התפלגות בינומית והקירוב הנורמלי שלה: שיעור ההצלחות במדגם

כאשר כל תצפית במדגם מסווגת כהצלחה או כישלון, מספר ההצלחות אינו קבוע אלא משתנה מקרי. הפרק מתאר את ההתפלגות הבינומית של מספר ההצלחות ואת הקירוב הנורמלי שלה, ומסביר כיצד עוברים ממספר ההצלחות לשיעור ההצלחות במדגם. הרעיון המרכזי הוא שבתנאים מתאימים אפשר להחליף חישוב הסתברויות בינומי מפורט בחישוב נורמלי רציף, תוך שמירה על התוחלת ועל הפיזור.

התפלגות מספר ההצלחות במדגם

במצב בינומי נבחן מדגם אקראי בגודל n, שבו כל תצפית בלתי תלויה בקודמותיה ומסווגת לאחד משני ערכים: הצלחה או כישלון. משתנה כזה נקרא משתנה דיכוטומי, כלומר משתנה בעל שני ערכים אפשריים בלבד. נסמן ב־p את הסתברות ההצלחה בתצפית בודדת, וב־q=1−p את הסתברות הכישלון.

אם מגדירים לכל תצפית משתנה עזר שמקבל 1 בהצלחה ו־0 בכישלון, אז מספר ההצלחות במדגם הוא סכום של n משתנים כאלה. את סכום ההצלחות נהוג לסמן ב־Y. לכן Y מתפלג התפלגות בינומית עם פרמטרים n ו־p, ונהוג לכתוב Y~B(n,p).

פונקציית ההסתברות של Y נותנת את ההסתברות לקבל בדיוק k הצלחות:

P(Y=k) = C(n,k) · p^k · (1-p)^(n-k)

הביטוי C(n,k) הוא מספר הדרכים לבחור k הצלחות מתוך n תצפיות. החזקה p^k מייצגת את ההסתברות לסדרה שבה יש k הצלחות, והחזקה (1-p)^(n-k) מייצגת את ההסתברות ליתר הכישלונות.

תוחלת ופיזור של מספר ההצלחות

התוחלת של מספר ההצלחות היא np. המשמעות היא שאם נחזור על מדגמים רבים באותו גודל מאותה אוכלוסייה, ממוצע מספרי ההצלחות יהיה קרוב ל־np. השונות היא np(1-p), וסטיית התקן היא √(np(1-p)).

השונות מתקבלת מכך שהשונות של משתנה דיכוטומי בודד היא p(1-p), ובסכום של משתנים בלתי תלויים השונויות נסכמות. לכן, כאשר n גדל, התוחלת גדלה באופן ליניארי, ואילו סטיית התקן גדלה לפי שורש n. הבדל זה חשוב בהבנת היציבות היחסית של שיעור ההצלחות לעומת מספר ההצלחות.

כאשר p קרוב ל־0.5, ההתפלגות הבינומית נוטה להיות סימטרית יותר עבור n נתון. כאשר p קיצוני, כלומר קרוב ל־0 או ל־1, נדרש בדרך כלל n גדול יותר כדי שהקירוב הנורמלי יהיה סביר.

שיעור ההצלחות במדגם

לעיתים השאלה אינה כמה הצלחות נדגמו אלא איזה חלק מהמדגם הצליח. שיעור ההצלחות במדגם, המסומן p̂, מוגדר כ־Y/n. גודל זה נקרא גם פרופורציה מדגמית, והוא יכול לקבל ערכים בין 0 ל־1.

התוחלת של p̂ היא p. כלומר, שיעור ההצלחות במדגם הוא אומד חסר הטיה לשיעור ההצלחות באוכלוסייה. השונות של p̂ היא p(1-p)/n, וסטיית התקן היא √(p(1-p)/n). ככל שגודל המדגם n גדל, סטיית התקן של שיעור ההצלחות קטנה, ולכן אומדים ממדגמים גדולים נוטים להיות קרובים יותר ל־p.

מכיוון ש־p̂ הוא טרנספורמציה ליניארית של Y, כל התכונות שלו נגזרות ישירות מהתכונות של Y. חלוקה ב־n מקטינה את התוחלת ואת השונות בהתאם, ומשאירה את p כמרכז ההתפלגות של שיעור ההצלחות.

גודל	תוחלת	שונות	סטיית תקן
מספר ההצלחות Y	np	np(1-p)	√(np(1-p))
שיעור ההצלחות p̂	p	p(1-p)/n	√(p(1-p)/n)

קירוב נורמלי להתפלגות הבינומית

התפלגות בינומית היא בדידה, ולכן חישוב הסתברויות מדויק מחייב סכימה של הסתברויות עבור ערכים שונים. כאשר n גדל, אפשר לקרב את ההתפלגות הבינומית בהתפלגות נורמלית. הקירוב מבוסס על כך שסכום של משתנים בלתי תלויים בעלי אותה התפלגות שואף להתנהג כמו התפלגות נורמלית, וזהו רעיון מרכזי במשפט הגבול המרכזי.

בקירוב שומרים על התוחלת ועל השונות: Y מקורב על ידי התפלגות נורמלית עם תוחלת np ושונות np(1-p). בהתאמה, p̂ מקורב על ידי התפלגות נורמלית עם תוחלת p ושונות p(1-p)/n.

כללי האצבע לקירוב אינם יחידים. תנאי מקובל הוא שיתקיימו שני אי־השוויונים np ≥ 5 וגם n(1-p) ≥ 5. יש שמחמירים ודורשים np ≥ 10 וגם n(1-p) ≥ 10, ויש שמשתמשים בתנאי n ≥ 30. לכן יש לבדוק את התנאי שהוגדר בקורס. בכל מקרה, אם אחד התנאים אינו מתקיים, הקירוב עלול להיות לא מדויק, במיוחד כאשר p קיצוני.

התנאים np ≥ 5 ו־n(1-p) ≥ 5 בודקים שמספר ההצלחות הצפוי ומספר הכישלונות הצפוי אינם קטנים מדי. אם אחד מהם קטן, העמודות הבינומיות עלולות להיות מרוכזות מדי בקצה, והעקומה הנורמלית תיתן קירוב פחות אמין.

תיקון רציפות בחישוב הסתברויות למספר ההצלחות

ההתפלגות הבינומית מוגדרת על ערכים שלמים בלבד, ואילו ההתפלגות הנורמלית רציפה. כדי להפחית את שגיאת הקירוב, בעבודה עם מספר ההצלחות נהוג להשתמש בתיקון רציפות. התיקון מוסיף או גורע 0.5 מהגבול שבו מחשבים את ההסתברות, בהתאם לכיוון האירוע.

החצי נובע מכך שכל ערך שלם בהתפלגות הבינומית מיוצג ברוחב של יחידה אחת, ולכן הערך k מיוצג ברווח שבין k−0.5 ל־k+0.5.

אירוע עבור Y	גבול מתוקן לחישוב נורמלי
Y ≤ k	k + 0.5
Y < k	k − 0.5
Y ≥ k	k − 0.5
Y > k	k + 0.5

לאחר בחירת הגבול המתוקן, ממירים אותו לציון תקן לפי התוחלת np וסטיית התקן √(np(1-p)):

Z = (x - np) / √(np(1-p))

כאשר x הוא הגבול המתוקן. לאחר מכן משתמשים בטבלת ההתפלגות הנורמלית או בכלי חישוב מתאים.

במדגמים גדולים מאוד, לעיתים מעל 100 תצפיות, ההשפעה של תיקון הרציפות עשויה להיות קטנה. עם זאת, כאשר נדרש פתרון מדויק יותר, השימוש בתיקון רציפות משפר את הקירוב.

חישוב הסתברויות לשיעור ההצלחות במדגם

כאשר עובדים ישירות עם שיעור ההצלחות p̂, אין צורך לספור הצלחות שלמות, ולכן נהוג שלא לבצע תיקון רציפות. את ההסתברות מחשבים באמצעות הקירוב הנורמלי של p̂, עם תוחלת p וסטיית תקן √(p(1-p)/n). ציון התקן הוא:

Z = (a - p) / √(p(1-p)/n)

כאשר a הוא הערך שבו עוסקת השאלה, למשל שיעור מינימלי או מרבי במדגם. אם האירוע הוא p̂ > a, מחשבים את השטח מימין ל־a; אם האירוע הוא p̂ < a, מחשבים את השטח משמאל ל־a.

אם נתון גבול במספר הצלחות, אפשר לעבור לשיעור הצלחות על ידי חלוקה ב־n. מעבר כזה שימושי כאשר השאלה מנוסחת במונחי אחוזים או פרופורציות. כאשר הנתון ניתן באחוזים, יש להמיר אותו לפרופורציה לפני ההצבה בנוסחה, או לחלופין להמיר את כל הגדודים למספרי הצלחות ולעבוד עם Y.

חשוב לשמור על עקביות: אם מבצעים את החישוב עבור מספר ההצלחות, יש להשתמש בתיקון רציפות; אם מבצעים אותו ישירות עבור שיעור ההצלחות, לא מוסיפים תיקון רציפות.

זיהוי המצב הבינומי בבעיה סטטיסטית

לפני חישוב יש לוודא שהנתונים אכן מתאימים למבנה בינומי. הסימנים המרכזיים הם: קיים מדגם אקראי בגודל n קבוע, לכל תצפית יש שני סיווגים אפשריים בלבד, הסתברות ההצלחה p זהה לכל התצפיות, והתצפיות בלתי תלויות. אם אחד התנאים אינו מתקיים, אין להשתמש בהתפלגות בינומית ללא התאמה.

בשאלות של בחינת גמר או מבחן ביניים נדרש לעיתים לזהות תחילה את המשתנה: האם מדובר במספר ההצלחות Y או בשיעור ההצלחות p̂. הבחירה משפיעה על הפרמטרים, על סטיית התקן ועל הצורך בתיקון רציפות. במקרה של ניסוח מעורב, למשל “יותר מ־30 הצלחות מתוך 200”, יש להחליט אם עובדים עם מספר ההצלחות או עם שיעור ההצלחות, ולהקפיד על כללי התיקון המתאימים.