צמיחה לאורך כמה שנים

כאשר בוחנים משתנה כלכלי כגון תוצר ריאלי לאורך כמה שנים, יש להפריד בין שינויי מחירים לבין שינויי כמויות. השיעור עוסק באופן חישוב הצמיחה המצטברת והצמיחה השנתית הממוצעת מתוך סדרה של שיעורי שינוי. הרעיון המרכזי הוא ששיעורי שינוי אינם מתחברים בחיבור רגיל אלא מצטברים באמצעות הכפלת גורמי הצמיחה.

מעבר משיעור שינוי לגורם כפל

שיעור שינוי מתאר את השינוי היחסי של משתנה בין תקופה אחת לתקופה שאחריה. הוא מוגדר כהפרש בין הערך החדש לערך הקודם, מחולק בערך הקודם. אם ערך עלה מ־100 ל־104, שיעור השינוי הוא 4%; אם ירד מ־100 ל־99, שיעור השינוי הוא ‎-1%.

כדי לעבור מערך של תקופה קודמת לערך של תקופה נוכחית נוח להשתמש בגורם כפל. גורם הכפל הוא המספר שבו מכפילים את הערך הקודם כדי לקבל את הערך החדש, והוא שווה לערך החדש חלקי הערך הקודם. עבור שיעור שינוי חיובי, גורם הכפל גדול מ־1; עבור שיעור שינוי שלילי, גורם הכפל קטן מ־1.

• שיעור שינוי של 4% מתורגם לגורם כפל 1.04.
• שיעור שינוי של 3% מתורגם לגורם כפל 1.03.
• שיעור שינוי של ‎-1% מתורגם לגורם כפל 0.99.

אם הערך בתחילת השנה הוא X, הערך בסוף השנה הוא X כפול גורם הכפל. לכן כל שיעור שינוי שנתי חייב קודם כול להפוך לגורם כפל לפני שמחשבים הצטברות על פני כמה שנים.

חישוב שינוי מצטבר באמצעות מכפלת גורמי צמיחה

שינוי מצטבר הוא השינוי הכולל בין הערך בתחילת התקופה לערך בסוף התקופה. כאשר יש כמה שנים רצופות, אין לחבר את שיעורי השינוי באחוזים, אלא להכפיל את גורמי הכפל של כל השנים.

אם נתונים שיעורי שינוי שנתיים g1, g2, g3, אז הערך הסופי מתקבל כך:

X3 = X0 · (1 + g1) · (1 + g2) · (1 + g3)

השינוי המצטבר הוא מכפלת הגורמים פחות 1:

שינוי מצטבר = (1 + g1) · (1 + g2) · (1 + g3) − 1

דוגמה: תוצר ריאלי גדל ב־4% בשנה הראשונה, ב־3% בשנה השנייה וירד ב־1% בשנה השלישית. גורמי הכפל הם 1.04, 1.03 ו־0.99. מכפלתם היא 1.060488, ולכן השינוי המצטבר הוא 6.0488%.

שנה	שיעור שינוי באחוזים	גורם כפל
1	4%	1.04
2	3%	1.03
3	‎-1%	0.99
כל התקופה	6.0488%	1.060488

הטבלה מראה מדוע חיבור פשוט של האחוזים, 4% + 3% − 1% = 6%, הוא קירוב בלבד. החיבור מתעלם מכך שהשנה השנייה מתחילה מערך שכבר השתנה, ושהשנה השלישית פועלת על הערך שהתקבל אחרי שתי השנים הראשונות.

שיעור צמיחה שנתי ממוצע בממוצע הנדסי

ממוצע הנדסי של גורמי צמיחה הוא גורם יחיד קבוע שאילו פעל בכל אחת מהשנים, היה מביא לאותו ערך סופי. הממוצע ההנדסי הוא הממוצע הגאומטרי של גורמי הצמיחה, וכאשר מחסרים ממנו 1 מתקבל שיעור צמיחה שנתי ממוצע.

אם יש n שנים וגורמי הכפל הם G1, G2, ..., Gn, אז הגורם הממוצע הוא:

G = (G1 · G2 · ... · Gn)^(1/n)

שיעור הצמיחה השנתי הממוצע הוא G − 1. באופן שקול, אם ידועים רק הערך ההתחלתי X0 והערך הסופי Xn, אפשר לחשב:

שיעור שנתי ממוצע = (Xn / X0)^(1/n) − 1

יש להקפיד ש־n הוא מספר גורמי הצמיחה, כלומר מספר השנים שבהן חל שינוי. אם נתון ערך בתחילת שנה 1 וערך בסוף שנה 3, יש שלושה גורמי צמיחה, ולכן n = 3.

בדוגמה שלעיל, מכפלת הגורמים היא 1.060488 ומספר השנים הוא 3. לכן הגורם הממוצע הוא השורש השלישי של 1.060488, והוא בקירוב 1.0198. שיעור הצמיחה השנתי הממוצע הוא אפוא כ־1.98% לשנה.

המשמעות היא שאם התוצר הריאלי היה צומח ב־1.98% בכל אחת משלוש השנים, הוא היה מגיע לאותו ערך סופי שהתקבל מסדרת השינויים המקורית. זו הסיבה שבחישובי צמיחה לאורך זמן משתמשים בממוצע הנדסי ולא בממוצע חשבוני של שיעורי השינוי.

הבחנה בין ממוצע גאומטרי לממוצע חשבוני

ממוצע חשבוני של שיעורי שינוי הוא סכום השיעורים חלקי מספר השנים. בדוגמה שלעיל, הממוצע החשבוני הוא (4% + 3% − 1%) / 3 = 2%. נתון זה מתאר את ממוצע שיעורי השינוי השנתיים, אך הוא אינו בהכרח שיעור הצמיחה שמסביר את המעבר מהערך ההתחלתי לערך הסופי.

ממוצע גאומטרי, לעומת זאת, פועל על גורמי הכפל ומתחשב בהצטברות של שינויים. הוא מתאים כאשר השאלה היא איזה שיעור קבוע היה מייצר את אותה תוצאה סופית. לכן הוא המדד הנכון לחישוב צמיחה ממוצעת לאורך כמה תקופות.

ההבדל בולט במיוחד כאשר יש תנודות חדות. נניח שמשתנה עלה ב־50% בשנה אחת וירד ב־50% בשנה שלאחריה. גורמי הכפל הם 1.5 ו־0.5, ומכפלתם 0.75. כלומר הערך הסופי נמוך ב־25% מהערך ההתחלתי. הממוצע החשבוני של שיעורי השינוי הוא 0%, אך הממוצע הגאומטרי הוא שורש ריבועי של 0.75 פחות 1, כלומר כ־‎-13.4% לשנה.

עבור גורמי כפל חיוביים, הממוצע הגאומטרי של הגורמים אינו עולה על הממוצע החשבוני שלהם. כאשר כל גורמי הצמיחה זהים, שני הממוצעים שווים. ככל שהגורמים מפוזרים יותר סביב ממוצעם, ובמיוחד כאשר יש ירידות חדות, הפער בין הממוצע החשבוני לבין הממוצע הגאומטרי גדל.

מכאן נובעת כלל מעשי: ממוצע חשבוני יכול לתאר במדויק את ממוצע השיעורים שנצפו, אך הוא עלול להציג תמונה מטעה של הצטברות הערך. כאשר נדרש לחשב שינוי מצטבר או שיעור צמיחה שנתי ממוצע, יש לעבור תחילה לגורמי כפל, להכפיל אותם, ולאחר מכן להשתמש בממוצע הנדסי.