פרופורציה מאוחדת והחלטה על פער; אומדן פער ממוצעים בין קבוצות

שיעור זה עוסק בהשוואת שתי אוכלוסיות באמצעות מדגמים בלתי תלויים, בשני מצבים: השוואת שיעורים והשוואת ממוצעים. הרעיון המרכזי הוא שהפרש שנצפה במדגם אינו מספיק בפני עצמו; יש לבחון את אי־הודאות סביבו באמצעות טעות התקן, רווח סמך או מבחן השערות. לכן נבחין בין אומדן נקודתי לבין טווח סביר של ערכים, ונראה כיצד הערך אפס משמש להכרעה על קיום פער.

האומדן הנקודתי בהשוואת שתי קבוצות

אומדן נקודתי הוא ערך יחיד המחושב מן המדגם ומשמש להערכת פרמטר באוכלוסייה. כאשר משווים שתי קבוצות, הפרמטר הוא בדרך כלל הפרש בין שני פרמטרים: הפרש פרופורציות p₁ − p₂ או הפרש תוחלות μ₁ − μ₂. בהתאם, האומדן הנקודתי הוא הפרש בין שני אומדנים מדגמיים.

מכיוון שהמדגמים נדגמים באקראי, האומדן הנקודתי משתנה ממדגם למדגם. לכן לצד ההפרש הנצפה יש לחשב את פיזורו האפשרי של האומדן, כלומר את טעות התקן, ולבנות על פיו רווח סמך או סטטיסטי מבחן.

הפרש פרופורציות ותנאי הדגימה

כאשר מעוניינים להשוות שיעור הצלחה בשתי אוכלוסיות, מגדירים את הפרופורציות האוכלוסייתיות p₁ ו־p₂. מכל אוכלוסייה נדגם מדגם נפרד: במדגם הראשון מסומנת הפרופורציה המדגמית p̂₁, ובשני p̂₂. האומדן הנקודתי להפרש הפרופורציות p₁ − p₂ הוא p̂₁ − p̂₂.

כדי שהאומדן והרווח סביבו יהיו אמינים, נדרשים שני תנאים בסיסיים. ראשית, שני המדגמים בלתי תלויים, כלומר בחירת פרט במדגם אחד אינה משפיעה על בחירת פרט במדגם השני. שנית, מספרי ההצלחות והכישלונות בכל מדגם גדולים דיים; נהוג לדרוש לפחות 5 או 10 מכל סוג, לפי כלל הקורס.

רווח סמך להפרש פרופורציות

רווח סמך הוא טווח ערכים שנועד לכסות את הפרמטר האוכלוסייתי ברמת ביטחון שנקבעה מראש. עבור הפרש פרופורציות ורמת סמך 1−α, הרווח הוא:

(p̂₁ − p̂₂) ± Z_{1−α/2}·√[p̂₁(1−p̂₁)/n₁ + p̂₂(1−p̂₂)/n₂]

בנוסחה זו n₁ ו־n₂ הם גדלי המדגמים, והשורש מבטא את אומדן טעות התקן של ההפרש. מכיוון שרווח הסמך נועד לאמוד את ההפרש בלי להניח מראש ששתי הפרופורציות שוות, כל קבוצה תורמת את אומדן השונות שלה בנפרד.

פרופורציה מאוחדת במבחן על שוויון שיעורים

בבדיקת השערות על הפרש פרופורציות, השערת האפס הנפוצה היא H₀: p₁ = p₂, כלומר אין פער בין השיעורים באוכלוסיות. תחת השערה זו שתי הקבוצות נדגמות מאותו שיעור משותף, ולכן מותר לאחד את מספרי ההצלחות משני המדגמים.

את הנתונים אפשר לסדר בטבלת שכיחויות כללית:

קבוצה	הצלחות	כישלונות	סך הכול
קבוצה 1	x₁	n₁ − x₁	n₁
קבוצה 2	x₂	n₂ − x₂	n₂

פרופורציה מאוחדת היא אומדן משותף לשיעור ההצלחה תחת השערת האפס, והיא מחושבת כך:

p̂ = (x₁ + x₂)/(n₁ + n₂)

כאשר x₁ ו־x₂ הם מספרי ההצלחות בכל מדגם. בהתאמה, q̂ = 1 − p̂. טעות התקן של ההפרש תחת השערת האפס מחושבת באמצעות הפרופורציה המאוחדת:

√[p̂·q̂·(1/n₁ + 1/n₂)]

סטטיסטי המבחן המתוקנן הוא היחס בין ההפרש המדגמי לבין טעות התקן המאוחדת:

Z = (p̂₁ − p̂₂) / √[p̂·q̂·(1/n₁ + 1/n₂)]

כאשר ההפרש המדגמי גדול ביחס לטעות התקן, מתקבל ערך קיצוני, והדבר עשוי להוביל לדחיית השערת האפס ברמת המובהקות שנבחרה. חשוב להבחין כי ברווח סמך להפרש פרופורציות משתמשים באומדנים נפרדים, ואילו במבחן תחת השערת האפס משתמשים בפרופורציה המאוחדת.

החלטה על פער לפי רווח סמך להפרש פרופורציות

רווח סמך להפרש פרופורציות יכול לשמש גם להחלטה על קיום פער. אם רווח הסמך כולל את הערך אפס, לא ניתן לקבוע שיש הבדל מובהק בין הפרופורציות באוכלוסיות ברמת הסמך הנתונה. במצב כזה הנתונים אינם שוללים אפשרות של שוויון בין השיעורים.

אם אפס אינו נכלל ברווח, קיימת עדות לפער בין הפרופורציות. רווח שכולו חיובי מצביע על כך שהפרופורציה בקבוצה הראשונה גבוהה יותר, ורווח שכולו שלילי מצביע על כך שהפרופורציה בקבוצה השנייה גבוהה יותר. במבחן דו־צדדי, רווח סמך ברמת סמך 1−α משמש ככלי החלטה תואם: אם אפס מחוץ לרווח, הממצא תומך בדחיית השערת האפס ברמת מובהקות α.

אומדן פער ממוצעים בין קבוצות בלתי תלויות

כאשר המשתנה הנבדק הוא כמותי, הפרמטר להשוואה הוא פער התוחלות μ₁ − μ₂ בין שתי האוכלוסיות. האומדן הנקודתי לפער זה הוא הפרש הממוצעים המדגמיים:

x̄₁ − x̄₂

גם כאן נדרשים מדגמים בלתי תלויים. כדי להשתמש בהתפלגות נורמלית תקנית או בהתפלגות t, נדרשת התפלגות נורמלית של המשתנה בכל אוכלוסייה, או מדגמים גדולים, למשל n₁ ו־n₂ גדולים מ־30, שבהם ניתן להסתמך על משפט הגבול המרכזי.

רווח סמך להפרש תוחלות כששונויות האוכלוסייה ידועות

אם שונויות האוכלוסיות σ₁² ו־σ₂² ידועות, רווח הסמך להפרש התוחלות הוא:

(x̄₁ − x̄₂) ± Z_{1−α/2}·√(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂)

במקרה זה טעות התקן מחושבת ישירות מן השונויות הידועות. אם הערך אפס נופל בתוך רווח הסמך, לא ניתן לטעון ברמת הסמך הנתונה שקיים הבדל בין התוחלות. אם אפס מחוץ לרווח, הרווח מצביע על כיוון הפער.

שונות משוקללת ורווח סמך כששונויות אינן ידועות

במקרים מעשיים רבים השונויות אינן ידועות. אם מניחים שוויון שונויות בין שתי האוכלוסיות, אומדים את השונות המשותפת באמצעות שונות משוקללת:

S_p² = [(n₁ − 1)S₁² + (n₂ − 1)S₂²]/(n₁ + n₂ − 2)

השקלול נותן לכל מדגם משקל לפי דרגות החופש שלו, כלומר לפי גודלו פחות אחד. דרגות החופש של התפלגות t הן:

df = n₁ + n₂ − 2

רווח הסמך הוא:

(x̄₁ − x̄₂) ± t_{1−α/2, df}·S_p·√(1/n₁ + 1/n₂)

כאן S_p הוא שורש השונות המשוקללת, כלומר אומדן לסטיית התקן המשותפת. גם ברווח זה, הכללת אפס משמעה שאין עדות מספקת לפער בין ממוצעי הקבוצות, ואי־הכללת אפס משמעה שיש עדות לפער חיובי או שלילי בהתאם לסימני הגבולות.

פרשנות הערך אפס ברווחי סמך להפרשים

הערך אפס מייצג היעדר פער בין הקבוצות: בפרופורציות הוא מתאים למצב p₁ = p₂, ובתוחלות למצב μ₁ = μ₂. לכן רווח סמך להפרש שכולל את אפס אינו מאפשר לקבוע שקיים הבדל מובהק בין הקבוצות.

עם זאת, הכללת אפס אינה הוכחה לכך שהקבוצות שוות. המשמעות היא שהמדגם הנוכחי לא סיפק עדות מספקת לפער. גבולות הרווח עצמם מתארים טווח סביר לגודל הפער האפשרי, ולכן הם מאפשרים להעריך לא רק את עצם קיום ההבדל אלא גם את כיוונו ואת סדר הגודל שלו.