שטחים של צורות גאומטריות בהקשר אורייני – צורות מורכבות ועלויות

בשיעור זה נעסוק בחישוב שטח של צורות שאינן פשוטות, כפי שהן מופיעות בתכנון חצר, כיכר, ריצוף או שיפוץ. הרעיון המרכזי הוא שהשטח אינו חייב להיות מחושב בבת אחת: אפשר לפרק את הצורה לחלקים ידועים, לחבר או לחסר ביניהם, ולאחר מכן לתרגם את השטח לעלות כספית או לביטוי אלגברי.

פירוק צורה מורכבת לצורות בסיסיות

צורה מורכבת היא צורה שאינה בהכרח מלבן יחיד, משולש יחיד או עיגול יחיד, אלא בנויה ממספר חלקים. כדי לחשב את שטחה, מחפשים דרך לראות אותה כצירוף של צורות בסיסיות: מלבנים, משולשים, עיגולים וחלקי עיגולים. הפירוק יכול להיות בעזרת קווים פנימיים, בעזרת השלמה לצורה גדולה יותר, או בעזרת הפרדה לאזורים מוכרים.

לפני החישוב יש לבחון את השרטוט או את התיאור המילולי ולהחליט מהו השטח המבוקש. לפעמים השטח המבוקש הוא כל הצורה, ולפעמים רק חלק ממנה, כגון שביל, מדרכה, ערוגה או רחבת ריצוף. לאחר זיהוי השטח המבוקש, מסמנים את הממדים הרלוונטיים: אורכים, רוחבים, בסיסים, גבהים ורדיוסים.

הקפדה על יחידות מידה היא חלק מהפירוק. אם חלק מהמידות נתון במטרים וחלק בסנטימטרים, יש להמיר אותן לאותה יחידה לפני חישוב השטח. שטח של מלבן מחושב לפי מכפלת אורך ברוחב, שטח של משולש לפי מחצית מכפלת בסיס בגובה, ושטח של עיגול הוא π כפול רדיוס בריבוע. כאשר מופיע חלק עיגול, מחשבים תחילה את שטח העיגול השלם ולוקחים ממנו את החלק המתאים.

חיבור שטחים של חלקים ברורים

כאשר הצורה המורכבת בנויה מחלקים נפרדים וברורים, הדרך הישירה היא לחשב את שטח כל חלק בנפרד ואז לסכום את השטחים. למשל, משטח הבנוי ממלבן מרכזי ומשולש צמוד אליו: מחשבים את שטח המלבן, מחשבים את שטח המשולש, וסוכמים. אם לצד המלבן יש חצי עיגול, מחשבים את שטח העיגול השלם לפי הרדיוס המתאים ומחלקים לשתיים.

בחיבור שטחים יש לשים לב למידות משותפות. צלע של מלבן יכולה לשמש בסיס למשולש, וקוטר של חצי עיגול יכול להיות שווה לרוחב המלבן שאליו הוא צמוד. אם השרטוט אינו נותן את כל הממדים במפורש, ניתן לעיתים להסיק אותם מתוך תכונות הצורה: צלעות נגדיות במלבן שוות, רדיוסים באותו עיגול שווים, וגובה של משולש מאונך לבסיס שאליו הוא מתייחס.

דרך החיבור מתאימה במיוחד כאשר הצורה נראית כהרכבה של אזורים שונים, כגון רחבה מרכזית וכנפיים צדדיות, או משטח הבנוי מריבועים ומשולשים. היתרון שלה הוא שכל חלק נשאר פשוט ומוכר, וקל לבדוק כל חישוב בנפרד.

חיסור שטחים והפרש בין צורה שלמה לחלק פנימי

הפרש שטחים הוא ההפרש בין שטח של צורה גדולה לבין שטח של חלק שנמצא בתוכה ואינו שייך לשטח המבוקש. דרך זו מתאימה כאשר הצורה המבוקשת היא מסגרת, טבעת, מדרכה, שביל או שוליים. במקום לנסות לפרק את המסגרת עצמה לחלקים קטנים, מחשבים את השטח השלם הגדול ומחסרים ממנו את השטח הפנימי שאינו רלוונטי.

דוגמה נפוצה היא מדרכה המקיפה בריכה מלבנית. המלבן החיצוני כולל את הבריכה ואת המדרכה גם יחד. הבריכה עצמה היא מלבן פנימי. שטח המדרכה הוא שטח המלבן החיצוני פחות שטח המלבן הפנימי. אם רוחב המדרכה נתון, יש להוסיף אותו לממדי הבריכה כדי לקבל את הממדים החיצוניים. כאשר המדרכה מקיפה את הבריכה מכל הצדדים, רוחב המדרכה נוסף פעמיים לכל ממד: פעם בצד אחד ופעם בצד הנגדי.

אותו עיקרון חל על מסגרת סביב תמונה, שביל בתוך גינה, או משטח צבעוני שמוקף בשוליים. תחילה מזהים את הצורה החיצונית ואת הצורה הפנימית, אחר כך מחשבים את שטח כל אחת מהן, ולבסוף מחסרים. אם הצורה הפנימית אינה במרכז, עדיין אפשר להשתמש בחיסור, ובלבד שהממדים החיצוניים והפנימיים ידועים או ניתנים לחישוב.

חלקי עיגולים וטבעות

בצורות הכוללות עיגולים, יש להבחין בין עיגול שלם, חלק מעיגול וטבעת. עיגול שלם מחושב לפי הנוסחה המבוססת על הרדיוס. חלק מעיגול הוא חלק יחסי מתוך העיגול השלם: חצי עיגול הוא מחצית השטח, רבע עיגול הוא רבע השטח, ושליש עיגול הוא שליש השטח. אם נתונה זווית מרכזית, אפשר לחשב את חלק העיגול לפי היחס בין הזווית ל־360 מעלות.

טבעת היא התחום שבין שני מעגלים בעלי מרכז משותף. שטח הטבעת הוא שטח העיגול הגדול פחות שטח העיגול הקטן. אם נתון הרדיוס החיצוני ורוחב הטבעת, הרדיוס הפנימי מתקבל על ידי חיסור הרוחב מהרדיוס החיצוני. אם נתון הקוטר החיצוני, יש לזכור שהרדיוס הוא מחצית הקוטר.

במצבים אורייניים, חלקי עיגולים יכולים להופיע כערוגה פינתית, כרחבה עגולה בתוך כיכר, כשביל מעוגל או כשטח דשא שצורתו חצי עיגול. בכל מקרה יש לזהות תחילה איזה חלק מבוקש, האם הרדיוס נתון במפורש או שיש לחשב אותו מתוך קוטר או מתוך מידה אחרת, והאם יש להחסיר חלק פנימי מתוך חלק חיצוני.

ייצוג אלגברי של שטח צורה מורכבת

ייצוג אלגברי הוא כתיבת שטח או ממד באמצעות ביטוי הכולל נעלם. בהקשר אורייני, הנעלם יכול לייצג אורך צלע, רוחב מדרכה, רדיוס של עיגול או מרחק בין שני חלקים. כאשר אחד הממדים אינו ידוע, מסמנים אותו באות, למשל x, ומבטאים את שאר הממדים ואת השטחים בעזרתו.

כדי לבנות ביטוי לשטח צורה מורכבת, פועלים לפי סדר ברור: תחילה מסמנים את הנעלם על גבי השרטוט או התיאור. לאחר מכן מבטאים את הממדים התלויים בו. אחר כך כותבים ביטוי לשטח של כל חלק. לבסוף מחברים או מחסרים את הביטויים בהתאם למבנה הצורה. אם נתון שטח כולל, אפשר להשוות את הביטוי לשטח הנתון ולקבל משוואה שממנה מוצאים את הנעלם.

למשל, בכיכר שבה מלבן חיצוני ועיגול פנימי, שטח הפרחים שבתוך המלבן ומחוץ לעיגול יכול להיות מבוטא כשטח המלבן פחות שטח העיגול. אם רדיוס העיגול מסומן x, שטח העיגול יבוטא באמצעות x בריבוע כפול π, ושטח המלבן יבוטא לפי ממדיו. ביטוי כזה מאפשר לבדוק כיצד משתנה השטח כאשר הרדיוס משתנה, או למצוא רדיוס מתאים כאשר השטח המבוקש ידוע.

המרת יחידות בשטח

בהקשר אורייני, המידות אינן תמיד באותה יחידה. לעיתים אורך המגרש נתון במטרים, ועובי המדרכה או גודל המרצפת נתונים בסנטימטרים. כדי לחשב שטח נכון, יש להמיר את כל המידות לאותה יחידה לפני הכפל. אם רוצים תוצאה במטרים רבועים, נוח להמיר סנטימטרים למטרים לפני חישוב השטח.

הקשר בין מטרים לסנטימטרים בשטח נובע מכך שמטר אחד הוא 100 סנטימטרים, ושטח הוא מכפלה של שני ממדים. לכן מטר רבוע אחד שווה ל־10,000 סנטימטרים רבועים. אם חישבנו שטח בסנטימטרים רבועים ורוצים להמיר אותו למטרים רבועים, נחלק ב־10,000. אם חישבנו שטח במטרים רבועים ורוצים סנטימטרים רבועים, נכפיל ב־10,000.

טעות נפוצה היא להמיר רק מספר אחד במלבן או לשכוח שהמרה של יחידות אורך משפיעה על השטח בריבוע. לכן מומלץ לבדוק בסוף החישוב אם התוצאה סבירה: שטח של חדר קטן יהיה בדרך כלל כמה מטרים רבועים, ושטח של כיכר גדולה עשוי להיות מאות או אלפי מטרים רבועים.

חישוב עלות לפי שטח

עלות נדרשת היא המחיר שיש לשלם עבור חומר או עבודה לפי כמות השטח. כאשר נתון מחיר למטר רבוע, העלות הכוללת מתקבלת מהכפלת השטח במחיר למטר רבוע. אם השטח אינו במטרים רבועים, יש להמיר אותו לפני ההכפלה. אם המחיר נתון לפריט בודד, כגון מרצפת אחת, יש לחשב תחילה את מספר הפריטים הדרוש.

כדי לחשב מספר מרצפות, מחשבים את השטח הכולל של המשטח ואת השטח של מרצפת אחת באותן יחידות, ואז מחלקים את השטח הכולל בשטח המרצפת. אם מתקבל מספר שאינו שלם, יש לעגל כלפי מעלה, משום שלא ניתן לרכוש חלק של מרצפת. אם יש חיתוכים, שברים או שארית, מוסיפים אחוז תוספת. תוספת של 15% פירושה שיש להכפיל את הכמות הבסיסית ב־1.15, או לחשב 115% ממנה.

בחישוב עלות עם אחוזים פועלים לפי סדר: חישוב השטח או הכמות הבסיסית, הוספת האחוז אם הוא נתון, ואז הכפלה במחיר ליחידה. אם יש כמה סוגי חומרים, כגון ריצוף, דשא וגדר, מחשבים בנפרד את העלות של כל רכיב וסוכמים לקבלת העלות הכוללת.

ריצוף כיכר כהקשר אורייני

ריצוף כיכר הוא מצב אורייני שבו השטח המבוקש אינו בהכרח צורה אחת פשוטה. הכיכר יכולה לכלול רחבה מרכזית, שביל היקפי, ערוגות פרחים, משטח דשא או אזור ישיבה. כדי לחשב עלות ריצוף או שתילה, יש לזהות תחילה איזה שטח נדרש: שטח הריצוף בלבד, שטח הדשא בלבד, או שטח הפרחים בלבד.

אם הכיכר מורכבת ממלבן גדול וטבעת פרחים סביב עיגול דשא, שטח הפרחים יכול להיות ההפרש בין שטח המלבן לשטח העיגול. אם נדרשת עלות שתילת פרחים, מחשבים את שטח הפרחים, ממירים ליחידות המתאימות, ומכפילים במחיר. אם נדרשת עלות ריצוף, מחשבים את שטח הריצוף ומוסיפים תוספת חיתוך אם היא נתונה.

כאשר חלק מהנתונים מופיע בביטוי אלגברי, ניתן להשתמש בביטוי כדי לבדוק שינויים: מה תהיה העלות אם הרדיוס יגדל, או איזה רוחב מדרכה ייתן שטח מבוקש.

השוואת שטחים ועלויות בין אפשרויות

בהחלטות תכנון נדרשת לעיתים השוואה בין כמה אפשרויות: צורה אחת מול צורה אחרת, גודל אחד מול גודל אחר, או חומר זול מול חומר יקר. ההשוואה נעשית לפי קריטריון ברור: שטח גדול יותר, שטח קטן יותר, עלות נמוכה יותר, או יחס בין שטחים.

כדי להשוות נכון:

• מחשבים את השטח או העלות לכל אפשרות באותן יחידות.
• אם יש כמה רכיבים, מחשבים עלות כוללת לכל הרכיבים.
• משווים את התוצאות לפי הקריטריון הנתון.
• בודקים אם יש מגבלה נוספת, כגון שטח קבוע, תקציב או רוחב מינימלי.