פיזור סביב המרכז

מדדי מיקום מרכזי, כגון ממוצע וחציון, מתארים נקודה מרכזית שסביבה נמצאות התצפיות, אך אינם מגלים עד כמה הנתונים רחוקים מנקודה זו. לכן לצדם משתמשים במדדי פיזור, המתארים את מידת הריחוק של התצפיות זו מזו ומהמרכז. הרעיון המרכזי בשיעור הוא שהתפלגות נתונים מתוארת במלואה רק כאשר יודעים גם היכן נמצא המרכז וגם כיצד התצפיות פזורות סביבו, כולל מיקומה של תצפית בודדת ביחס להתפלגות כולה.

מדדי פיזור סביב המרכז

פיזור מתאר את השונות בין הערכים בהתפלגות: האם התצפיות מרוכזות מאוד סביב המרכז, או פרושות על טווח רחב של ערכים. שתי התפלגויות יכולות להיות בעלות אותו ממוצע ואותו חציון, אך עם פיזור שונה לחלוטין.

מדדי הפיזור העיקריים הנלמדים בהקשר זה הם:

• טווח — ההפרש בין התצפית הגבוהה ביותר לתצפית הנמוכה ביותר.
• שונות — ממוצע ריבועי הסטיות של התצפיות מהממוצע.
• סטיית תקן — השורש הריבועי של השונות.
• טווח בין־רבעוני — ההפרש בין הרבעון העליון לרבעון התחתון.

בחירת המדד תלויה בסוג הנתונים וברגישות לתצפיות חריגות. טווח מושפע מאוד מערכים קיצוניים, ולכן לעיתים מעדיפים מדד עמיד יותר, כגון טווח בין־רבעוני. מדדי פיזור שונים מתארים את אותה התפלגות מזוויות שונות, ולכן יש להקפיד לפרש כל מדד לפי משמעותו.

טווח, שונות וסטיית תקן

טווח הוא המדד הפשוט ביותר לפיזור: מחסרים את התצפית הנמוכה ביותר מהתצפית הגבוהה ביותר. יתרונו בפשטותו, אך הוא מתבסס על שתי תצפיות בלבד ועלול להשתנות מאוד בגלל תצפית חריגה אחת.

שונות בודקת את כל התצפיות ביחס לממוצע. עבור כל תצפית מחשבים את הסטייה שלה מהממוצע, מעלים את הסטייה בריבוע, ולאחר מכן מחשבים את הממוצע של ריבועי הסטיות. ההעלאה בריבוע מבטיחה שכל הסטיות יתרמו לחישוב כערכים חיוביים, והיא מדגישה סטיות גדולות. השונות נמדדת ביחידות הנתונים בריבוע, ולכן היא פחות נוחה לפרשנות ישירה.

סטיית תקן היא השורש הריבועי של השונות. היא מבטאת את הפיזור באותן יחידות מדידה של הנתונים, ולכן נוחה לפרשנות. ככל שסטיית התקן גדולה יותר, התצפיות מפוזרות יותר סביב הממוצע; ככל שהיא קטנה יותר, הן מרוכזות יותר סביבו.

טווח בין־רבעוני כמדד פיזור עמיד

רבעון תחתון, המסומן Q1, הוא הערך ש-25% מהתצפיות בהתפלגות קטנות או שוות לו. רבעון עליון, המסומן Q3, הוא הערך ש-75% מהתצפיות קטנות או שוות לו. שני הרבעונים מחלקים את ההתפלגות לארבעה חלקים שווים מבחינת מספר התצפיות.

טווח בין־רבעוני, המסומן IQR, הוא ההפרש בין הרבעון העליון לרבעון התחתון: IQR = Q3 − Q1. מדד זה מתאר את הטווח שבו נמצאים 50% מהתצפיות המרכזיות בהתפלגות.

הטווח הבין־רבעוני אינו מושפע ישירות מתצפיות קיצוניות הנמצאות בקצוות ההתפלגות, ולכן הוא נחשב מדד פיזור עמיד יותר מהטווח הרגיל. בטבלת שכיחויות בדידה אפשר למצוא את הרבעונים בעזרת השכיחות היחסית המצטברת באחוזים: הרבעון התחתון הוא הערך שבו השכיחות היחסית המצטברת גדולה או שווה לראשונה ל-25%, והרבעון העליון הוא הערך שבו היא גדולה או שווה לראשונה ל-75%.

ציון תקן ומיקום תצפית ביחס להתפלגות

ציון תקן הוא מדד למיקום היחסי של תצפית ביחס להתפלגות שלה. הוא מראה כמה סטיות תקן התצפית רחוקה מהממוצע, ובאיזה כיוון. אם התצפית היא x, הממוצע הוא x̄ וסטיית התקן היא s, ציון התקן הוא z = (x − x̄) / s.

ציון תקן חיובי מעיד שהתצפית גבוהה מהממוצע, ציון תקן שלילי מעיד שהיא נמוכה מהממוצע, וציון תקן 0 מתקבל כאשר התצפית שווה לממוצע. ככל שהערך המוחלט של ציון התקן גדול יותר, התצפית נמצאת רחוק יותר ממרכז ההתפלגות.

השימוש בציון תקן חשוב במיוחד כאשר משווים תצפיות מהתפלגויות שונות או ממשתנים בעלי יחידות מדידה שונות. ציון התקן ממיר את הערך לסולם משותף של סטיות תקן, ולכן אפשר להשוות בעזרתו מיקומים יחסיים גם כאשר היחידות המקוריות שונות. לדוגמה, אפשר לבדוק אם תצפית חריגה יותר ביחס להתפלגות הגובה או ביחס להתפלגות המשקל שלה, על ידי השוואת ציוני התקן של שני הערכים.

אחוזונים בטבלה בדידה

אחוזון, או מאון, הוא ערך בהתפלגות שעד אליו נמצאים אחוזים נתונים מהתצפיות. האחוזון ה-p הוא הערך ש-p% מהתצפיות קטנות או שוות לו. כך אפשר לתאר מיקום יחסי של תצפית או של ערך נבחר בהתפלגות.

בטבלת שכיחויות בדידה מחשבים תחילה את השכיחות היחסית של כל ערך, ולאחר מכן את השכיחות היחסית המצטברת באחוזים. האחוזון ה-p הוא הערך שבו השכיחות היחסית המצטברת גדולה או שווה לראשונה ל-p%. כאשר רוצים לדעת איזה אחוז מהתצפיות נמצא מעל ערך מסוים, אפשר להשלים את האחוז המתאים עד ל-100%.

הרבעונים הם מקרים פרטיים של אחוזונים: Q1 הוא האחוזון ה-25, Q3 הוא האחוזון ה-75, והחציון הוא האחוזון ה-50. לכן אחוזונים מאפשרים גם לחשב טווח בין־רבעוני וגם לתאר מיקום עדין יותר של תצפיות, מעבר לחלוקה לארבעה רבעים בלבד.

שילוב קבוצות: ממוצע משוקלל ושונות מצורפת

כאשר מאחדים שתי קבוצות או יותר, יש להתייחס לגודל של כל קבוצה. אם מחשבים ממוצע של כלל התצפיות, לא נכון פשוט למצע בין הממוצעים של הקבוצות, אלא אם כן מספר התצפיות בכל קבוצה זהה. יש לחשב ממוצע משוקלל: סכום התצפיות בכל הקבוצות חלקי מספר התצפיות הכולל. אם יש שתי קבוצות, מכפילים את גודל כל קבוצה בממוצע שלה, מסכמים את המכפלות, ומחלקים בסכום הגדלים.

אם ידועים ממוצע וגודל של כל קבוצה, אפשר לחשב את סכום התצפיות של כל קבוצה כמכפלת הגודל בממוצע שלה. סכום כל התצפיות מתחלק לאחר מכן במספר התצפיות הכולל, וכך מתקבל הממוצע המשותף של הקבוצה המאוחדת.

שונות מצורפת היא השונות של כלל התצפיות לאחר איחוד הקבוצות. היא מושפעת משני גורמים: הפיזור בתוך כל קבוצה, והמרחק בין ממוצע כל קבוצה לבין הממוצע המשותף של כלל הנתונים. לכן שתי קבוצות עם שונות פנימית קטנה יכולות ליצור שונות מצורפת גדולה, אם הממוצעים שלהן רחוקים זה מזה. קבוצה שממוצעה רחוק מהממוצע המשותף תורמת לשונות המצורפת גם אם ערכיה הפנימיים מרוכזים סביב ממוצע הקבוצה שלה.

לחישוב השונות המצורפת אפשר להיעזר בעיקרון של סכום ריבועי התצפיות: השונות היא ממוצע ריבועי התצפיות פחות ריבוע הממוצע. כאשר נתונים ממוצע ושונות של כל קבוצה, משקללים את הנתונים לפי גודל הקבוצה, ולאחר מכן מחשבים את סטיית התקן של הקבוצה המאוחדת כשורש הריבועי של השונות המצורפת.