מודל הפעמון: התפלגות נורמלית, תקנון, שטחים ואחוזונים

בשיעור זה נעסוק בהתפלגות הנורמלית, שהיא מודל רציף סימטרי בעל צורת פעמון. הרעיון המרכזי הוא שהסתברויות מיוצגות על ידי שטחים מתחת לעקומה, ובעזרת תקנון אפשר לעבור להתפלגות סטנדרטית ולחשב אחוזונים. המודל מאפשר לענות על שאלות כגון איזה חלק מהאוכלוסייה נמצא מתחת לערך מסוים, או איזה ערך מפריד בין שיעור נתון לשאר האוכלוסייה.

צורת הפעמון בהתפלגות נורמלית

התפלגות נורמלית היא התפלגות רציפה וסימטרית שצורתה הגרפית דומה לפעמון. רוב התצפיות מתרכזות סביב המרכז, וככל שמתרחקים מהמרכז, שכיחות התצפיות קטנה בהדרגה. לכן הקיצוניים — הנמוכים או הגבוהים מאוד — נדירים יחסית.

הסימטריה של העקומה אומרת שצד שמאל וצד ימין של המרכז הם תמונת ראי זה של זה. בשל כך, הממוצע והחציון של ההתפלגות נמצאים באותה נקודה מרכזית. משתנים רבים במדעי החברה ובחיי היומיום, כגון גובה, ציוני מבחנים או שגיאות מדידה, מתפלגים בקירוב לפי מודל זה.

הפרמטרים של ההתפלגות הנורמלית

ההתפלגות הנורמלית נקבעת על ידי שני פרמטרים:

• תוחלת, המסומנת בדרך כלל באות μ, מציינת את מרכז ההתפלגות. סביב ערך זה מתרכזות רוב התצפיות.
• סטיית תקן, המסומנת בדרך כלל באות σ, מתארת את פיזור התצפיות סביב התוחלת.

כאשר סטיית התקן קטנה, העקומה צרה ותלולה יותר, ורוב הערכים קרובים לתוחלת. כאשר סטיית התקן גדולה, העקומה רחבה ושטוחה יותר, והערכים מפוזרים על טווח גדול יותר.

σ מסמנת את סטיית התקן, ו־σ² מסמנת את השונות. משתנה מקרי $X$ המתפלג נורמלית עם תוחלת $\mu$ ושונות $\sigma^2$ מסומן: $X \sim N(\mu, \sigma^2)$. שינוי של $\mu$ מזיז את הפעמון ימינה או שמאלה על ציר הערכים, אך אינו משנה את צורתו. שינוי של $\sigma$ משנה את רוחב הפעמון.

שטחים מתחת לעקומה והסתברויות

בהתפלגות רציפה, ההסתברות אינה נספרת כשכיחות של ערך בודד, אלא נמדדת כשטח מתחת לעקומת הצפיפות. השטח הכולל מתחת לעקומה שווה ל־1, כלומר 100% מהתצפיות.

לכן:

• השטח שמשמאל לערך מסוים מייצג את ההסתברות שהמשתנה יהיה קטן מאותו ערך.
• השטח שמימין לערך מייצג את ההסתברות שהמשתנה יהיה גדול ממנו.
• השטח שבין שני ערכים מייצג את ההסתברות שהמשתנה ייפול ביניהם.

כדי לעבור מאחוז לשטח, ממירים את האחוז לשבר עשרוני: 75% הם 0.75, ו־2.5% הם 0.025.

מכיוון שמדובר בהתפלגות רציפה, ההסתברות לקבל ערך מסוים בדיוק היא אפס: $P(X=a)=0$. לכן:

$P(X<a)=P(X \leq a)$

וכן:

$P(X>a)=P(X \geq a)$

תקנון: מעבר להתפלגות נורמלית סטנדרטית

כדי לחשב שטחים בהתפלגות נורמלית כלשהי, מבצעים תקנון. בתהליך זה ממירים את הערך המקורי של המשתנה, הנקרא לפעמים ציון גולמי, לערך על סולם משותף הנקרא ציון תקן.

ציון התקן מוגדר כך:

$z = (x - \mu) / \sigma$

הערך z מציין כמה סטיות תקן הערך x רחוק מהתוחלת. אם z חיובי, הערך נמצא מעל התוחלת. אם z שלילי, הערך נמצא מתחת לתוחלת. אם z שווה ל־0, הערך שווה לתוחלת.

לאחר התקנון מתקבל משתנה מקרי Z המתפלג התפלגות נורמלית סטנדרטית. זוהי התפלגות נורמלית שבה התוחלת היא 0 וסטיית התקן היא 1. נהוג לסמן זאת: $Z \sim N(0, 1)$.

התקנון חשוב משום שהוא מאפשר להשתמש בטבלה אחת עבור כל ההתפלגויות הנורמליות, בלי תלות ביחידות המדידה המקוריות כגון סנטימטרים, קילוגרמים או נקודות.

טבלת ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית

טבלת ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית נותנת שטחים מצטברים מתחת לעקומה. עבור ערך z, הטבלה מציגה את השטח שמשמאל לו, כלומר את ההסתברות:

$\Phi(z) = P(Z < z)$

כאשר Φ מציינת את פונקציית ההתפלגות המצטברת של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית.

בעזרת הטבלה אפשר לחשב שטחים שונים:

• שטח משמאל ל־z: קוראים ישירות מהטבלה את $\Phi(z)$.
• שטח מימין ל־z: מחשבים $1 - \Phi(z)$, כי השטח הכולל הוא 1.
• שטח בין שני ערכים $z_1$ ו־$z_2$, כאשר $z_1 < z_2$: מחשבים $\Phi(z_2) - \Phi(z_1)$.

אם ערך z אינו מופיע בדיוק בטבלה, נהוג להשתמש בערך הקרוב ביותר או לבצע קירוב לפי ההנחיות המקובלות.

בנוסף, בגלל הסימטריה של העקומה, השטח שמשמאל ל־z שלילי שווה לשטח שמימין לערך החיובי המתאים. לדוגמה, השטח שמשמאל ל־z = −1 שווה לשטח שמימין ל־z = 1.

אחוזונים בהתפלגות נורמלית

אחוזון, או מאון, הוא ערך של המשתנה שמתחתיו נמצא שטח נתון. כלומר, אם נתון שיעור p, האחוזון המתאים הוא הערך x שמקיים:

P(X < x) = p

השטח p הוא תמיד מספר בין 0 ל־1. כאשר p קרוב ל־0.5, הערך המבוקש יהיה קרוב לתוחלת. כאשר p קרוב ל־0 או ל־1, הערך יהיה באחד הזנבות של ההתפלגות.

לדוגמה, אם p הוא 0.90, האחוזון הוא הערך ש־90% מהתצפיות נמצאות מתחתיו.

כדי למצוא אחוזון בהתפלגות נורמלית, עובדים בתהליך הפוך מתהליך חישוב ההסתברות:

1. מזהים את השטח המבוקש p מתחת לעקומה.
2. מוצאים בטבלה את ערך התקן z שהשטח שמשמאל לו הוא p.
3. חוזרים לערך המקורי של המשתנה בעזרת הנוסחה:

$x = mu + zsigma$

כאשר השטח המבוקש נמצא דווקא מימין, תחילה עוברים לשטח המשלים שמשמאל. אם דרוש ערך שמעליו שטח של p, מחפשים בטבלה את השטח 1 − p.

מושגים נפוצים המבוססים על אחוזונים:

• עשירון עליון: הערך שמעליו נמצאים 10% מהתצפיות, כלומר מתחתיו נמצאים 90%.
• רבעון תחתון: הערך שמתחתיו נמצאים 25% מהתצפיות.
• אלפיון עליון: הערך שמעליו נמצאים 0.1% מהתצפיות, כלומר מתחתיו נמצאים 99.9%.

הקשר בין שטחים לאחוזונים בדוגמה מילולית

נניח שמשתנה כלשהו מתפלג נורמלית עם תוחלת 176 וסטיית תקן 8. אם בודקים ערך של 168, ציון התקן שלו הוא:

z = (168 − 176) / 8 = −1

המשמעות היא שהערך 168 נמצא סטיית תקן אחת מתחת לתוחלת. כדי לדעת איזה שיעור מהתצפיות נמצא מתחת לערך זה, מחפשים בטבלה את השטח שמשמאל ל־z = −1. השטח הזה הוא גם ההסתברות ש־X קטן מ־168.

אם רוצים לדעת איזה שיעור נמצא מעל 168, מחסרים את השטח הזה מ־1. אם רוצים לדעת איזה שיעור נמצא בין 168 לערך גבוה יותר, מחשבים את ההפרש בין השטחים המצטברים המתאימים לשני הערכים.

באופן דומה, אם נתון שיעור כגון 95%, אפשר למצוא את הערך שמתחתיו נמצאים 95% מהתצפיות על ידי מעבר מטבלת השטחים לערך תקן, ולאחר מכן לערך המקורי.