אינטגרציה בחלקים

השיעור מציג טכניקה לחישוב אינטגרלים של מכפלות, המבוססת על כלל המכפלה לנגזרת. הרעיון המרכזי הוא בחירה מושכלת של גורם אחד לגזירה ושל גורם אחר לאינטגרציה, כך שהאינטגרל החדש יהיה פשוט יותר מן המקורי. נבחן גם הפעלה חוזרת של הטכניקה, כולל מקרים שבהם האינטגרל המקורי חוזר ומופיע, ואת אימות התוצאה באמצעות גזירה.

בחירת שיטת האינטגרציה לפי מבנה האינטגרנד

לפני בחירת טכניקה יש לזהות את האינטגרנד: הביטוי או הפונקציה שמופיעים בתוך סימן האינטגרל. באינטגרל בלתי מסוים, המטרה היא למצוא פונקציה קדומה שהנגזרת שלה היא האינטגרנד. אין שיטה אחת שמתאימה לכל אינטגרל, ולכן נקודת המוצא היא מבנה הביטוי: סכום, מכפלה בקבוע, הרכבה, מכפלה של פונקציות שונות או ביטוי שניתן לפשט באמצעות זהות.

• ליניאריות: סכום או הפרש מפורקים לאינטגרלים נפרדים, וגורם קבוע יוצא מחוץ לאינטגרל.
• התאמה לטבלת אינטגרלים: אם האינטגרנד הוא צורה בסיסית מוכרת, מחשבים אותו ישירות לפי הנוסחה המתאימה.
• הצבה: אם מופיעה פונקציה פנימית ולצדה נגזרתה, או ביטוי קרוב לנגזרת כזו, עוברים למשתנה חדש.
• אינטגרציה בחלקים: אם האינטגרנד הוא מכפלה של פונקציות שאינן קשורות כפונקציה ונגזרתה, למשל פולינום כפול אקספוננט, בוחנים מעבר לנוסחת החלקים.
• פישוט באמצעות זהות: אם זהות טריגונומטרית או אלגברית הופכת את הביטוי לצורה פשוטה יותר, מתחילים בפישוט.

טבלת זיהוי קצרה:

מבנה נפוץ באינטגרנד	סימן מזהה	שיטה מועדפת
סכום או הפרש	$\int (f\pm g)dx$	פיצול לפי ליניאריות
כפל בקבוע	$\int a f(x)dx$	הוצאת הקבוע מחוץ לאינטגרל
פונקציה פנימית עם נגזרתה	למשל $2x\cos(x^2)$	הצבה $u=x^2$
מכפלת פולינום באקספוננט או בביטוי טריגונומטרי	למשל $x e^x$	אינטגרציה בחלקים
לוגריתם לבדו או כפול פולינום	למשל $\ln x$ או $x\ln x$	אינטגרציה בחלקים עם $u=\ln x$

בחירת השיטה אינה מכנית תמיד. לעיתים יש לנסות שתי אפשרויות ולבדוק איזו מהן מייצרת אינטגרל פשוט יותר. אם צעד אחד מסבך את הביטוי, חוזרים לשלב הזיהוי ובוחרים נתיב אחר.

דוגמה קצרה לזיהוי: עבור $\int 2x\cos(x^2)dx$, מזהים ש-$2x$ היא נגזרת של $x^2$. לכן בוחרים $u=x^2$, מקבלים $du=2x\,dx$, והאינטגרל עובר לצורה $\int \cos u\,du = \sin u + C = \sin(x^2)+C$.

נוסחת האינטגרציה בחלקים ובחירת u ו-dv

אינטגרציה בחלקים היא טכניקה לחישוב אינטגרל של מכפלה. היא נובעת מכלל המכפלה לנגזרת: $(uv)'=u'v+uv'$. לאחר אינטגרציה של שני האגפים מתקבלת הנוסחה:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

בנוסחה זו, $u$ הוא גורם שנבחר לגזור אותו, ולכן $du=u'\,dx$. הגורם $dv$ הוא חלק שנבחר לבצע לו אינטגרציה, ולכן $v=\int dv$. הבחירה נחשבת נכונה כאשר האינטגרל החדש $\int v\,du$ פשוט יותר מן האינטגרל המקורי. אם $dv$ נבחר כך שהאינטגרציה שלו קשה, או אם $du$ יוצר ביטוי מסובך יותר, יש לבחון בחירה חלופית.

עקרונות בחירה:

• אם מופיע לוגריתם, למשל $\ln x$, לרוב בוחרים אותו כ-$u$, משום שגזירתו פשוטה ואינטגרציה שלו אינה מיידית.
• אם מופיע פולינום כפול אקספוננט או כפול פונקציה טריגונומטרית, לרוב בוחרים את הפולינום כ-$u$, כי כל גזירה מקטינה את מעלתו.
• את האקספוננט או את הפונקציה הטריגונומטרית נוח לבחור כ-$dv$, משום שהאינטגרל שלהם נשאר מסוג מוכר.
• אם לאחר בחירה ראשונה האינטגרל החדש מסובך יותר, יש להחליף את התפקידים של $u$ ו-$dv$ או לנסות פישוט מקדים.

לעיתים נוח להיעזר בכלל עזר: מעדיפים לגזור ביטוי שנהיה פשוט יותר לאחר גזירה, ולבצע אינטגרציה לביטוי ששומר על צורה מוכרת. עם זאת, הכלל אינו תחליף לבדיקת האינטגרל שמתקבל. לדוגמה, עבור $\int x e^x dx$, בחירה $u=e^x$ ו-$dv=x\,dx$ מובילה לאינטגרל חדש עם $x^2$, ולכן היא מסבכת את החישוב. הבחירה $u=x$ ו-$dv=e^x dx$ היא היעילה.

כאשר מחשבים את $v=\int dv$, אין צורך להוסיף קבוע אינטגרציה בכל שלב ביניים. די בקבוע אחד בסוף התהליך, משום שמדובר במציאת משפחה אחת של פונקציות קדומות.

דוגמה ראשונה: $\int x e^x dx$.

בוחרים $u=x$, $dv=e^x dx$. אז $du=dx$, $v=e^x$. לפי הנוסחה:

$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$.

דוגמה שנייה: $\int \ln x dx$, בתחום שבו $x>0$.

בוחרים $u=\ln x$, $dv=dx$. אז $du=\frac{1}{x}dx$, $v=x$. לכן:

$\int \ln x dx = x\ln x - \int x\cdot \frac{1}{x}dx = x\ln x - \int 1 dx = x\ln x - x + C$.

אינטגרציה חוזרת וטיפול באינטגרל מחזורי

באינטגרלים מסוימים, הפעלה אחת של הנוסחה אינה מספיקה. לאחר הפעלה ראשונה מתקבל אינטגרל חדש שדורש הפעלה נוספת. כאשר האינטגרל המקורי חוזר ומופיע באגף ימין, מתקבל אינטגרל מחזורי: אינטגרל שניתן לסמן אותו באות, למשל $I$, ולפתור משוואה אלגברית עבורו.

דוגמה: $\int e^x \cos x dx$.

נסמן $I=\int e^x \cos x dx$. נבחר $u=e^x$, $dv=\cos x dx$. אז $du=e^x dx$, $v=\sin x$, ולכן:

$I = e^x \sin x - \int e^x \sin x dx$.

כעת נחשב את האינטגרל החדש $\int e^x \sin x dx$ שוב בחלקים. נבחר $u=e^x$, $dv=\sin x dx$. אז $du=e^x dx$, $v=-\cos x$, ולכן:

$\int e^x \sin x dx = -e^x \cos x + \int e^x \cos x dx = -e^x \cos x + I$.

נציב חזרה:

$I = e^x \sin x - (-e^x \cos x + I) = e^x \sin x + e^x \cos x - I$.

מכאן:

$2I = e^x(\sin x+\cos x)$,

ולכן:

$I = \frac{1}{2}e^x(\sin x+\cos x)+C$.

העיקרון הוא שאין לראות את הופעת האינטגרל המקורי כטעות. כאשר הוא חוזר עם מקדם שונה, מעבירים אגפים ומחלצים את $I$. את קבוע האינטגרציה מוסיפים בסוף התהליך, לאחר קבלת הביטוי הסופי. במקרה מחזורי, חשוב לעקוב בקפידה אחרי הסימנים ואחרי הקשר בין האינטגרלים שמתקבלים, כדי שהמשוואה עבור $I$ תישאר נכונה.

השיטה הטבלאית לאינטגרציה חוזרת

כאשר יש להפעיל אינטגרציה בחלקים כמה פעמים ואחד הגורמים הוא פולינום, אפשר לארגן את החישוב בשיטה טבלאית. רושמים בעמודה אחת את הנגזרות של $u$ עד שמגיעים לאפס, ובעמודה אחרת את האינטגרלים החוזרים של $dv$. לאחר מכן מכפילים לפי אלכסונים ונותנים סימנים לסירוגין: פלוס, מינוס, פלוס, מינוס.

דוגמה: $\int x^2 e^x dx$.

בוחרים $u=x^2$ ו-$dv=e^x dx$. הנגזרות של $u$ הן $x^2$, $2x$, $2$, $0$. האינטגרלים החוזרים של $dv$ הם $e^x$, $e^x$, $e^x$. הטבלה:

סימן	נגזרת של $u$	אינטגרל של $dv$	תרומה לתוצאה
$+$	$x^2$	$e^x$	$x^2 e^x$
$-$	$2x$	$e^x$	$-2x e^x$
$+$	$2$	$e^x$	$2e^x$
$-$	$0$	$e^x$	אין תרומה

לכן:

$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C = e^x(x^2-2x+2)+C$.

השיטה הטבלאית חוסכת כתיבה חוזרת של הנוסחה, והיא מתאימה במיוחד כאשר תהליך הגזירה של אחד הגורמים מסתיים באפס. את השורה שבה הנגזרת מתאפסת אין מכפילים הלאה; היא מציינת שהתהליך הסתיים. כמו כן, אין מוסיפים קבוע $C$ בכל שורה, אלא רק בתוצאה הסופית.

אם שני הגורמים אינם מתאפסים, כמו במכפלת אקספוננט בפונקציה טריגונומטרית, עצירה מוקדמת בטבלה עשויה להוביל לאינטגרל שיש לטפל בו באמצעות משוואה, כפי שהוצג בסעיף הקודם.

אימות התוצאה באמצעות גזירה

כל תוצאה של אינטגרציה בלתי מסוימת צריכה לעבור בדיקה פשוטה: גוזרים את הפונקציה שהתקבלה ומוודאים שהנגזרת שווה לאינטגרנד המקורי. אם $F(x)$ היא תוצאת האינטגרציה, אז התנאי הוא $F'(x)=f(x)$, כאשר $f(x)$ הוא האינטגרנד. הקבוע $C$ נעלם בגזירה, ולכן הבדיקה מאמתת את החלק המשתנה של התוצאה.

דוגמה: עבור $\int x e^x dx$ קיבלנו $F(x)=(x-1)e^x+C$. נגזור לפי כלל המכפלה:

$F'(x)=1\cdot e^x+(x-1)e^x = x e^x$.

קיבלנו את האינטגרנד המקורי, ולכן התוצאה אומתה.

דוגמה לאימות תוצאה מחזורית: עבור $\int e^x\cos x\,dx$ קיבלנו $F(x)=\frac{1}{2}e^x(\sin x+\cos x)+C$. נגזור:

$F'(x)=\frac{1}{2}e^x(\sin x+\cos x)+\frac{1}{2}e^x(\cos x-\sin x)=e^x\cos x$.

גם כאן הנגזרת שווה לאינטגרנד, ולכן החישוב נכון. אם מתגלה אי־התאמה, יש לחזור לבחירת $u$ ו-$dv$, לבדוק סימנים, או לבדוק שמא הוחלף סימן אינטגרציה או נשמט מקדם. כאשר האינטגרנד כולל לוגריתם או ביטוי בעל תחום הגדרה מוגבל, יש לוודא גם שהתוצאה מוגדרת בתחום המתאים.