מידע משנה הסתברות

בניסוי אקראי, מידע חדש עשוי לשנות את ההסתברות שאנו מייחסים למאורע. אם נודע שמאורע מסוים התרחש, חלק מהאפשרויות יוצאות מהחשבון או שהמשקל שלהן משתנה. לכן ההסתברות של מאורע אינה בהכרח גודל קבוע; היא יכולה להיות מותנית בידיעה נתונה.

הסתברות מותנית במרחב דגימה אחיד

מרחב דגימה אחיד הוא מרחב שבו לכל התוצאות האפשריות יש אותה סבירות. דוגמה לכך היא הטלת קובייה הוגנת: שש התוצאות שוות בהסתברותן. כאשר ידוע שמאורע A התרחש, מרחב האפשרויות הרלוונטי מצטמצם לתוצאות שנמצאות בתוך A. לכן, כדי לחשב את ההסתברות של מאורע B בהינתן A, בודקים כמה מתוצאות A מקיימות גם את B.

הסימון המקובל הוא P(B | A), ומשמעותו: ההסתברות של B בהינתן שהמאורע A התרחש. במרחב אחיד אפשר לחשב אותו כך: מספר התוצאות המשותפות ל־A ול־B, חלקי מספר התוצאות ב־A.

דוגמה: בהטלת קובייה הוגנת נגדיר A = התוצאה זוגית, כלומר {2,4,6}, ו־B = התוצאה גדולה מ־3, כלומר {4,5,6}. אם ידוע שהתוצאה זוגית, האפשרויות שנותרות הן 2, 4, 6. מבין שלוש האפשרויות האלה, שתיים גדולות מ־3. לכן P(B | A) = 2/3.

הסתברות מותנית במרחב דגימה לא אחיד

במרחב דגימה לא אחיד, לתוצאות או לקבוצות של תוצאות אין בהכרח אותה סבירות. למשל, התפלגות ציונים בכיתה או התפלגות סוגי עובדים בחברה אינן סימטריות. במקרה כזה לא סופרים תוצאות בלבד, אלא משתמשים בהסתברויות הנתונות.

הנוסחה הכללית היא: P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A), ובלבד שההסתברות של A אינה אפס. במונה מופיעה ההסתברות להתרחשות משותפת של שני המאורעות, כלומר החיתוך שלהם. במכנה מופיעה ההסתברות של המאורע הנתון, כלומר של A.

דוגמה מספרית פשוטה: נניח שנתון P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, ו־P(A ∩ B) = 0.2. אם ידוע שהמאורע A התרחש, ההסתברות שהמאורע B התרחש היא 0.2 / 0.4 = 0.5. לעומת זאת, אם ידוע שהמאורע B התרחש, ההסתברות שהמאורע A התרחש היא 0.2 / 0.5 = 0.4. מכאן שההסתברות המותנית אינה סימטרית בהכרח: P(B | A) ו־P(A | B) יכולים להיות שונים.

עצי הסתברות לתהליכים רב־שלביים

עץ הסתברות הוא תרשים המתאר ניסוי אקראי שמתרחש בשלבים. כל צומת בעץ מייצג שלב, וכל ענף היוצא ממנו מייצג תוצאה אפשרית באותו שלב. השלב הראשון אינו מותנה במידע קודם, ואילו השלבים הבאים עשויים להיות מותנים בתוצאת השלב הקודם.

כדי לחשב את ההסתברות של מסלול שלם בעץ, מכפילים את ההסתברויות שעל הענפים לאורך אותו מסלול. אם השאלה מתייחסת לכמה מסלולים אפשריים, מחשבים תחילה את ההסתברות של כל מסלול בנפרד ואז מחברים את ההסתברויות המתאימות.

דוגמה: בחברה מסוימת 10% מהעובדים הם בכירים ו־90% הם זוטרים. מבין הבכירים, 70% הם אקדמאים. מבין הזוטרים, 20% הם אקדמאים. בעץ ההסתברות, הענף הראשון הוא בכיר עם הסתברות 0.1 או זוטר עם הסתברות 0.9. מכל אחד מהם יוצאים ענף אקדמאי וענף לא אקדמאי, עם ההסתברויות המותנות המתאימות.

ההסתברות שעובד הוא בכיר וגם אקדמאי היא 0.1 · 0.7 = 0.07. ההסתברות שעובד הוא זוטר וגם לא אקדמאי היא 0.9 · 0.8 = 0.72. אם רוצים את ההסתברות שעובד הוא אקדמאי, מחברים את שני המסלולים שמובילים לתוצאה זו: בכיר ואקדמאי, או זוטר ואקדמאי. לכן P(אקדמאי) = 0.07 + 0.18 = 0.25.

הסתברות שלמה ונוסחת בייס

כאשר המאורעות A1, A2, ..., An הם זרים ואיחודם הוא כל מרחב המדגם, הם יוצרים חלוקה של המרחב. במצב כזה אפשר לחשב את ההסתברות של מאורע B באמצעות נוסחת ההסתברות השלמה: מחשבים את ההסתברות של B בכל אחד מחלקי החלוקה, ומחברים.

בכתיב מקוצר: P(B) = Σ P(Ai) · P(B | Ai). הנוסחה מתאימה במיוחד לעצי הסתברות: סוכמים את ההסתברויות של כל הענפים שמסתיימים ב־B.

נוסחת בייס משמשת לעבודה לאחור. היא עונה על שאלה מהצורה: אם ידוע ש־B התרחש, מה ההסתברות שהמקור לכך הוא דווקא Aj? הנוסחה היא: P(Aj | B) = [P(Aj) · P(B | Aj)] / P(B). את המכנה P(B) מחשבים בדרך כלל בעזרת נוסחת ההסתברות השלמה.

לפי דוגמת העובדים, אם נבחר עובד אקדמאי, אפשר לשאול מה ההסתברות שהוא זוטר. ההסתברות למסלול זוטר ואקדמאי היא 0.18, וההסתברות הכוללת להיות אקדמאי היא 0.25. לכן ההסתברות המבוקשת היא 0.18 / 0.25 = 0.72.

כלל הכפל ואי־תלות בין מאורעות

מהגדרת ההסתברות המותנית נובע כלל הכפל: P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A). אפשר גם להציג את הכלל בסדר הפוך: P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B). הכלל שימושי כאשר ידועה ההסתברות של מאורע אחד וידועה ההסתברות המותנית של המאורע השני בהינתן הראשון.

מאורעות A ו־B נקראים בלתי תלויים כאשר ההתרחשות של אחד מהם אינה משנה את ההסתברות של השני. תנאי שקול לאי־תלות הוא P(A ∩ B) = P(A) · P(B), בהנחה שההסתברויות חיוביות. אין להשתמש בנוסחה הזאת אלא אם כן נתון במפורש שהמאורעות בלתי תלויים, או שההקשר מבהיר זאת ללא ספק.

דוגמה: אם שני ניסויים בלתי תלויים מתבצעים, וההסתברות להצלחה בראשון היא 0.7 וההסתברות להצלחה בשני היא 0.4, אז ההסתברות להצלחה בשניהם היא 0.7 · 0.4 = 0.28. ההסתברות לכישלון בשניהם היא (1 − 0.7) · (1 − 0.4) = 0.3 · 0.6 = 0.18.

הבחנה בין אי־תלות לזרות

מאורעות זרים הם מאורעות שאינם יכולים להתרחש יחד. אם A ו־B זרים, אז A ∩ B הוא מאורע ריק ולכן P(A ∩ B) = 0. לעומת זאת, מאורעות בלתי תלויים יכולים להתרחש יחד, וההסתברות המשותפת שלהם שווה למכפלת ההסתברויות.

אם שני מאורעות בעלי הסתברות חיובית הם זרים, הם אינם יכולים להיות בלתי תלויים. הסיבה היא שהתרחשות אחד מהם שוללת את השני: למשל, אם ידוע שהתוצאה בהטלת קובייה היא זוגית, ההסתברות שהתוצאה היא אי־זוגית נעשית 0, אף שעל פני כל המרחב היא 1/2. לכן זרות היא מצב של תלות, ולא סוג של אי־תלות.

מנגד, מאורעות בלתי תלויים אינם בהכרח זרים. בשתי הטלות מטבע בלתי תלויות, המאורע "ראש בהטלה הראשונה" והמאורע "ראש בהטלה השנייה" יכולים להתרחש יחד, וההסתברות המשותפת שלהם היא מכפלת ההסתברויות.