מבחן חד־מדגמי לתוחלת ופירוש המסקנה

בדיקת השערות מאפשרת להכריע, על סמך מדגם אחד, אם טענה על ערכה של תוחלת אוכלוסייה נתמכת בנתונים. הרעיון המרכזי הוא להשוות את ממוצע המדגם אל הערך שהשערת האפס מייחסת לתוחלת, ולמדוד עד כמה הפער ביניהם חריג ביחס לשונות הדגימה. ההכרעה אינה ודאותית, ולכן יש לפרש אותה במונחים של ראיה סטטיסטית ורמת מובהקות.

מהות המבחן החד־מדגמי לתוחלת

מבחן חד־מדגמי לתוחלת הוא בדיקה של טענה על תוחלת של משתנה כמותי באוכלוסייה, כלומר על הערך הממוצע האמיתי של המשתנה, המסומן בדרך כלל באות היוונית μ. הבדיקה מתבססת על מדגם אקראי יחיד, שמתוכו מחושב ממוצע המדגם. ממוצע המדגם הוא סטטיסטי, כלומר גודל המחושב מן הנתונים שנאספו, ואילו התוחלת האוכלוסייתית היא פרמטר, כלומר גודל המתאר את האוכלוסייה כולה.

השאלה אינה האם ממוצע המדגם שווה בדיוק לערך מסוים, אלא האם הפער בין ממוצע המדגם לבין הערך הנבדק גדול מכדי שיוסבר על ידי שגיאת דגימה בלבד. מדגמים שונים מאותה אוכלוסייה עשויים לתת ממוצעים שונים, ולכן המבחן בודק את מיקומו של הממוצע ביחס להתפלגות הדגימה של הממוצע.

השערות האפס והאלטרנטיבה

לפני החישוב יש לנסח שתי השערות. השערת האפס, המסומנת H₀, מייצגת את המצב הקיים או את הערך שרוצים לבדוק. במבחן לתוחלת היא תמיד מייחסת לתוחלת ערך מוגדר, למשל μ = μ₀. השערה אלטרנטיבית, המסומנת H₁, מייצגת את הטענה המחקרית שבעבורה מחפשים ראיה.

ההשערה האלטרנטיבית קובעת את כיוון המבחן:

• מבחן דו־צדדי נבחר כאשר הטענה היא שהתוחלת שונה מהערך הנבדק, בין אם גבוהה ובין אם נמוכה ממנו.
• מבחן חד־צדדי ימני נבחר כאשר הטענה היא שהתוחלת גדולה מהערך הנבדק.
• מבחן חד־צדדי שמאלי נבחר כאשר הטענה היא שהתוחלת קטנה מהערך הנבדק.

ניסוח ההשערות חייב להיקבע לפי שאלת המחקר ולפני בחינת הנתונים. כך נמנעת בחירת כיוון המבחן בדיעבד לפי תוצאת המדגם.

סטטיסטי המבחן והנחות התוקף

סטטיסטי המבחן ממיר את הפער בין ממוצע המדגם לבין הערך הנבדק לערך מתוקנן, הנמדד ביחידות של סטיית התקן של התפלגות הדגימה. כאשר שונות האוכלוסייה ידועה, משתמשים בסטטיסטי Z:

Z = (X̄ − μ₀) / (σ/√n)

כאשר X̄ הוא ממוצע המדגם, μ₀ הוא הערך של התוחלת תחת השערת האפס, σ היא סטיית התקן של האוכלוסייה, ו־n הוא גודל המדגם.

כאשר שונות האוכלוסייה אינה ידועה, היא נאמדת באמצעות סטיית התקן של המדגם, המסומנת S, ומשתמשים בסטטיסטי t:

t = (X̄ − μ₀) / (S/√n)

סטטיסטי t מתפלג לפי התפלגות t עם n−1 דרגות חופש. התפלגות זו סימטרית ודומה להתפלגות הנורמלית התקנית, אך רחבה יותר, במיוחד כאשר המדגם קטן. ככל שדרגות החופש גדלות, ההתפלגות מתקרבת להתפלגות Z.

כדי שהמבחן יהיה תקף יש להקפיד על כמה הנחות: מדגם אקראי, תצפיות בלתי תלויות, והתפלגות נורמלית של המשתנה או גודל מדגם מספיק גדול המאפשר להסתמך על משפט הגבול המרכזי. במדגם קטן שבו המשתנה רחוק מנורמליות, המסקנה עלולה להיות לא אמינה.

רמת מובהקות, ערך p ותחום דחייה

רמת מובהקות, המסומנת α, היא הסף שקובע מתי הפער שנצפה ייחשב חריג דיו כדי לדחות את השערת האפס. היא למעשה ההסתברות המרבית שאנו מוכנים לקבל לטעות מסוג ראשון, כלומר דחיית השערת אפס נכונה.

דרך נפוצה להכרעה היא חישוב ערך p: ההסתברות לקבל, בהנחת נכונות השערת האפס, תוצאה קיצונית לפחות כמו זו שהתקבלה במדגם. אם ערך p קטן מרמת המובהקות או שווה לה, דוחים את H₀. אם ערך p גדול מרמת המובהקות, לא דוחים את H₀.

דרך שקולה היא הגדרת תחום דחייה לפי ערכים קריטיים של סטטיסטי המבחן. מיקום התחום תלוי בכיוון ההשערה האלטרנטיבית.

כיוון ההשערה האלטרנטיבית	ניסוח H₁	מיקום תחום הדחייה
מבחן דו־צדדי	μ ≠ μ₀	שני זנבות ההתפלגות
מבחן חד־צדדי ימני	μ > μ₀	הזנב הימני
מבחן חד־צדדי שמאלי	μ < μ₀	הזנב השמאלי

ניסוח המסקנה לאחר ההכרעה

המסקנה חייבת להיות מנוסחת ביחס לפרמטר הנחקר ובהקשר של שאלת המחקר, לא רק כהחלטה טכנית. אם דוחים את השערת האפס, יש לכתוב שברמת המובהקות שנבחרה קיימת ראיה מספקת לתמוך בהשערה האלטרנטיבית. למשל, אם נבדקה תוחלת זמן צפייה בטלוויזיה, המסקנה יכולה להיות שיש ראיה לכך שהתוחלת באוכלוסייה גבוהה מהערך שהוגדר.

אם לא דוחים את השערת האפס, יש לכתוב שלא נמצאה ראיה מספקת לדחות אותה. אין פירוש הדבר שהשערת האפס נכונה, ויש להימנע מניסוחים כמו "הוכחנו שאין הבדל" או "התוחלת שווה בדיוק לערך הנבדק". הנתונים פשוט אינם מספקים תמיכה חזקה דיה בטענה האלטרנטיבית.

כמו כן, יש להבחין בין מובהקות סטטיסטית לבין חשיבות מעשית. פער קטן מאוד עשוי להיות מובהק במדגם גדול, ופער גדול עשוי שלא להיות מובהק במדגם קטן. לכן בעת פירוש המסקנה יש להתייחס גם לגודל הפער ולמשמעותו בתחום הנחקר.

טעויות אפשריות בפירוש ההכרעה

ההכרעה במבחן היא הסתברותית, ולכן ייתכנו שתי טעויות. טעות מסוג ראשון מתרחשת כאשר דוחים השערת אפס נכונה; ההסתברות לטעות זו היא רמת המובהקות α. טעות מסוג שני מתרחשת כאשר לא דוחים השערת אפס שאינה נכונה; ההסתברות לטעות זו מסומנת β.

כאשר דוחים את H₀, ייתכן שנעשתה טעות מסוג ראשון. כאשר לא דוחים את H₀, ייתכן שנעשתה טעות מסוג שני. מכיוון שהפרמטר האמיתי אינו ידוע, לא ניתן לקבוע בוודאות איזו טעות אירעה במקרה נתון. לכן יש לנסח את המסקנה בזהירות: לא כהוכחה, אלא כמסקנה הנתמכת בנתונים ברמת הסיכון שנקבעה מראש.