בחירת תצוגה חזותית

השיעור מציג כיצד סוג המשתנה, רמת הדיוק של המדידה ומבנה הנתונים מכתיבים את אופן ההצגה הגרפית. לצד התצוגות הנפוצות נידונים בו המעבר מגבולות מחלקה מדווחים לגבולות אמיתיים, השימוש בסימון הסכום והבסיס לתיאור מרכז ההתפלגות.

הצגת נתונים בסיסית: רשימה וטבלת שכיחויות

הצגה פשוטה של נתונים היא רשימה של תצפיות. תצפית היא הערך שנמדד עבור ישות אחת, כגון ציון של תלמיד אחד או משקל של אדם אחד. רשימה מתאימה כשמספר התצפיות קטן, משום שהיא מאפשרת לראות את הנתונים כפי שנאספו.

כשמספר התצפיות גדל, נוח להשתמש בטבלת שכיחויות. בטבלה כזו עמודה אחת מציגה את ערכי המשתנה, ועמודה אחרת את השכיחות: מספר התצפיות שקיבלו כל ערך. אפשר להוסיף גם שכיחות יחסית, שהיא חלקו של הערך מתוך כלל התצפיות, ושכיחות מצטברת, שהיא מספר התצפיות הקטנות או שוות לערך מסוים.

טבלת שכיחויות בדידה מתאימה למשתנה איכותי, לסולם סדר ולמשתנה כמותי בדיד, כלומר משתנה שערכיו נספרים כערכים מבודדים, כגון מספר חדרים בדירה. היא אינה יעילה למשתנה כמותי רציף, כלומר משתנה שעשוי לקבל כל ערך בטווח, כגון משקל או זמן.

תרשים עמודות ודיאגרמת עוגה

תרשים עמודות, המכונה גם דיאגרמת מקלות, מציג כל ערך כעמודה נפרדת. הציר האופקי מציג את ערכי המשתנה, והציר האנכי מציג את השכיחות. גובה העמודה מבטא את מספר התצפיות שקיבלו את הערך.

התרשים מתאים למשתנה איכותי, למשתנה מסולם סדר ולמשתנה כמותי בדיד. הוא אינו מתאים למשתנה כמותי רציף, משום שהוא מציג ערכים מבודדים ולא רצף של טווחים.

דיאגרמת עוגה מציגה כל ערך כנתח מתוך עיגול. גודל הנתח תואם לשכיחות היחסית של הערך. לכן היא מתאימה בעיקר למשתנה איכותי או למשתנה סדר שבו רוצים להדגיש חלוקה לחלקים מתוך שלם. אין להשתמש בה למשתנה כמותי רציף, וכשיש ערכים רבים מאוד היא נעשית קשה לקריאה.

היסטוגרמה לנתונים רציפים

כשהמשתנה כמותי רציף, או שלמשתנה בדיד יש ערכים רבים מאוד, נהוג לקבץ את הנתונים למחלקות. מחלקה היא טווח ערכים, כגון טווח ציונים, טווח משקלים או טווח זמנים. את התפלגות השכיחויות במחלקות מתארים באמצעות היסטוגרמה.

בהיסטוגרמה הציר האופקי מייצג את רצף הערכים של המשתנה, ומעל כל מחלקה נבנה מלבן. אם כל המחלקות שוות ברוחבן, אפשר להציג בציר האנכי את השכיחות עצמה. אם רוחבי המחלקות שונים, יש להשתמש בצפיפות: שכיחות המחלקה חלקי רוחב המחלקה. שטח המלבן מבטא את השכיחות, ולכן ההיסטוגרמה מתארת נכון גם מחלקות שאינן שוות.

בניגוד לתרשים עמודות, המלבנים בהיסטוגרמה צמודים זה לזה. הצמידות מבטאת את העובדה שהמשתנה רציף ושאין פער בין הטווחים.

בחירת התצוגה לפי סוג המשתנה

בחירת התצוגה מתחילה בזיהוי סוג המשתנה ובמטרת התיאור. משתנה איכותי או משתנה מסולם סדר אפשר לתאר בדיאגרמת עוגה או בתרשים עמודות. דיאגרמת עוגה מדגישה חלקים מתוך שלם, ותרשים עמודות נוח להשוואת שכיחויות בין ערכים.

משתנה כמותי בדיד עם מספר קטן של ערכים מתאים לטבלת שכיחויות ולתרשים עמודות. משתנה כמותי רציף, או משתנה בדיד עם ערכים רבים מאוד, מתאים לטבלת מחלקות ולהיסטוגרמה. במקרה כזה יש להקפיד גם על גבולות המחלקות ועל רוחבן.

גבולות מחלקה מדויקים: מעבר לגבולות אמיתיים

במשתנה רציף המחלקות נכתבות לעיתים כערכים שלמים, למשל 130–139 ו־140–149. כתיבה כזו נקראת גבולות מדווחים, ולעיתים גם גבולות מדומים. בין הגבול העליון של מחלקה אחת לגבול התחתון של המחלקה הבאה נותר פער, אף שהמשתנה עצמו רציף.

כדי לתאר רצף ללא פער, עוברים לגבולות אמיתיים. תחילה מזהים את רמת הדיוק של הנתונים. אם הערכים מדווחים ביחידות שלמות, רמת הדיוק היא 1. לאחר מכן מחסירים מחצית מרמת הדיוק מהגבול התחתון של כל מחלקה, ומוסיפים מחצית מרמת הדיוק לגבול העליון שלה.

מחלקה מדווחת	גבול אמיתי
130–139	129.5–139.5
140–149	139.5–149.5
150–159	149.5–159.5

אם הנתונים כבר ניתנים בגבולות אמיתיים, למשל 0.5–3.5 ו־3.5–9.5, אין צורך לתקן אותם. יש להמשיך בניתוח לפי הגבולות הנתונים.

סימון הסכום ככלי חישוב

בחישובים סטטיסטיים משתמשים באות היוונית סיגמה (Σ) לציון סכום. הסימון Σx פירושו סכום כל הערכים של המשתנה x. אם יש n תצפיות, Σx הוא סכום כל הערכים שנמדדו.

חוקים שימושיים:

• סכום של קבוע c החוזר n פעמים הוא nc.
• אפשר להוציא קבוע מחוץ לסכום: Σ(cx) = cΣx.
• סכום של סכום מתפרק לסכומים: Σ(x + y) = Σx + Σy.

חשוב להבחין בין סכום ריבועים לבין ריבוע סכום. בביטוי Σx² מעלים כל תצפית בריבוע תחילה ואז סוכמים את הריבועים. בביטוי (Σx)² סוכמים תחילה את התצפיות ורק אחר כך מעלים את הסכום בריבוע.

ביטוי	משמעות	ערך עבור 1, 2, 3
Σx	סכום הערכים	6
Σx²	סכום ריבועי הערכים	14
(Σx)²	ריבוע הסכום	36

מרכז ההתפלגות: ממוצע, חציון ושכיח

מדדי מיקום מרכזי מתארים את מרכז ההתפלגות בערך אחד. שלושת המדדים הנפוצים הם ממוצע, חציון ושכיח.

ממוצע חשבוני הוא סכום התצפיות חלקי מספר התצפיות. הוא מתאים למשתנה כמותי, אך רגיש לתצפיות קיצוניות. ערך חריג אחד עלול למשוך את הממוצע לכיוון הזנב של ההתפלגות.

חציון הוא הערך שמחצית מהתצפיות קטנות או שוות לו ומחצית גדולות או שוות לו. כדי למצוא אותו ברשימה, מסדרים את התצפיות בסדר עולה ובוחרים את הערך האמצעי. אם מספר התצפיות זוגי, החציון הוא ממוצע שני הערכים האמצעיים. החציון מתאים לסולם סדר ולמשתנה כמותי, והוא פחות רגיש לתצפיות חריגות.

שכיח הוא הערך הנפוץ ביותר, כלומר הערך בעל השכיחות הגבוהה ביותר. הוא מתאים לכל סוגי המשתנים, כולל משתנה איכותי בסולם שמי. ייתכן של התפלגות יהיה יותר משכיח אחד. בטבלת מחלקות של משתנה רציף מתייחסים למחלקה בעלת השכיחות או הצפיפות הגבוהה ביותר, ולעיתים משתמשים באמצע המחלקה כייצוג מספרי.

לצורת ההתפלגות יש חשיבות בבחירת המדד. בהתפלגות סימטרית ופעמונית, שבה רוב התצפיות מרוכזות במרכז והשכיחות פוחתת בהדרגה ככל שמתרחקים ממנו, הממוצע, החציון והשכיח שווים זה לזה. בהתפלגות אסימטרית ימנית, שבה יש זנב של ערכים גבוהים, הממוצע לרוב גדול מהחציון. בהתפלגות אסימטרית שמאלית, שבה יש זנב של ערכים נמוכים, הממוצע לרוב קטן מהחציון. לכן בנתונים אסימטריים או בנתונים עם תצפיות קיצוניות, החציון לרוב יציב יותר.