שפת ההסתברות הבסיסית

השיעור מציג את המושגים שמשמשים לתיאור ניסויים אקראיים: תוצאה אפשרית, אוסף כל התוצאות, ומאורע שאליו מתייחסים. הרעיון המרכזי הוא שהסתברות אינה ניחוש, אלא מדידה של חלקו של מאורע מתוך כלל האפשרויות, כאשר בכל שלב יש להקפיד על ספירה מדויקת ועל ההבחנה בין סדר חשוב לסדר שאינו חשוב.

ניסוי אקראי, מרחב דגימה ומאורע

ניסוי אקראי הוא פעולה שתוצאתה אינה ידועה מראש, אך ניתן לתאר את כל התוצאות האפשריות שלה. למשל, הטלת קובייה רגילה היא ניסוי אקראי: לפני ההטלה איננו יודעים איזו תוצאה תתקבל, אך יודעים שהתוצאות האפשריות הן המספרים 1 עד 6.

מרחב דגימה הוא אוסף כל התוצאות האפשריות של ניסוי אקראי. נהוג לסמן אותו באות היוונית Ω. בהטלת קובייה אחת, מרחב הדגימה הוא: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

מאורע הוא קבוצה של תוצאות בתוך מרחב הדגימה. מאורע יכול לכלול תוצאה אחת, כמה תוצאות, או את כל התוצאות. למשל, בהטלת קובייה:

• המאורע "התקבלה תוצאה זוגית" הוא {2, 4, 6}.
• המאורע "התקבלה תוצאה גדולה מ־4" הוא {5, 6}.
• המאורע "התקבלה התוצאה 3" הוא {3}.

כדי לחשב הסתברות, תחילה מזהים את מרחב הדגימה, אחר כך את המאורע המבוקש, ולבסוף בודקים כמה תוצאות במרחב שייכות למאורע.

מרחב דגימה אחיד והסתברות של מאורע

מרחב דגימה אחיד הוא מרחב שבו לכל התוצאות יש אותה סבירות. הטלת קובייה הוגנת היא דוגמה למרחב אחיד, משום שכל אחת משש התוצאות בעלת סבירות שווה. לעומת זאת, התפלגות ציונים בכיתה אינה בהכרח אחידה, כי לא לכל ציון יש אותה שכיחות.

במרחב דגימה אחיד, ההסתברות של מאורע היא היחס בין מספר התוצאות הכלולות במאורע לבין מספר כל התוצאות במרחב הדגימה. אם נסמן את המאורע ב־A, נקבל:

P(A) = מספר התוצאות ב־A / מספר כל התוצאות ב־Ω

הנוסחה מתאימה רק כאשר כל התוצאות שוות סבירות. לכן לפני השימוש בה יש לוודא שהניסוי מתואר כהוגן או אחיד, או שהנתונים מאפשרים להסיק זאת.

לדוגמה, בהטלת קובייה הוגנת:

• המאורע "תוצאה זוגית" כולל את התוצאות {2, 4, 6}, ולכן יש בו 3 תוצאות. במרחב הדגימה יש 6 תוצאות, ולכן ההסתברות היא 3/6 = 1/2.
• המאורע "תוצאה גדולה מ־4" כולל את {5, 6}, ולכן ההסתברות היא 2/6 = 1/3.

אם המרחב אינו אחיד, אין לחלק פשוט את מספר התוצאות במאורע במספר התוצאות הכללי. במקרה כזה משתמשים בהתפלגות הנתונה או בשכיחות היחסית של כל תוצאה. למשל, אם בוחרים תלמיד באקראי מכיתה, ההסתברות לציון מסוים תלויה במספר התלמידים שקיבלו אותו.

עיקרון המכפלה: ספירת בחירות רצופות בשלבים

עיקרון המכפלה משמש לספירת מספר האפשרויות בתהליך שמתבצע בכמה שלבים רצופים. אם בשלב הראשון יש m אפשרויות, ובשלב השני יש n אפשרויות לכל בחירה מהשלב הראשון, אז מספר האפשרויות הכולל הוא m כפול n.

העיקרון מתאים גם ליותר משני שלבים. אם יש שלושה שלבים, ובהם m, n ו־k אפשרויות בהתאמה, מספר האפשרויות הכולל הוא m × n × k.

דוגמאות:

• בהטלת קובייה פעמיים, בשלב הראשון יש 6 תוצאות ובשלב השני יש 6 תוצאות. לכן מספר התוצאות האפשריות הוא 6 × 6 = 36.
• בכיתה שיש בה 7 בנים ו־10 בנות, בוחרים תחילה בן ואחר כך בת. מספר האפשרויות הוא 7 × 10 = 70.
• אם יוצרים קוד בן שלוש ספרות וספרה יכולה לחזור על עצמה, יש 10 אפשרויות לכל מקום, ולכן מספר הקודים הוא 10 × 10 × 10 = 1,000.
• אם בוחרים שני נציגים שונים מתוך 10, לבחירה הראשונה יש 10 אפשרויות, ולבחירה השנייה נותרו 9 אפשרויות. לכן מספר האפשרויות הוא 10 × 9 = 90.

בעיקרון המכפלה חשוב לבדוק אם הבחירות מתבצעות זו אחרי זו, ואם יש או אין אפשרות לחזור על אותה בחירה. כאשר אסור לחזור על בחירה קודמת, מספר האפשרויות בשלב הבא קטן בדרך כלל באחד.

סידור לעומת בחירה: תמורות, דגימה סידורית וצירופים

בספירה יש להבחין תחילה בין שני מצבים: מצב שבו הסדר בין העצמים חשוב, ומצב שבו הסדר אינו חשוב. למשל, בחירת יושב ראש, מזכיר וגזבר היא בחירה שבה התפקידים מבחינים בין הנבחרים, ולכן הסדר חשוב. לעומת זאת, בחירת שלושה חברים לוועד ללא תפקידים היא בחירה שבה הסדר אינו חשוב.

סימן מזהה שימושי הוא לבדוק אם החלפת מקום בין שני נבחרים משנה את המשמעות. אם ההחלפה משנה את התוצאה, למשל שיבוץ לתפקידים שונים, נשתמש בספירה סידורית. אם ההחלפה אינה משנה את התוצאה, נשתמש בצירוף.

תמורה: סידור כל העצמים

תמורה היא סידור של כל העצמים השונים בשורה. מספר התמורות של n עצמים שונים הוא n!, כלומר פקטוריאל של n. הסימן n! פירושו מכפלת כל המספרים מ־1 עד n.

תמורה היא מקרה פרטי של דגימה סידורית שבה נבחרים כל העצמים, כלומר k = n.

לדוגמה, מספר הדרכים לסדר 4 ספרים שונים על מדף הוא: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

אם מסדרים 5 חיילים בטור, מספר הסידורים הוא: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

דגימה סידורית: בחירה עם חשיבות לסדר

דגימה סידורית היא בחירה של k עצמים מתוך n עצמים, כאשר הסדר חשוב ואין מחזירים את העצם שנבחר. מספר האפשרויות הוא:

n × (n − 1) × (n − 2) × … × (n − k + 1)

או בצורה שקולה: n! / (n − k)!.

הגורם הראשון n מייצג את מספר האפשרויות לבחירה הראשונה. לאחר שנבחר עצם אחד, נותרו n − 1 אפשרויות לבחירה השנייה, וכן הלאה. לכן בכל שלב מספר האפשרויות קטן, כל עוד אין החזרה.

לדוגמה, אם בוחרים 3 תלמידים מתוך 10 לשלושה תפקידים שונים, הבחירה היא סידורית: לתלמיד הראשון שנבחר יש תפקיד אחד, לשני תפקיד אחר, ולשלישי תפקיד שלישי. מספר האפשרויות הוא: 10 × 9 × 8 = 720.

אם באותה דוגמה מותר לאותו תלמיד למלא יותר מתפקיד אחד, זו דגימה עם החזרה. אז בכל שלב יש 10 אפשרויות, ומספר האפשרויות הוא: 10 × 10 × 10 = 1,000.

צירוף: בחירה ללא חשיבות לסדר

צירוף הוא בחירה של k עצמים מתוך n עצמים, כאשר הסדר אינו חשוב ואין החזרה. מספר הצירופים מסומן לעתים כ־C(n, k), והוא שווה ל־:

n! / (k! × (n − k)!)

בצירוף אין משמעות לשאלה מי נבחר ראשון, שני או שלישי. הקבוצה {א, ב, ג} זהה לקבוצה {ג, א, ב}, ולכן שתיהן נספרות כאפשרות אחת בלבד.

ההיגיון בנוסחה נובע מכך שכל קבוצה של k עצמים יכולה להופיע ב־k! סידורים שונים. לכן, כדי לעבור מדגימה סידורית לבחירה ללא סדר, מחלקים את מספר הדגימות הסידוריות ב־k!.

לדוגמה, אם בוחרים 3 תלמידים מתוך 10 לוועד כיתה ללא תפקידים, הסדר אינו חשוב. מספר האפשרויות הוא: C(10, 3) = 10! / (3! × 7!) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 120.

לעומת זאת, אם שלושת הנבחרים מקבלים תפקידים שונים, אותה קבוצת תלמידים יכולה להיחשב לכמה אפשרויות שונות, ולכן יש להשתמש בדגימה סידורית ולא בצירוף. בדוגמה של 10 תלמידים ו־3 נבחרים, הדגימה הסידורית נותנת 720 אפשרויות, ואילו הצירוף נותן 120. היחס הוא 6, והוא בדיוק מספר הסידורים של שלושה נבחרים: 3! = 6.