האינטגרל המסוים והמשפט היסודי

השיעור מציג את המעבר מקירוב שטחים באמצעות סכומי מלבנים אל הגדרה מדויקת של אינטגרל מסוים כגבול. לאחר מכן נבחן את הקשר בין פעולת ההצטברות לבין הגזירה, כפי שהוא מנוסח בשני חלקי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי. הרעיון המרכזי הוא שסכום של תרומות קטנות יכול להתכנס לערך קבוע, ושערך זה ניתן לחישוב באמצעות פונקציה קדומה.

סכומי רימן וקירוב שטח

כדי לתאר סכומים ארוכים באופן תמציתי משתמשים בסימון סיגמה. הסימן $\sum$ מורה לחבר את האיברים המופיעים אחריו כאשר האינדקס רץ על ערכים שלמים. לדוגמה:

$\sum_{k=1}^{4} k = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$

בחישובי שטחים נשתמש בסימון זה כדי לסכם שטחים של מלבנים רבים.

נניח שרוצים לחשב שטח מתחת לגרף פונקציה חיובית $f$ בקטע $[a,b]$. נחלק את הקטע לתת־קטעים קטנים, ובכל תת־קטע נבנה מלבן שגובהו ערך הפונקציה בנקודה שנבחרה בתוכו. שטח המלבן הוא מכפלת הגובה ברוחב תת־הקטע, וסכום שטחי המלבנים נותן קירוב לשטח המבוקש. ככל שהחלוקה דקה יותר, הקירוב משתפר.

דוגמה: נחשב את השטח מתחת לגרף $f(x)=x$ בקטע $[0,1]$. נחלק את הקטע ל־$n$ תת־קטעים שווים. רוחב כל תת־קטע הוא:

$\Delta x = \frac{1}{n}$

אם בוחרים את הנקודה הימנית בכל תת־קטע, מתקבלת הנקודה:

$x_k = \frac{k}{n}$

סכום שטחי המלבנים הוא:

$\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}\cdot\frac{1}{n}$

נוציא גורם משותף:

$= \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n} k$

ידוע כי:

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

ולכן:

$\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2n}$

כאשר $n$ שואף לאינסוף, הביטוי שואף ל־$\frac{1}{2}$. לכן השטח מתחת לישר $y=x$ מעל הקטע $[0,1]$ הוא $\frac{1}{2}$.

הגדרת האינטגרל המסוים כגבול סכומי רימן

הדוגמה הקודמת ממחישה רעיון כללי: שטח אינו מוגדר ישירות כסכום סופי, אלא כגבול של סכומים כאשר החלוקה נעשית דקה יותר ויותר.

תהי $f$ מוגדרת וחסומה בקטע $[a,b]$. נחלק את הקטע ל־$n$ תת־קטעים באמצעות נקודות:

$a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$

רוחב תת־הקטע ה־$k$ הוא:

$\Delta x_k = x_k - x_{k-1}$

בכל תת־קטע נבחר נקודה $\xi_k$, ונבנה את הסכום:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} f(\xi_k)\Delta x_k$

סכום זה נקרא סכום רימן של $f$ בקטע $[a,b]$.

נסמן:

$\delta = \max\{\Delta x_1,\Delta x_2,\ldots,\Delta x_n\}$

כלומר, $\delta$ הוא רוחב תת־הקטע הגדול ביותר בחלוקה. אם לכל סדרת חלוקות שבה $\delta$ שואף ל־0, ולכל בחירה של הנקודות $\xi_k$, הסכומים $S_n$ שואפים לאותו גבול סופי $L$, אז נאמר ש־$f$ אינטגרבילית בקטע $[a,b]$. הגבול $L$ נקרא האינטגרל המסוים של $f$ בקטע זה, ומסומן כך:

$\int_a^b f(x)\,dx = L$

המספר $a$ נקרא גבול האינטגרציה התחתון, והמספר $b$ נקרא גבול האינטגרציה העליון. הסימן $dx$ מציין שהאינטגרציה נעשית לפי המשתנה $x$. פונקציה רציפה בקטע סגור היא אינטגרבילית בקטע זה.

כאשר $f(x)\ge 0$, האינטגרל המסוים שווה לשטח שמתחת לגרף ומעל ציר $x$. כאשר הפונקציה מקבלת גם ערכים שליליים, האינטגרל מודד שטח מכוון: תרומות מעל הציר חיוביות, ותרומות מתחת לציר שליליות. כדי לקבל שטח גיאומטרי חיובי, יש להשתמש בערך המוחלט או לפצל את התחום לפי סימן הפונקציה.

תכונות האינטגרל המסוים

האינטגרל המסוים מקיים תכונות אלגבריות שמקלות על חישוב ועל הוכחות. להלן התכונות המרכזיות, כאשר כל האינטגרלים המופיעים קיימים:

• ליניאריות:
  $\int_a^b \left(\alpha f(x)+\beta g(x)\right)dx = \alpha\int_a^b f(x)dx + \beta\int_a^b g(x)dx$

• אדיטיביות ביחס לקטע:
  אם $a < c < b$, אז
  $\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$

• היפוך גבולות:
  $\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$

• קטע מנוון:
  $\int_a^a f(x)dx = 0$

• אי־שוויון:
  אם $f(x)\le g(x)$ לכל $x$ בקטע $[a,b]$, אז
  $\int_a^b f(x)dx \le \int_a^b g(x)dx$
  בפרט, אם $f(x)\ge 0$, אז $\int_a^b f(x)dx \ge 0$

תכונת האדיטיביות מבטאת את הרעיון שההצטברות על קטע שלם היא סכום ההצטברויות על חלקיו. תכונת ההיפוך נובעת מכך שכיוון הקטע משפיע על הסימן: מעבר מ־$a$ אל $b$ הוא בכיוון החיובי, ומעבר מ־$b$ אל $a$ הוא בכיוון ההפוך.

דוגמה: חישוב של פונקציה קבועה מדגים את התכונות בלי צורך בפונקציה קדומה. עבור $f(x)=7$ בקטע $[2,5]$, השטח הוא מלבן שגובהו 7 ורוחבו 3, ולכן:

$\int_2^5 7\,dx = 7(5-2) = 21$

אם נהפוך את הגבולות נקבל:

$\int_5^2 7\,dx = -21$

פונקציית הצטברות והחלק הראשון של המשפט היסודי

כדי לקשר בין אינטגרל לנגזרת, נגדיר פונקציית הצטברות. תהי $f$ רציפה בקטע $[a,b]$. לכל $x$ בקטע נגדיר:

$F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$

הפונקציה $F$ מודדת את הכמות שהצטברה מ־$a$ עד $x$. במונחים גיאומטריים, $F(x)$ היא השטח המכוון מתחת לגרף $f$ מ־$a$ עד $x$. המשתנה $t$ הוא משתנה קשירה בלבד; אפשר להחליפו באות אחרת בלי לשנות את משמעות האינטגרל, ובלבד שההצבה תיעשה באופן עקבי.

החלק הראשון של המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי קובע שאם $f$ רציפה ב־$[a,b]$, אז $F$ גזירה ב־$(a,b)$ ומתקיים:

$F'(x) = f(x)$

כלומר, קצב השינוי של ההצטברות שווה לערך הפונקציה המקורית באותה נקודה. אינטואיטיבית, אם מוסיפים קטע קטן באורך $h$, התוספת לשטח היא בקירוב $f(x)h$, ולכן מנת ההפרשים שואפת ל־$f(x)$.

דוגמה: אם

$F(x) = \int_0^x \cos t\,dt$

אז לפי החלק הראשון של המשפט היסודי:

$F'(x) = \cos x$

דוגמה נוספת: אם

$G(x) = \int_1^x \sqrt{1+t^2}\,dt$

אז:

$G'(x) = \sqrt{1+x^2}$

בדוגמה השנייה אין צורך לחשב את האינטגרל עצמו; מספיק להציב את הגבול העליון בפונקציה שבתוך האינטגרל.

גזירת אינטגרל עם גבולות משתנים

החלק הראשון של המשפט היסודי מתייחס תחילה לגבול עליון שהוא המשתנה $x$. לעיתים הגבולות הם פונקציות של $x$, ואז יש להפעיל גם את כלל השרשרת.

אם $f$ רציפה ו־$g$ גזירה, ונגדיר:

$H(x) = \int_a^{g(x)} f(t)\,dt$

אז $H$ היא הרכבה של פונקציית ההצטברות $A(u)=\int_a^u f(t)\,dt$ עם הפונקציה $g$. מכיוון ש־$A'(u)=f(u)$, כלל השרשרת נותן:

$H'(x) = A'(g(x))g'(x) = f(g(x))g'(x)$

אם שני הגבולות משתנים, נשתמש בתכונת האדיטיביות כדי לכתוב:

$\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt = \int_a^{v(x)} f(t)\,dt - \int_a^{u(x)} f(t)\,dt$

לכן, אם $f$ רציפה ו־$u,v$ גזירות:

$\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt = f(v(x))v'(x) - f(u(x))u'(x)$

דוגמה: נתבונן בפונקציה

$I(x) = \int_x^{x^2} e^t\,dt$

כאן $u(x)=x$, $v(x)=x^2$, והפונקציה שבתוך האינטגרל היא $f(t)=e^t$. לכן:

$I'(x) = e^{x^2}\cdot 2x - e^x\cdot 1 = 2x e^{x^2} - e^x$

בדוגמה זו אין צורך לחשב תחילה את האינטגרל $\int_x^{x^2} e^t\,dt$; הגזירה מתבצעת ישירות מן הפונקציה שבתוך האינטגרל ומהנגזרות של הגבולות.

החלק השני של המשפט היסודי וחישוב אינטגרל מסוים

החלק השני של המשפט היסודי הופך את הקשר בין נגזרת לאינטגרל לכלי חישוב. נאמר ש־$F$ היא פונקציה קדומה של $f$ בתחום אם $F$ גזירה בתחום ומתקיים:

$F'(x) = f(x)$

לדוגמה, $x^3$ היא פונקציה קדומה של $3x^2$, כי הנגזרת של $x^3$ היא $3x^2$.

אם $f$ רציפה ב־$[a,b]$ ו־$F$ היא פונקציה קדומה של $f$, אז:

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

נהוג לכתוב זאת בצורת סימון:

$\int_a^b f(x)\,dx = \left[F(x)\right]_a^b = F(b) - F(a)$

המשפט נובע מכך שפונקציית ההצטברות מהחלק הראשון היא פונקציה קדומה של $f$, ושכל שתי פונקציות קדומות של אותה פונקציה רציפה בקטע נבדלות זו מזו בקבוע בלבד.

דוגמה: נחשב את

$\int_0^2 3x^2\,dx$

פונקציה קדומה של $3x^2$ היא $x^3$, ולכן:

$\int_0^2 3x^2\,dx = \left[x^3\right]_0^2 = 2^3 - 0^3 = 8$

כך מתקבל ערך האינטגרל בלי לעבור דרך סכומי רימן.

דוגמה נוספת: נחשב את

$\int_0^\pi \sin x\,dx$

פונקציה קדומה של $\sin x$ היא $-\cos x$, ולכן:

$\int_0^\pi \sin x\,dx = \left[-\cos x\right]_0^\pi$

נציב את הגבולות:

$= (-\cos \pi) - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2$

הערך החיובי מתאים לשטח המכוון מעל ציר $x$ בקטע זה.