מבחן הסימנים ומבחן ווילקוקסון: חלופות ללא הנחת נורמליות

כאשר המשתנה הנחקר אינו מתפלג נורמלית או נמדד בסולם סדר, מבחני t עלולים שלא להתאים. במצבים כאלה משתמשים במבחנים לא־פרמטריים, שאינם דורשים הנחת התפלגות נורמלית. השיעור מציג את מבחן הסימנים ואת מבחן ווילקוקסון, ומבחין בין מדגם מזווג לבין השוואה בין קבוצות נפרדות.

מתי משתמשים במבחנים לא־פרמטריים

מבחנים לא־פרמטריים הם מבחנים סטטיסטיים שאינם מניחים כי המשתנה הנחקר מתפלג נורמלית באוכלוסייה. הם מתאימים כאשר המשתנה התלוי נמדד בסולם סדר, כלומר סולם שבו אפשר לדרג ערכים אך המרחקים ביניהם אינם בהכרח שווים, או כאשר המדגם קטן ואין אפשרות לבסס הנחת נורמליות.

אם המשתנה הוא כמותי, כלומר מספרי, ומתפלג נורמלית, מבחן t המתאים למבנה הנתונים יהיה בדרך כלל בעל עוצמה גבוהה יותר, כלומר יכולת גבוהה יותר לזהות הבדל אמיתי כאשר הוא קיים. לכן פונים למבחן לא־פרמטרי כאשר תנאי המבחן הפרמטרי אינם מתקיימים או כאשר סולם המדידה אינו מתאים.

מדגם מזווג ומבחן הסימנים

מדגם מזווג הוא מדגם שבו לכל תצפית יש תצפית תואמת: למשל שתי מדידות אצל אותו נבדק, מדידה לפני ואחרי טיפול, או שני פריטים תואמים שנבדקים בתנאים שונים. הקשר בין שתי התצפיות הוא חלק ממבנה הנתונים, ולכן ההשוואה נעשית בתוך הזוגות ולא בין קבוצות נפרדות.

מבחן הסימנים מתאים למדגם מזווג כאשר אין להניח התפלגות נורמלית של ההפרשים, או כאשר המידע הזמין הוא רק כיווני. המבחן ממיר כל זוג תצפיות להפרש ומסמן אותו כהפרש חיובי או כהפרש שלילי. אם אין שינוי בין שתי התצפיות, ההפרש אינו מספק כיוון ואינו תורם להכרעה בין התנאים.

המבחן בודק אם יש נטייה שיטתית של ההפרשים לכיוון אחד. תחת השערת האפס, כלומר בהנחה שאין נטייה מובהקת לכיוון אחד, מספר ההפרשים החיוביים והשליליים צפוי להיות מאוזן. אם מספר הסימנים החיוביים או השליליים חורג מן הצפוי, ניתן לדחות את השערת האפס.

מבחן ווילקוקסון למדגמים מזווגים

מבחן ווילקוקסון למדגמים מזווגים הוא חלופה לא־פרמטרית למבחן t למדגמים מזווגים. הוא מתאים כאשר אפשר לחשב הפרש בין שני הערכים בכל זוג, ואפשר להתייחס לא רק לכיוון ההפרש אלא גם לגודלו.

בניגוד למבחן הסימנים, מבחן ווילקוקסון מדרג את גודלי ההפרשים ובוחן את סכומי הדירוגים של ההפרשים החיוביים והשליליים. בכך הוא מנצל מידע רב יותר: לא רק אם ההפרש חיובי או שלילי, אלא גם אם הוא קטן או גדול יחסית להפרשים האחרים. לכן, כאשר הנתונים מאפשרים התייחסות לגודל הפער, מבחן ווילקוקסון עדיף בדרך כלל על מבחן הסימנים.

המבחן דורש ערכים המאפשרים חישוב הפרש או לפחות דירוג של ההפרשים. הוא יכול להתאים למשתנה כמותי שאינו מתפלג נורמלית, וכן למשתנה מסולם סדר שבו אפשר לדרג הבדלים בין תצפיות מזווגות.

מבחן ווילקוקסון לקבוצות נפרדות

כאשר שני המדגמים הם בלתי תלויים, כלומר אין התאמה בין תצפית במדגם אחד לתצפית במדגם השני, משתמשים בגרסה של מבחן ווילקוקסון למדגמים בלתי תלויים. גרסה זו ידועה גם כמבחן מאן־ויטני U. היא משמשת להשוואת שתי קבוצות נפרדות כאשר המשתנה התלוי הוא כמותי אך אינו מתפלג נורמלית, או כאשר הוא נמדד בסולם סדר.

הרעיון המרכזי במבחן הוא דירוג כלל התצפיות משתי הקבוצות יחד. תחילה מאחדים את כל הערכים, מסדרים אותם מהקטן לגדול ומעניקים להם דירוגים. לאחר מכן מחשבים את סכום הדירוגים בכל קבוצה ובודקים אם אחת הקבוצות נוטה לקבל דירוגים גבוהים יותר מן השנייה. על בסיס סכומי הדירוגים מחושב סטטיסטי המבחן, שהוא ערך מספרי המחושב מן המדגם ומשמש להכרעה בין השערות; במבחן זה הוא מסומן בדרך כלל באות U.

לדוגמה, אם חוקרים רוצים להשוות רמת ביטחון עצמי בין ילדים בשתי שיטות חינוך שונות, והציונים אינם מתפלגים נורמלית או נמדדים בסולם סדר, מבחן ווילקוקסון למדגמים בלתי תלויים יכול לשמש חלופה לא־פרמטרית למבחן t לשני מדגמים בלתי תלויים.

זיהוי המבחן המתאים לפי מבנה הנתונים

בחירת המבחן נעשית לפי שלושה מאפיינים: מבנה הדגימה, סולם המדידה, והמידע שאפשר להפיק מן הנתונים. תחילה יש להבחין אם מדובר במדגם מזווג או בקבוצות נפרדות. לאחר מכן יש לבדוק אם המשתנה מאפשר התייחסות לגודל ההפרש או לדירוג הערכים.

מבנה הנתונים	סולם המשתנה	המידע הזמין	מבחן מתאים
מדגם מזווג	דיכוטומי או הפרשים ללא גודל	כיוון ההפרש בלבד	מבחן הסימנים
מדגם מזווג	סדר או כמותי שאינו נורמלי	כיוון וגודל ההפרש	מבחן ווילקוקסון למדגמים מזווגים
שתי קבוצות נפרדות	סדר או כמותי שאינו נורמלי	דירוגים בין הקבוצות	מבחן ווילקוקסון/מאן־ויטני U
מדגם מזווג	כמותי נורמלי	תוחלת ההפרשים	מבחן t למדגמים מזווגים
שתי קבוצות נפרדות	כמותי נורמלי	הפרש תוחלות	מבחן t למדגמים בלתי תלויים

משתנה דיכוטומי הוא משתנה בעל שתי קטגוריות בלבד. כאשר הנתונים המזווגים מצטמצמים לשתי קטגוריות או לסימן בלבד, מבחן הסימנים הוא המתאים. כאשר אפשר לשמור על גודל ההפרש או על דירוג הערכים, מבחן ווילקוקסון מאפשר בדיקה רגישה יותר.

קבלת החלטה בפלט מבחן

בפלט של מבחן לא־פרמטרי מופיעים בדרך כלל סטטיסטי המבחן וערך המובהקות. ערך המובהקות מתאר את ההסתברות לקבלת תוצאה קיצונית לפחות כמו זו שנצפתה, בהנחה שהשערת האפס נכונה. לעיתים מופיעים ערכי מובהקות חד־צדדיים ודו־צדדיים, ולכן יש לבחור את הערך המתאים להשערת המחקר.

רמת מובהקות היא הסף שנקבע מראש להכרעה, למשל 5%. אם ערך המובהקות קטן מרמת המובהקות, דוחים את השערת האפס ומסיקים שיש הבדל או נטייה מובהקת בין התנאים. אם ערך המובהקות אינו קטן מרמת המובהקות, לא דוחים את השערת האפס.

יש לוודא שהמבחן שנבחר בפלט תואם את מבנה הנתונים: מבחן ווילקוקסון למדגמים מזווגים מתאים לזוגות, ואילו מבחן ווילקוקסון למדגמים בלתי תלויים או מאן־ויטני U מתאים לשתי קבוצות נפרדות.