הסתברות – מושגי יסוד

במצבים רבים אין ודאות לגבי התוצאה: הטלת מטבע, בחירת תלמיד מכיתה, או בדיקת מוצר בפס ייצור. פרק זה מציג את הכלים הבסיסיים לתיאור סיכויים ולהערכתם. הרעיון המרכזי הוא שההסתברות מודדת עד כמה סביר שמאורע יתרחש, והיא יכולה להתקבל מחישוב תיאורטי או מנתוני ניסוי.

ניסוי אקראי ומרחב המדגם

הסתברות עוסקת במצבים שבהם יש אי־ודאות. ניסוי אקראי הוא תהליך שבו ידועות מראש כל התוצאות האפשריות, אך לפני הביצוע לא ניתן לדעת בוודאות מה תהיה התוצאה. הטלת מטבע, הטלת קובייה, הגרלת כרטיס, בחירת תלמיד מכיתה או בדיקת מוצר בפס ייצור הן דוגמאות נפוצות.

מרחב המדגם הוא קבוצת כל התוצאות האפשריות בניסוי אקראי. הוא מתאר את כל מה שיכול לקרות, בלי להתייחס עדיין לסיכוי של כל תוצאה. לדוגמה, בהטלת קובייה רגילה מרחב המדגם כולל שש תוצאות: 1, 2, 3, 4, 5, 6. בהטלת מטבע אחד מרחב המדגם כולל שתי תוצאות אפשריות: נפילה על צד אחד או נפילה על הצד השני.

גם בחירה של כרטיס מתוך קופסה היא ניסוי אקראי: לפני השליפה ידוע אילו כרטיסים נמצאים בקופסה, אך לא ידוע איזה כרטיס ייבחר. אם בקופסה יש כרטיסים המסומנים במספרים 1 עד 10, מרחב המדגם הוא עשרת המספרים.

כדי לחשב הסתברות, חשוב תחילה לזהות את מרחב המדגם ואת מספר התוצאות שבו. טעות נפוצה היא להתמקד רק בתוצאה הרצויה ולשכוח לבדוק כמה תוצאות אפשריות קיימות בסך הכול.

מאורע

מאורע הוא אוסף של תוצאות מתוך מרחב המדגם. המאורע מתאר תנאי או דרישה מסוימת, והוא מתרחש כאשר התוצאה שהתקבלה שייכת לאוסף הזה. מאורע יכול לכלול תוצאה אחת בלבד, ואז הוא נקרא מאורע פשוט, והוא יכול לכלול כמה תוצאות, ואז הוא נקרא מאורע מורכב.

לדוגמה, בהטלת קובייה רגילה:

• המאורע "התוצאה היא 4" כולל תוצאה אחת בלבד.
• המאורע "התוצאה זוגית" כולל שלוש תוצאות: 2, 4, 6.
• המאורע "התוצאה גדולה מ־4" כולל שתי תוצאות: 5, 6.

אם בוחרים באקראי תלמיד מכיתה, מרחב המדגם הוא כל תלמידי הכיתה. המאורע "התלמיד נעדר אתמול" כולל את כל התלמידים שנעדרו. אם נעדרו שלושה תלמידים, המאורע כולל שלוש תוצאות מתוך מרחב המדגם.

כאשר מתארים מאורע, כדאי לנסח במדויק אילו תוצאות נכללות בו. למשל, הביטוי "גדול מ־4" אינו כולל את 4, ואילו הביטוי "4 לפחות" כולל את 4. הבחנה כזו חשובה לחישוב נכון של ההסתברות.

מאורע ודאי ומאורע בלתי אפשרי

מאורע יכול להיות ודאי, בלתי אפשרי או אפשרי אך לא ודאי. ההבחנה ביניהם נעשית לפי הקשר בין המאורע לבין מרחב המדגם.

מאורע ודאי הוא מאורע שמתרחש בכל ניסוי, כלומר הוא כולל את כל התוצאות האפשריות במרחב המדגם. בהטלת קובייה רגילה, המאורע "התוצאה קטנה מ־7" הוא מאורע ודאי, משום שכל תוצאה אפשרית מקיימת אותו. ההסתברות של מאורע ודאי היא 1.

מאורע בלתי אפשרי הוא מאורע שאינו יכול להתרחש, כלומר הוא אינו כולל אף תוצאה ממרחב המדגם. בהטלת קובייה רגילה, המאורע "התוצאה היא 7" הוא מאורע בלתי אפשרי, משום שאין בקובייה תוצאה כזו. ההסתברות של מאורע בלתי אפשרי היא 0.

בשקית שבה יש רק כדורים אדומים וכחולים, המאורע "ייצא כדור אדום או כחול" הוא ודאי. המאורע "ייצא כדור ירוק" הוא בלתי אפשרי, אם אין בשקית כדור ירוק.

מאורע שאינו ודאי ואינו בלתי אפשרי נקרא לפעמים מאורע אפשרי. לדוגמה, "התוצאה היא 6" בקובייה רגילה הוא מאורע אפשרי: הוא עשוי להתרחש, אך אינו חייב להתרחש.

הגדרת ההסתברות לפי לפלאס

כאשר מרחב המדגם הוא סופי וכל התוצאות בעלות הסתברות שווה, אפשר לחשב את ההסתברות של מאורע באופן תיאורטי. הגדרת ההסתברות לפי לפלאס קובעת שההסתברות של מאורע היא היחס בין מספר התוצאות שבהן המאורע מתרחש לבין מספר כל התוצאות האפשריות במרחב המדגם.

אם נסמן את המאורע באות A, נכתוב:

P(A) = מספר התוצאות במאורע A / מספר כל התוצאות במרחב המדגם

התוצאה היא תמיד מספר בין 0 ל־1. ערך קרוב ל־0 מתאר מאורע שסיכויו נמוך, וערך קרוב ל־1 מתאר מאורע שסיכויו גבוה. אפשר להציג את ההסתברות גם כאחוז.

לדוגמה, בהטלת קובייה רגילה:

• ההסתברות לקבל 4 היא 1/6, משום שיש תוצאה אחת מתוך שש.
• ההסתברות לקבל מספר זוגי היא 3/6, כלומר 1/2, משום שיש שלוש תוצאות זוגיות מתוך שש.
• ההסתברות לקבל מספר גדול מ־4 היא 2/6, כלומר 1/3.

אם בקופסה יש 10 כרטיסים המסומנים במספרים 1 עד 10 ובוחרים כרטיס אחד באקראי, כל כרטיס בעל סיכוי שווה. ההסתברות לבחור מספר זוגי היא 5/10, כלומר 1/2, משום שחמישה כרטיסים זוגיים מתוך עשרה.

אם בכיתה יש 30 תלמידים ו־12 מהם לומדים מגמת פיזיקה, ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי לומד פיזיקה היא 12/30, כלומר 0.4.

לפני החישוב יש לוודא שהמאורע והמרחב נספרים באותה צורה: אם המרחב נספר לפי תלמידים, גם המאורע צריך להיספר לפי תלמידים.

השימוש בהגדרת לפלאס מתאים כאשר ידוע שכל התוצאות שוות סיכוי, כגון קובייה הוגנת, מטבע הוגן או הגרלה שבה כל הכרטיסים שווי סיכוי. אם התוצאות אינן שוות סיכוי, אין להשתמש ביחס הפשוט הזה בלי התאמה.

הסתברות כשכיחות יחסית

במצבים רבים אי אפשר לדעת מראש את ההסתברות התיאורטית, או שרוצים לבדוק מה קורה בפועל. במקרים כאלה משתמשים בנתונים שנאספו מניסויים, מתצפיות או מסקרים. שכיחות יחסית של מאורע היא מספר הפעמים שהמאורע התרחש חלקי מספר הפעמים שבהן בוצע הניסוי.

אם ניסוי בוצע n פעמים, והמאורע A התרחש f פעמים, השכיחות היחסית של A היא f/n.

לדוגמה, אם בבדיקה של 200 מוצרים נמצאו 8 מוצרים לא תקינים, השכיחות היחסית של מוצר לא תקין היא 8/200, כלומר 0.04 או 4%. אם בכיתה של 40 תלמידים, 16 תלמידים בחרו באפשרות מסוימת, השכיחות היחסית של אותה אפשרות היא 16/40, כלומר 0.4.

אם במשך 30 ימים ירד גשם ב־12 ימים, השכיחות היחסית של ימי גשם היא 12/30, כלומר 0.4. נתון כזה מתאר את מה שנצפה בפועל, ולא בהכרח את הסיכוי הצפוי בכל תקופה דומה.

בניסוי עם מספר קטן של הטלות, למשל 10 הטלות מטבע, ייתכן שנקבל 7 פעמים צד אחד. השכיחות היחסית תהיה 0.7, אף שההסתברות התיאורטית של כל צד היא 0.5. כשמספר ההטלות גדל, התוצאה צפויה להיות קרובה יותר ל־0.5.

יש להבחין בין שני המושגים:

• הגדרת לפלאס היא חישוב תיאורטי הנעשה לפני הניסוי, על סמך מרחב המדגם והנחת שוויון סיכויים.
• שכיחות יחסית היא נתון שנאסף לאחר ביצוע ניסויים או תצפיות.

ככל שמספר הניסויים גדול יותר, השכיחות היחסית נוטה להתייצב סביב ההסתברות התיאורטית. לכן, כאשר מספר הניסויים קטן, ייתכנו הבדלים משמעותיים בין השכיחות היחסית לבין ההסתברות הצפויה.

מאורע משלים

המאורע המשלים של מאורע A הוא המאורע שבו A לא מתרחש. הוא כולל את כל התוצאות במרחב המדגם שאינן שייכות למאורע A. נהוג לסמן את המאורע המשלים באות A עם גרש, כלומר A′, או בקו מעל האות.

הקשר בין ההסתברות של מאורע לבין ההסתברות של המאורע המשלים נובע מכך שכל תוצאה במרחב המדגם שייכת בדיוק לאחד מהם: או שהמאורע מתרחש, או שהוא לא מתרחש. לכן סכום ההסתברויות שלהם הוא 1.

P(A′) = 1 − P(A)

לדוגמה, בהטלת קובייה רגילה, אם A הוא המאורע "התוצאה זוגית", אז A′ הוא המאורע "התוצאה אי־זוגית". מכיוון ש־P(A)=1/2, גם P(A′)=1/2.

דוגמה נוספת: אם ההסתברות שתלמיד יגיע באיחור היא 0.15, ההסתברות שהוא לא יגיע באיחור היא 0.85. חישוב בעזרת המאורע המשלים שימושי במיוחד כאשר קל יותר לתאר את המצב שבו המאורע אינו קורה מאשר את המצב שבו הוא קורה.

אם בוחרים תלמיד באקראי מכיתה, וההסתברות שהוא השתתף בטיול היא 0.65, המאורע המשלים הוא שהתלמיד לא השתתף בטיול. ההסתברות של המאורע המשלים היא 0.35.

מאורעות זרים

שני מאורעות נקראים מאורעות זרים אם אין להם תוצאות משותפות. כלומר, לא ייתכן ששני המאורעות יתרחשו באותו ניסוי. אם התוצאה שייכת למאורע אחד, היא בהכרח אינה שייכת למאורע הזר לו.

לדוגמה, בהטלת קובייה רגילה:

• המאורע "התוצאה זוגית" והמאורע "התוצאה אי־זוגית" הם מאורעות זרים, משום שאין מספר שהוא גם זוגי וגם אי־זוגי.
• המאורע "התוצאה קטנה מ־3" והמאורע "התוצאה גדולה מ־4" הם מאורעות זרים, משום שאין תוצאה שמקיימת את שני התנאים.

לעומת זאת, המאורע "התוצאה זוגית" והמאורע "התוצאה גדולה מ־4" אינם זרים, משום שהתוצאה 6 שייכת לשניהם.

כדי לבדוק אם שני מאורעות זרים, יש לבדוק אם קיימת תוצאה משותפת. אם אין אף תוצאה כזו, המאורעות זרים.

בבחירת כדור אחד משקית, המאורע "הכדור אדום" והמאורע "הכדור כחול" הם זרים, אם כל כדור הוא בעל צבע אחד בלבד. לעומת זאת, המאורע "הכדור אדום" והמאורע "הכדור גדול" אינם בהכרח זרים, משום שייתכן כדור אדום וגדול.

מאורע והמאורע המשלים שלו הם תמיד מאורעות זרים, משום שאי אפשר שגם מאורע יתרחש וגם המאורע המשלים שלו יתרחש באותו ניסוי. עם זאת, לא כל זוג מאורעות זרים הם מאורעות משלימים: כדי להיות משלימים, יחד הם חייבים לכלול את כל התוצאות במרחב המדגם.

לדוגמה, בקובייה רגילה המאורעות "התוצאה היא 1" ו"התוצאה היא 2" הם זרים, אך הם אינם משלימים, משום שיש תוצאות נוספות: 3, 4, 5, 6.