סטטיסטיקה בהקשר כלכלי־פיננסי

בפעילות כלכלית יומיומית מתקבלים נתונים רבים: מחירים, שכר, כמויות, הוצאות והכנסות. כדי לקבל החלטה, צריך לתאר את הנתונים במדדים שמרכזים אותם למספר מייצג אחד. כאשר חלק מהנתונים חסר, אפשר להשתמש בקשר בין הממוצע לסכום הנתונים ולבנות משוואה ממעלה ראשונה.

מדדי מרכז בנתונים כלכליים

מדדי מרכז הם מספרים שמייצגים את מרכז ההתפלגות של הנתונים. הם מאפשרים לתאר קבוצת נתונים גדולה בערך אחד, להשוות בין קבוצות ולבחון מגמות.

• שכיח הוא הערך שמופיע מספר הפעמים הגדול ביותר. בהקשר כלכלי הוא עשוי לתאר את המחיר הנפוץ ביותר, את סוג העסקה השכיח או את ההוצאה החוזרת ביותר.
• חציון הוא הערך שנמצא באמצע לאחר סידור הנתונים בסדר עולה. אם מספר הנתונים זוגי, החציון הוא הממוצע של שני הערכים האמצעיים. החציון שימושי כאשר יש נתונים קיצוניים, למשל שכר גבוה מאוד או עסקה חריגה.
• ממוצע הוא סכום הנתונים חלקי מספר הנתונים. הוא מתאים כאשר רוצים להתחשב בכל הערכים, אך הוא עלול להיות מושפע מערכים קיצוניים.

בחירת המדד אינה טכנית בלבד. בכל שאלה כלכלית יש לבדוק אם הערכים הקיצוניים חשובים להחלטה, אם הנתונים מייצגים כמויות שונות, ואיזה מידע נדרש להציג.

ממוצע פשוט וממוצע משוקלל

הממוצע הפשוט מתאים כאשר לכל הנתונים יש חשיבות זהה. אם נתונים כמה מחירים של מוצר זהה במספר חנויות, הממוצע שלהם הוא סכום המחירים חלקי מספר החנויות.

ממוצע משוקלל הוא ממוצע שבו לכל ערך יש משקל שונה. משקל מבטא את חשיבות הערך או את מספר הפעמים שהוא מופיע. בכלכלה, משתמשים בממוצע משוקלל כאשר מחירים, שכר או הוצאות אינם מתייחסים לאותה כמות.

נוסחת הממוצע המשוקלל היא:

סכום המכפלות של כל ערך במשקל שלו, חלקי סכום המשקלות.

המשקל יכול להיות שכיחות, כמות, מספר עובדים, מספר מוצרים שנמכרו או חלק מסך הוצאות. לכן יש להבין תחילה מהו הערך ומהו המשקל המתאים לו.

אם מחיר מוצר אחד הוא 40 ש״ח ונקנו ממנו 2 יחידות, מחיר מוצר שני הוא 60 ש״ח ונקנו ממנו 5 יחידות, ומחיר מוצר שלישי הוא 100 ש״ח ונקנו ממנו 3 יחידות, הממוצע המשוקלל אינו הממוצע הפשוט של שלושת המחירים בלבד. הוא מביא בחשבון את הכמויות, ולכן הוא מייצג טוב יותר את העלות הממוצעת ליחידה.

אם כל המשקלות שווים, הממוצע המשוקלל שווה לממוצע הפשוט. לכן הממוצע הפשוט הוא מקרה פרטי של הממוצע המשוקלל.

מדדי מרכז מתוך טבלת שכיחויות

טבלת שכיחויות מציגה כל ערך יחד עם השכיחות שלו, כלומר מספר הפעמים שהוא מופיע בנתונים. טבלה כזו נפוצה בניתוח מחירים, כמויות מוצרים, שכר או מספר עסקאות.

כדי למצוא את השכיח בטבלת שכיחויות, מחפשים את הערך ששכיחותו הגדולה ביותר. אם כמה ערכים בעלי אותה שכיחות גבוהה, יכולים להיות כמה שכיחים.

כדי למצוא את החציון, סופרים את השכיחויות ומאתרים את מיקום הערך האמצעי. אם מספר הנתונים אי־זוגי, החציון הוא הערך שמגיע אליו המיקום האמצעי. אם מספר הנתונים זוגי, בודקים את שני הערכים שבמיקומים האמצעיים ומחשבים את הממוצע שלהם.

כדי למצוא את הממוצע, מכפילים כל ערך בשכיחות שלו, סוכמים את כל המכפלות ומחלקים את הסכום במספר הנתונים הכולל. חישוב זה הוא למעשה ממוצע משוקלל, שבו השכיחות משמשת משקל.

מציאת ערך חסר כאשר נתון הממוצע

כאשר נתון הממוצע של קבוצת נתונים, אפשר לדעת מהו סכום הנתונים. אם מספר הנתונים הוא n והממוצע הוא m, סכום הנתונים הוא המכפלה של n ב־m.

עיקרון זה מאפשר למצוא ערך חסר. נסמן את הערך החסר ב־x. נחשב את סכום הנתונים הידועים, נוסיף לו את x, ונשווה את הסכום הכולל למכפלת הממוצע במספר הנתונים.

אם ידוע הממוצע של חמישה מחירים, וידועים ארבעה מחירים מתוכם, סכום חמשת המחירים חייב להיות חמישה כפול הממוצע. לכן הערך החסר הוא ההפרש בין סכום זה לסכום ארבעת המחירים הידועים.

אותו רעיון משמש גם כאשר נתון ממוצע לפני שינוי ואחרי שינוי. אם ידוע ממוצע של חמש משכורות ונוסף עובד חדש, ונתון הממוצע החדש של שש המשכורות, אפשר לבנות משוואה שמקשרת בין הסכום הישן, המשכורת החדשה והסכום החדש.

אם הממוצע החדש גבוה מהממוצע הישן, הערך שנוסף גדול מהממוצע הישן. אם הממוצע החדש נמוך מהממוצע הישן, הערך שנוסף נמוך מהממוצע הישן.

מציאת ערך חסר בעזרת ממוצע משוקלל

בממוצע משוקלל, הערך החסר יכול להיות מחיר, שכר, כמות או משקל. גם כאן הבסיס הוא סכום: סכום המכפלות של ערכים במשקלותיהם שווה לממוצע המשוקלל כפול סכום המשקלות.

אם ערך אחד חסר, נסמן אותו ב־x ונכתוב את סכום המכפלות הכולל בעזרתו. אם חסר משקל, נסמן את המשקל החסר ב־x ונבנה משוואה שבה הממוצע המשוקלל הנתון שווה לסכום המכפלות חלקי סכום המשקלות.

לעיתים המשוואה כוללת מכנה, משום שהממוצע המשוקלל מוגדר כיחס. במקרה כזה יש להכפיל את שני אגפי המשוואה במכנה כדי להיפטר מהשבר, ואז לפתור משוואה ממעלה ראשונה.

חשוב להבחין בין שני סוגי חוסר: חוסר בערך עצמו, כגון מחיר לא ידוע, וחוסר במשקל, כגון כמות לא ידועה של מוצרים. בשני המקרים יש לכתוב תחילה את הביטוי המלא של הממוצע המשוקלל, ורק אז להשוותו לערך הנתון.

בניית משוואה ממעלה ראשונה ופתרונה

משוואה ממעלה ראשונה היא משוואה שבה הנעלם מופיע בחזקה ראשונה בלבד. כדי למצוא ערך חסר במדד סטטיסטי, נבנה משוואה בשלבים:

1. נבחר נעלם, למשל x, עבור הערך החסר.
2. נבטא את סכום הנתונים או את סכום המכפלות בעזרת הנתונים הידועים והנעלם.
3. נשווה את הסכום או את היחס לערך הממוצע הנתון.
4. נפתור את המשוואה בעזרת פעולות הפוכות.

כאשר המשוואה כוללת מכנה, נכפיל את שני האגפים במכנה. אם יש כמה מכנים, אפשר להכפיל במכנה המשותף הקטן ביותר. לאחר מכן נפתח סוגריים, נעביר אגפים ונבודד את x.

אם הממוצע המשוקלל הנתון הוא M, סכום המשקלות הוא W, וידוע סכום מכפלות חלקי S בתוספת משקל w כפול x, מתקבלת משוואה מהצורה:

(S + w·x) / W = M

הכפלת שני האגפים ב־W נותנת:

S + w·x = M·W

מכאן מעבירים את S אגף ומחלקים ב־w, וכך מתקבל x.

יש לבדוק שהפתרון מתאים להקשר הכלכלי: מחיר אינו שלילי, כמות אינה שלילית, ומשקל אינו אפס אם הוא מייצג כמות או מספר פריטים.

בחירת המדד המתאים להחלטה כלכלית

מדדי המרכז אינם זהים במשמעותם, ולכן הבחירה ביניהם תלויה בשאלה הכלכלית.

• אם מעוניינים במחיר הנפוץ ביותר, השכיח הוא המדד המתאים.
• אם רוצים לתאר ערך "טיפוסי" כאשר יש נתונים קיצוניים, החציון עשוי להיות אמין יותר מהממוצע.
• אם צריך לחשב עלות כוללת, סכום, או לחלק סכום בין פריטים, הממוצע מתאים יותר.
• אם הנתונים מייצגים כמויות שונות, כגון מספר עובדים, מספר מוצרים או מספר עסקאות, יש להשתמש בממוצע משוקלל.

ניתוח נתונים כלכליים עשוי להופיע ברשימה, בטבלה, בגרף או בייצוג אלגברי. בכל אחד מהייצוגים יש לזהות תחילה מהו הערך ומהו המשקל או השכיחות, ורק אז לבחור את המדד או לבנות את המשוואה.