איחוד קבוצות נתונים

בשיעור זה נלמד כיצד מתארים קבוצת נתונים שנוצרת מאיחוד של כמה קבוצות קטנות, וכיצד משווים תצפיות שנמדדו בסולמות שונים. הרעיון המרכזי הוא שחישוב נכון של ממוצע ופיזור דורש התחשבות בגודל כל קבוצה, ושמדדים כמו ציון תקן ואחוזונים מאפשרים לתאר מיקום יחסי גם כאשר יחידות המדידה משתנות.

ממוצע משוקלל ופיזור כולל באיחוד קבוצות

כאשר מאחדים כמה קבוצות נתונים לקבוצה אחת, לא תמיד מותר לחשב ממוצע פשוט של ממוצעי הקבוצות. אם הקבוצות שונות בגודלן, לקבוצה גדולה יש השפעה רבה יותר על הממוצע הכולל. לכן משתמשים בממוצע משוקלל.

נסמן כמה קבוצות. עבור קבוצה מסוימת נסמן:

• n_j = מספר התצפיות בקבוצה.
• x̄_j = ממוצע התצפיות בקבוצה.
• s_j² = השונות של הקבוצה.

מספר התצפיות הכולל הוא סכום מספרי התצפיות בכל הקבוצות:
N = n_1 + n_2 + … + n_k

הממוצע הכולל של כל התצפיות לאחר האיחוד הוא:

x̄ = (n_1x̄_1 + n_2x̄_2 + … + n_kx̄_k) / N

כלומר, כל ממוצע קבוצתי מוכפל במספר התצפיות בקבוצה שלו, סכום המכפלות מתחלק במספר התצפיות הכולל. אם כל הקבוצות שוות בגודלן, הממוצע המשוקלל שווה לממוצע הפשוט של ממוצעי הקבוצות.

לדוגמה, אם בכיתה אחת יש 20 תלמידים והממוצע שלהם 70, ובכיתה אחרת יש 30 תלמידים והממוצע שלהם 80, הממוצע הכולל הוא:

(20 · 70 + 30 · 80) / 50 = 76

ממוצע פשוט של 70 ו-80 היה נותן 75, אך הוא מתעלם מכך שהכיתה השנייה גדולה יותר.

כדי לתאר את הפיזור של כלל התצפיות לאחר האיחוד, אין להסתפק בשונות של כל קבוצה בנפרד. יש להתחשב גם בפיזור בתוך כל קבוצה וגם בפערים בין ממוצעי הקבוצות לבין הממוצע הכולל. השונות של כלל התצפיות לאחר האיחוד נקראת גם שונות מצורפת.

השונות המצורפת מחושבת כך:

s² = [n_1s_1² + n_2s_2² + … + n_ks_k²] / N

• [n_1(x̄_1 − x̄)² + n_2(x̄_2 − x̄)² + … + n_k(x̄_k − x̄)²] / N

החלק הראשון מייצג את הפיזור בתוך הקבוצות, לאחר שקלול לפי גודל כל קבוצה. החלק השני מייצג את הפיזור הנובע מכך שממוצעי הקבוצות אינם זהים. מחברים את שני הרכיבים — אין מחסרים ביניהם. סטיית התקן הכוללת היא השורש הריבועי של השונות הכוללת. אם נתונה סטיית תקן במקום שונות, תחילה מעלים אותה בריבוע.

ציון תקן כמדד חריגות אחיד

לעיתים צריך להשוות תצפית אחת להתפלגות שלה, או להשוות בין תצפיות שנמדדו בסולמות שונים. לשם כך משתמשים בציון תקן. ציון תקן של תצפית מראה כמה סטיות תקן התצפית רחוקה מהממוצע של קבוצת הייחוס שלה.

הנוסחה לציון תקן היא:

z = (x − x̄) / s

כאשר x היא התצפית, x̄ הוא ממוצע הקבוצה, ו-s היא סטיית התקן של הקבוצה.

משמעות ציון התקן:

• ציון תקן חיובי: התצפית גבוהה מהממוצע.
• ציון תקן שלילי: התצפית נמוכה מהממוצע.
• ציון תקן אפס: התצפית שווה לממוצע.

ציון התקן הוא מדד חסר יחידות. לכן הוא מאפשר להשוות בין משתנים שנמדדו ביחידות שונות, למשל ציון במבחן אחד לעומת ציון במבחן אחר, או הכנסה לעומת ותק. אם תצפית מסוימת קיבלה ציון תקן גבוה יותר בערכו המוחלט, היא נחשבת חריגה יותר ביחס לקבוצת הייחוס שלה. לעומת זאת, שני ערכים בעלי ציון תקן דומה נמצאים במיקום יחסי דומה בהתפלגויות שלהם, גם אם הערכים הגולמיים שלהם שונים מאוד.

אחוזונים, רבעונים ועשירונים בטבלה בדידה

מדדי מיקום באוכלוסייה מתארים איזה חלק מהתצפיות נמצא עד ערך מסוים. בטבלת שכיחויות בדידה, שבה לכל ערך יש שכיחות, מחשבים תחילה שכיחות יחסית באחוזים עבור כל ערך. השכיחות היחסית של ערך היא מספר הפעמים שהוא מופיע חלקי מספר התצפיות הכולל, כפול 100. לאחר מכן מחשבים שכיחות יחסית מצטברת: סכום האחוזים של הערך הנוכחי וכל הערכים הקטנים ממנו.

האחוזון ה-p, הנקרא גם מאון, הוא הערך הראשון בטבלה שבו השכיחות היחסית המצטברת גדולה או שווה ל-p%. במילים אחרות, זהו הערך שעד אליו, כולל אותו ערך, נמצאים לפחות p% מהנתונים.

רבעונים הם אחוזונים מיוחדים:

• הרבעון הראשון, Q1, הוא האחוזון ה-25.
• הרבעון השני, Q2, הוא האחוזון ה-50, והוא גם החציון.
• הרבעון השלישי, Q3, הוא האחוזון ה-75.

עשירונים הם אחוזונים המכפילים את 10: העשירון הראשון הוא האחוזון ה-10, העשירון השני הוא האחוזון ה-20, וכן הלאה עד העשירון התשיעי, שהוא האחוזון ה-90. בטבלה בדידה מאתרים אותם באותו אופן: בודקים את השכיחות היחסית המצטברת ובוחרים את הערך הראשון שבו היא מגיעה לאחוזון הדרוש או עוברת אותו.

המרת סולמות ליניארית והשפעתה על המדדים

המרת סולמות ליניארית היא שינוי שבו כל תצפית x עוברת לערך חדש y לפי הכלל:

y = ax + b

כאשר a ו-b הם קבועים. דוגמאות נפוצות: הוספת נקודות בונוס לכל הציונים, הכפלת כל הציונים, או המרה מסולם נקודות אחד לסולם אחר.

השפעה על מדדי מיקום:

• הממוצע עובר את אותו כלל: ȳ = ax̄ + b.
• החציון, השכיח והאחוזונים עוברים גם הם את אותו כלל: אם ערך מסוים היה x, הערך המתאים לו בסולם החדש הוא ax + b.

השפעה על מדדי פיזור:

• הוספת קבוע b בלבד אינה משנה את הפיזור. היא מזיזה את כל התצפיות באותו שיעור, ולכן המרחקים בין התצפיות נשארים ללא שינוי.
• כפל בקבוע a משנה את הפיזור. הטווח וסטיית התקן מוכפלים בערך המוחלט של a:
  R_y = |a|R_x, s_y = |a|s_x
• השונות מוכפלת בריבוע של a:
  s_y² = a²s_x²

לכן, אם מבצעים רק הוספת קבוע, הממוצע והמדדים המיקומיים משתנים, אך סטיית התקן והשונות אינם משתנים. אם מבצעים כפל, גם הממוצע וגם מדדי הפיזור משתנים. כאשר a חיובי, סדר הערכים נשמר; כאשר a שלילי, כיוון הסדר מתהפך, אך גודל הפיזור נקבע לפי הערך המוחלט של a.