתנאי שזהו כיוון ההפרש שהוגדר. אם רוצים להציג את ההפרש בכיוון ההפוך, למשל After − Before, יש להחליף את סימן הממוצע ואת גבולות הרווח, אך לא לשנות את המסקנה העניינית.

כאשר ערך המובהקות בפלט הוא דו־כיווני, מעבר למבחן חד־כיווני מותר רק אם הכיוון נקבע מראש והסימן בפלט תואם לו. במקרה כזה נהוג לחלק את הערך הדו־כיווני בשתיים. אם הכיוון אינו תואם את ההשערה החד־כיוונית, אין מדווחים על מובהקות חד־כיוונית על בסיס אותו פלט.