התפלגות ממוצע המדגם וסכום התצפיות: תוחלת, שונות וטעות תקן

כאשר דוגמים מדגם מקרי מאוכלוסייה, כל סטטיסטי המבוסס על המדגם עשוי להשתנות מדגימה לדגימה. לכן ממוצע המדגם וסכום התצפיות אינם מספרים קבועים אלא משתנים מקריים, ויש להם התפלגות משלהם. הרעיון המרכזי בשיעור הוא שהמרכז של התפלגות הדגימה נקבע לפי פרמטרי האוכלוסייה, ואילו הפיזור נשלט על ידי גודל המדגם.

פרמטרי אוכלוסייה וממוצע מדגם כמשתנה מקרי

פרמטרים הם גדלים קבועים המתארים את האוכלוסייה כולה. בקורס זה נשתמש בעיקר בתוחלת האוכלוסייה המסומנת $\mu$, ובשונות האוכלוסייה המסומנת $\sigma^2$. שורש השונות, $\sigma$, הוא סטיית התקן של האוכלוסייה.

מדגם מקרי בגודל $n$ כולל $n$ תצפיות בלתי תלויות $X_1, X_2, \ldots, X_n$, שלכל אחת מהן אותה התפלגות כמו האוכלוסייה שממנה נדגמו. ממוצע המדגם מוגדר כך:

$\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$

מכיוון שהתצפיות עצמן מקריות, גם $\bar{X}$ הוא משתנה מקרי. אם נדגום שוב ושוב מהאוכלוסייה, נקבל בכל מדגם ממוצע אחר, ואוסף כל הממוצעים האפשריים יוצר את התפלגות הדגימה של ממוצע המדגם.

תוחלת ושונות של ממוצע המדגם

עבור מדגם מקרי מתוך אוכלוסייה בעלת תוחלת $\mu$ ושונות $\sigma^2$, תוחלת ממוצע המדגם שווה לתוחלת האוכלוסייה:

$E(\bar{X}) = \mu$

כלומר, ממוצע המדגם אינו נוטה באופן שיטתי מעל או מתחת לתוחלת האוכלוסייה; לאורך דגימות חוזרות, מרכז ההתפלגות שלו הוא $\mu$.

השונות של ממוצע המדגם היא:

$V(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$

נוסחה זו מראה שפיזור ממוצעי המדגם קטן ככל שגודל המדגם גדל. אם נגדיל את $n$, נחלק את שונות האוכלוסייה במספר גדול יותר, ולכן הערכים של $\bar{X}$ יתרכזו סביב $\mu$ ביתר שאת.

כאשר האוכלוסייה עצמה מתפלגת נורמלית, ממוצע המדגם מתפלג נורמלית בדיוק, לכל גודל מדגם:

$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$

כאשר האוכלוסייה אינה נורמלית, ניתן להשתמש במשפט הגבול המרכזי. לפי המשפט, עבור מדגם גדול מספיק, התפלגות ממוצע המדגם מתקרבת להתפלגות נורמלית, גם אם התפלגות האוכלוסייה המקורית אינה נורמלית. בקורס זה נפוץ הכלל המעשי $n \ge 30$ לשימוש בקירוב זה, אך איכות הקירוב תלויה גם בצורת התפלגות האוכלוסייה.

טעות תקן והשפעת גודל המדגם

סטיית התקן של ממוצע המדגם נקראת טעות תקן ומסומנת לעיתים $SE$:

$SE(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

טעות התקן מתארת עד כמה ממוצעי מדגם צפויים להשתנות מדגימה לדגימה. היא אינה מתארת את פיזור התצפיות הבודדות באוכלוסייה, אלא את פיזורו של הממוצע עצמו.

השפעת גודל המדגם על טעות התקן היא הפוכה לשורש הגודל. לכן:

• הגדלת $n$ מקטינה את טעות התקן.
• הכפלת גודל המדגם אינה מקטינה את טעות התקן פי שניים, אלא פי $\sqrt{2}$.
• כדי להקטין את טעות התקן פי שניים, יש להגדיל את גודל המדגם פי ארבעה.

מכאן שבמדגמים גדולים יותר ממוצע המדגם יציב יותר ופחות רגיש לתנודות מקריות. עם זאת, אם שונות האוכלוסייה $\sigma^2$ גדולה, גם טעות התקן תהיה גדולה יותר עבור אותו גודל מדגם.

סכום תצפיות בלתי תלויות

במקרים מסוימים אין מתעניינים בממוצע אלא בסכום התצפיות:

$S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$

כאשר $X_1, X_2, \ldots, X_n$ הן תצפיות בלתי תלויות מאותה אוכלוסייה, בעלות תוחלת $\mu$ ושונות $\sigma^2$, מתקבלות התכונות הבאות:

$E(S_n) = n\mu$

$V(S_n) = n\sigma^2$

ולכן סטיית התקן של הסכום היא:

$\sigma_{S_n} = \sqrt{n}\sigma$

בניגוד לממוצע המדגם, השונות של הסכום גדלה עם גודל המדגם. הסיבה היא שככל שמוסיפים תצפיות, הסכום הכולל צובר גם תוחלת וגם שונות. יחד עם זאת, התוחלת גדלה לפי $n$, ואילו סטיית התקן גדלה רק לפי $\sqrt{n}$. לכן הפיזור היחסי של הסכום סביב תוחלתו קטן ככל שהמדגם גדל.

הקירוב הנורמלי לסכום ולממוצע

אם התצפיות מתפלגות נורמלית, גם סכום התצפיות מתפלג נורמלית בדיוק:

$S_n \sim N(n\mu, n\sigma^2)$

אם התצפיות אינן נורמליות, משפט הגבול המרכזי מאפשר קירוב נורמלי עבור $n$ גדול מספיק:

$S_n \approx N(n\mu, n\sigma^2)$

באופן דומה, עבור ממוצע המדגם:

$\bar{X} \approx N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$

הקירוב הנורמלי מאפשר לחשב הסתברויות הקשורות לממוצע או לסכום, גם כאשר התפלגות האוכלוסייה אינה ידועה או אינה נורמלית. לשם כך משתמשים בערכי התוחלת והשונות המתאימים לגודל הדגימה, בין אם מדובר בממוצע ובין אם בסכום.

הטבלה הבאה מציגה את ההבדלים בין ממוצע מדגם לסכום תצפיות:

גודל	תוחלת	שונות	סטיית תקן	קירוב נורמלי
ממוצע מדגם $\bar{X}$	$\mu$	$\frac{\sigma^2}{n}$	$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$	$N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$
סכום תצפיות $S_n$	$n\mu$	$n\sigma^2$	$\sqrt{n}\sigma$	$N(n\mu, n\sigma^2)$

מעבר בין ממוצע לסכום בחישובי הסתברות

הקשר בין סכום לממוצע הוא ישיר:

$S_n = n\bar{X}$

לכן אירוע הנוגע לסכום ניתן לניסוח מחדש כאירוע הנוגע לממוצע. לדוגמה, התנאי $S_n > c$ שקול לתנאי $\bar{X} > \frac{c}{n}$, והתנאי $S_n \le c$ שקול לתנאי $\bar{X} \le \frac{c}{n}$. מעבר זה שימושי כאשר נתוני ההסתברות או טבלאות ההתפלגות מתייחסים לממוצע, אך השאלה מנוסחת במונחי סכום.

בעת שימוש בקירוב נורמלי, יש לבחור תחילה את המשתנה המתאים: $\bar{X}$ או $S_n$. לאחר מכן יש להציב את התוחלת ואת סטיית התקן הנכונות לאותו משתנה. שימוש בשונות של ממוצע עבור סכום, או להפך, ישנה את הפיזור ויוביל לחישוב הסתברות שגוי.