ניסוח השערות, אזור דחייה, ערך־p, טעויות הכרעה ועוצמת מבחן

בדיקת השערות על פרמטר היא כלל הכרעה המאפשר לעבור מתוצאות מדגם למסקנה על אוכלוסייה, תוך הכרה בכך שהמדגם מקרי ולכן המסקנה אינה ודאית. הרעיון המרכזי הוא להציב שתי השערות מתחרות על הפרמטר, לקבוע מראש אילו תוצאות מדגם ייחשבו קיצוניות מספיק כדי לדחות את השערת האפס, ולכמת את הסיכונים להכרעה שגויה.

ניסוח השערת האפס והשערת האלטרנטיבה

בבדיקת השערות על פרמטר, תחילה מזהים את הפרמטר הנחקר, כגון תוחלת μ, פרופורציה p או הפרש בין פרמטרים. לאחר מכן מנסחים שתי השערות. השערת האפס, המסומנת H0, מייצגת בדרך כלל את מצב ברירת המחדל, את הטענה המקובלת או את היעדר ההשפעה. לכן היא לרוב כתובה כטענת שוויון, למשל H0: μ = 500.

השערה אלטרנטיבית, המסומנת H1, היא טענת המחקר שמבקשים לבדוק, והיא מבטאת שינוי, חריגה או כיוון מסוים. לדוגמה, אם יצרן מצהיר שנפח ממוצע של בקבוק הוא 500 סמ"ק, ויש חשד שהנפח קטן מהכמות המוצהרת, ננסח H0: μ = 500 ו־H1: μ < 500. אם החוקר מעוניין רק לבדוק אם הממוצע שונה מ־500, בלי כיוון מראש, תנוסח השערה דו־צדדית: H1: μ ≠ 500.

אזור דחייה ואזור אי־דחייה

כלל ההכרעה מתבסס על סטטיסטי מבחן, כלומר גודל המחושב מתוצאות המדגם, כגון ממוצע המדגם או ציון תקנון שלו. בהנחה ש־H0 נכונה, לסטטיסטי המבחן יש התפלגות ידועה או מקורבת. על סמך התפלגות זו מגדירים אילו ערכים של הסטטיסטי נחשבים סבירים אם H0 נכונה, ואילו ערכים נחשבים קיצוניים מדי.

אזור הדחייה הוא קבוצת הערכים של סטטיסטי המבחן שבהם נדחה את H0 ונראה כי יש תמיכה בהשערה האלטרנטיבית. אזור אי־הדחייה, המכונה לעיתים אזור קבלה, הוא קבוצת הערכים שבהם לא נדחה את H0. אין פירוש הדבר שהוכחנו ש־H0 נכונה, אלא שהנתונים לא סיפקו ראיה מספקת נגדה.

גודלו של אזור הדחייה נקבע לפי רמת המובהקות, המסומנת α. רמת המובהקות היא ההסתברות לטעות מסוג ראשון, כלומר לדחות את H0 כאשר היא נכונה. המשלים 1 − α נקרא לפעמים רמת ביטחון, אך אין לבלבלו עם עוצמת המבחן, שתוגדר בהמשך.

ערך־p ככלי הכרעה

במקום להשוות את סטטיסטי המבחן ישירות לערך קריטי, נהוג להשתמש בערך־p. ערך־p הוא ההסתברות, בהנחה ש־H0 נכונה, לקבל תוצאת מדגם קיצונית לפחות כמו זו שהתקבלה בפועל, בכיוון שנקבע בהשערה האלטרנטיבית. במבחן חד־צדדי שמאלני, למשל, הערך־p הוא ההסתברות לקבל סטטיסטי קטן לפחות מהערך שנצפה. במבחן דו־צדדי הוא מביא בחשבון קיצוניות בשני הכיוונים.

ככל שהערך־p קטן יותר, כך התוצאה שנצפתה נחשבת פחות סבירה אם H0 נכונה, ולכן הראיה נגד H0 חזקה יותר. כלל ההכרעה המקובל הוא: אם p ≤ α, דוחים את H0; אם p > α, לא דוחים את H0. חשוב להדגיש: ערך־p אינו ההסתברות ש־H0 נכונה או ש־H1 נכונה. הוא מודד את מידת ההתאמה בין הנתונים לבין המודל שבו H0 נכונה.

טעויות הכרעה בבדיקת השערות

מכיוון שההכרעה מתבססת על מדגם אקראי, ייתכנו טעויות. גם אם נבצע מדגם חדש, ייתכן שנקבל תוצאה שונה ולכן מסקנה שונה. שני סוגי הטעויות נבחנים ביחס למצב האמיתי באוכלוסייה, שאינו ידוע לחוקר.

הכרעת המבחן	במציאות H0 נכונה	במציאות H1 נכונה
לא דחינו את H0	הכרעה נכונה	טעות מסוג שני
דחינו את H0	טעות מסוג ראשון	הכרעה נכונה

טעות מסוג ראשון מתרחשת כאשר דוחים את H0 אף על פי שבמציאות היא נכונה. ההסתברות לטעות מסוג ראשון היא רמת המובהקות α:

α = P(דחיית H0 | H0 נכונה)

לדוגמה, אם α = 0.05, החוקר מוכן לקבל סיכון של עד 5% לדחות השערת אפס נכונה.

טעות מסוג שני מתרחשת כאשר לא דוחים את H0 אף על פי שבמציאות H1 נכונה. ההסתברות לטעות מסוג שני מסומנת β:

β = P(אי־דחיית H0 | H1 נכונה)

בניגוד ל־α, שנקבעת ישירות על ידי החוקר, β מושפעת מגורמים נוספים: גודל הסטייה האמיתית של הפרמטר מהערך שנבדק ב־H0, גודל המדגם, השונות באוכלוסייה ורמת המובהקות שנבחרה.

עוצמת מבחן וגורמים המשפיעים עליה

עוצמת מבחן היא ההסתברות לדחות את H0 כאשר H1 נכונה. היא מסומנת 1 − β ומחושבת כך:

π = 1 − β = P(דחיית H0 | H1 נכונה)

עוצמה גבוהה פירושה שלמבחן יש יכולת טובה לזהות מצב שבו ההשערה האלטרנטיבית אכן נכונה. אם העוצמה נמוכה, ייתכן שהמבחן יחמיץ אפקט אמיתי, כלומר יוביל למסקנה שאין ראיה מספקת נגד H0, אף על פי שבאוכלוסייה קיימת חריגה מהערך שנבדק.

הבחירה בין α ל־β אינה סימטרית. הקטנת α מקטינה את הסיכוי לטעות מסוג ראשון, אך בדרך כלל מקטינה את העוצמה ומגדילה את β, אם שאר התנאים אינם משתנים. לעומת זאת, הגדלת גודל המדגם, הקטנת השונות או הגדלת גודל האפקט האמיתי יכולות להגביר את העוצמה. לכן בתכנון מחקר נהוג לקבוע תחילה את רמת המובהקות, ולאחר מכן לבחון כיצד גודל המדגם והשונות משפיעים על הסיכוי לגלות אפקט אמיתי.