מבחן חי־בריבוע לבדיקת פיזור באוכלוסייה: אסימטריה ונורמליות

השיעור עוסק במבחן חי־בריבוע ככלי לבחון אם שכיחויות שנצפו במדגם תואמות שכיחויות צפויות באוכלוסייה. הרעיון המרכזי הוא שפערים בין שכיחויות נצפות לצפויות מסוכמים לכדי סטטיסטי אחד, והתפלגותו של סטטיסטי זה — אסימטרית ומתקרבת לנורמלית ככל שדרגות החופש גדלות — קובעת את אופן ההכרעה.

בדיקת פיזור באוכלוסייה: השערות ומבנה הנתונים

בדיקת פיזור, או מבחן טיב התאמה, בודקת אם משתנה קטגוריאלי מתפלג באוכלוסייה לפי שיעורים צפויים מראש. הנתונים נאספים כשכיחויות: מספר התצפיות שנפלו בכל קטגוריה. השערת האפס קובעת שהפיזור באוכלוסייה תואם את הפיזור הצפוי, ואילו ההשערה החלופית קובעת שלפחות קטגוריה אחת חורגת ממנו.

שני הגדלים המרכזיים במבחן הם שכיחות נצפית ושכיחות צפויה. שכיחות נצפית, המסומנת לרוב O_i, היא מספר התצפיות במדגם בקטגוריה i. שכיחות צפויה, E_i, היא מספר התצפיות שהיינו מצפים לקבל באותה קטגוריה אילו השערת האפס הייתה נכונה. אם גודל המדגם הוא n והשיעור הצפוי בקטגוריה הוא p_i, אז E_i = n p_i.

סטטיסטי חי־בריבוע ודרגות חופש

סטטיסטי המבחן מסכם את הפערים בין כל הקטגוריות באמצעות הנוסחה:

χ² = Σ (O_i − E_i)² / E_i

הסיכום נערך על פני כל הקטגוריות. כל קטגוריה תורמת את ריבוע הפער בין השכיחות הנצפית לשכיחות הצפויה, מחולק בשכיחות הצפויה. החלוקה ב־E_i מאפשרת לשקול את הפער ביחס לגודל הצפוי של הקטגוריה: פער של חמש תצפיות בקטגוריה קטנה משמעותי יותר מאותו פער בקטגוריה גדולה מאוד.

כאשר ההתאמה בין הנתונים לפיזור הצפוי טובה, הפערים קטנים וערך הסטטיסטי נמוך. כאשר הפערים גדולים, הערך עולה ומצביע על אי־התאמה. דרגות החופש מבטאות את מספר הקטגוריות שניתן היה לשנות באופן חופשי לאחר שסך כל השכיחויות נקבע. במבחן טיב התאמה פשוט עם k קטגוריות, דרגות החופש הן df = k − 1.

אסימטריה ונורמליות בהתפלגות חי־בריבוע

התפלגות חי־בריבוע היא התפלגות של סכום ריבועים של משתנים נורמליים תקניים. היא מקבלת רק ערכים אי־שליליים, ולכן אינה סימטרית סביב אפס. צורתה הבסיסית אסימטרית ימינה: יש ריכוז של ערכים קטנים יחסית וזנב הנמשך לערכים גדולים.

דרגות החופש קובעות את מידת האסימטריה. כאשר דרגות החופש מעטות, ההתפלגות מרוכזת קרוב לאפס וזנבה הימני ארוך. ככל שדרגות החופש גדלות, ההתפלגות נעשית רחבה יותר, ממוקמת יותר ימינה ומתקרבת לצורה נורמלית. לכן אזור הדחייה במבחן חי־בריבוע הוא בדרך כלל הזנב הימני: ערך גדול של הסטטיסטי מעיד על אי־התאמה חזקה בין הנצפה לצפוי.

ערך ה־p במבחן זה הוא שטח הזנב הימני של ההתפלגות מעל לערך הסטטיסטי שהתקבל. כלומר, הוא מודד את ההסתברות לקבל, תחת השערת האפס, ערך קיצוני לפחות כמו הערך שנצפה במדגם. חשוב להבחין שהנורמליות כאן אינה מתייחסת להתפלגות המשתנה הקטגוריאלי עצמו, אלא לקירוב של התפלגות הסטטיסטי כאשר תנאי המבחן מתקיימים.

מבחן טיב התאמה למשתנה דיכוטומי ושיעור באוכלוסייה

כאשר המשתנה הנבדק הוא דיכוטומי, כלומר בעל שתי קטגוריות בלבד, מבחן חי־בריבוע לטיב התאמה בודק למעשה השערה על שיעור באוכלוסייה. אם השערת האפס היא p = p₀, השכיחויות הצפויות הן np₀ ו־n(1 − p₀). במקרה זה יש דרגת חופש אחת בלבד.

המבחן מתאים לבדיקה דו־צדדית של שיעור: סטייה גדולה מדי או קטנה מדי מהשיעור הצפוי תתבטא בערך חי־בריבוע גדול. לכן הוא אינו בודק מראש כיוון אחד בלבד, אלא כל חריגה מהפיזור המשוער. כך אפשר לבחון, למשל, אם שיעור התומכים בהצעה, שיעור הנענים לסקר או שיעור הפרטים בקטגוריה מסוימת שונה משיעור שנמצא בסקר קודם או מהשערה מחקרית.

טבלת שכיחויות ותרומת קטגוריות לסטטיסטי

בבחינה מעשית נוח לסדר את הנתונים בטבלת שכיחויות. הטבלה מציגה לכל קטגוריה את השכיחות הנצפית, את השכיחות הצפויה ואת התרומה שלה לסטטיסטי המבחן.

קטגוריה	שכיחות נצפית	שכיחות צפויה	תרומה לסטטיסטי
1	O₁	E₁	(O₁ − E₁)² / E₁
2	O₂	E₂	(O₂ − E₂)² / E₂
k	O_k	E_k	(O_k − E_k)² / E_k
סך הכול	n	n	χ²

סכום התרומות הוא ערך המבחן. קטגוריה עם שכיחות צפויה קטנה עלולה להגדיל מאוד את התרומה של פער שאינו גדול במיוחד, ולכן יש לבדוק מראש אם השכיחויות הצפויות מתאימות לשימוש במבחן.

מבחן חי־בריבוע לאי־תלות

בנוסף לבדיקת פיזור של משתנה יחיד, סטטיסטי חי־בריבוע משמש גם לבדיקת אי־תלות בין שני משתנים קטגוריאליים. כאן השערת האפס היא שאין קשר בין המשתנים, והשכיחויות הצפויות מחושבות מתוך שולי הטבלה: מכפלת השכיחות השולית של השורה בשכיחות השולית של העמודה, חלקי סך כל התצפיות.

דרגות החופש בטבלה בעלת r שורות ו־c עמודות הן (r − 1)(c − 1). העיקרון נשאר דומה: משווים שכיחויות נצפות לשכיחויות צפויות תחת אי־תלות, וערך גדול של הסטטיסטי מעיד על חריגה מהצפוי. בפלט סטטיסטי מופיעים בדרך כלל ערך המבחן, דרגות החופש וערך ה־p.

הכרעה במבחן וקריאת פלט

ההכרעה מתקבלת באמצעות השוואת ערך ה־p לרמת המובהקות שנקבעה מראש, α. אם ערך ה־p קטן או שווה ל־α, דוחים את השערת האפס וקובעים שיש ראיה מספקת לסטייה מהפיזור הצפוי. אם ערך ה־p גדול מ־α, אין מספיק ראיות לדחות את השערת האפס.

בפלט של תוכנה סטטיסטית מופיע לעיתים הערך Asymp. Sig., כלומר ערך p המבוסס על הקירוב האסימפטוטי להתפלגות חי־בריבוע. לדוגמה, אם מתקבל Pearson Chi-Square = 1.973, df = 2, Asymp. Sig. = .373 ו־N = 60, אז ברמת מובהקות 5% ערך ה־p גדול מ־0.05 ולכן אין דוחים את השערת האפס. אין פירוש הדבר שהשערת האפס נכונה בהכרח, אלא שהמדגם לא סיפק ראיה מספקת נגדה.

תנאים לשימוש ותוקף המבחן

השימוש במבחן חי־בריבוע מחייב עמידה במספר תנאים. ראשית, התצפיות צריכות להיות בלתי תלויות; כל נבדק או פריט נספר פעם אחת בלבד. שנית, הקטגוריות צריכות להיות זרות וממצות, כך שכל תצפית משויכת לאחת ויחידה. שלישית, השכיחויות הצפויות צריכות להיות גדולות מספיק כדי שהקירוב להתפלגות חי־בריבוע יהיה סביר.

כאשר השכיחויות הצפויות קטנות מדי, הקירוב עלול להיות לא מדויק, וערך המבחן עלול להוביל למסקנה שגויה. במצב כזה נהוג לאחד קטגוריות אם הדבר מוצדק מבחינת תוכן המחקר, או להשתמש בשיטת בדיקה מדויקת יותר. כמו כן, המבחן מצביע על קיום חוסר התאמה כולל, אך אינו מסביר בהכרח איזו קטגוריה אחראית לסטייה; לשם כך נהוג לבחון את התרומות של הקטגוריות או התאים לסטטיסטי.