מבחן חי בריבוע לטיב התאמה ובדיקת קשר בין משתנים קטגוריאליים

השיעור עוסק בהשוואת שכיחויות שנצפו במדגם לשכיחויות שהיינו מצפים להן תחת השערת האפס. הרעיון המרכזי הוא שהמבחן אינו בודק ממוצעים אלא את פיזור התצפיות בין קטגוריות: ככל שהפער בין השכיחות הנצפית לשכיחות הצפויה גדול יותר, כך יש פחות התאמה להשערת האפס.

מבחן טיב התאמה למשתנה קטגוריאלי אחד

משתנה קטגוריאלי הוא משתנה שמחלק את התצפיות לקבוצות איכותיות, כגון מגדר, דעה, סוג מוצר או סוג מסלול. במבחן טיב התאמה נבדק מדגם יחיד, והשאלה היא האם התפלגות התצפיות על פני הקטגוריות תואמת התפלגות צפויה מוגדרת מראש. ההתפלגות הצפויה יכולה להיות שווה בין כל הקטגוריות, או יכולה לנבוע מטענה מחקרית, כגון שיעור ידוע באוכלוסייה.

השערת האפס קובעת שהשכיחויות באוכלוסייה תואמות את ההתפלגות הצפויה. ההשערה החלופית קובעת שלפחות קטגוריה אחת אינה תואמת את ההתפלגות הצפויה. כאשר למשתנה יש שתי קטגוריות בלבד, המבחן שקול לבדיקת השערות דו־צדדית על פרופורציה בודדת. לדוגמה, בדיקה אם מטבע הוגן לאחר 80 הטלות שבהן התקבלו 48 תוצאות "ראש" יכולה להיבחן כמבחן טיב התאמה שבו מצפים ל־40 תוצאות "ראש" ו־40 תוצאות אחרות.

סטטיסטי המבחן ודרגות החופש

סטטיסטי המבחן מסכם את הפערים בין השכיחויות הנצפות לשכיחויות הצפויות:

χ² = Σ (O_i − E_i)² / E_i

השכיחות הנצפית O_i היא מספר התצפיות שנמצא בפועל בקטגוריה i. השכיחות הצפויה E_i היא מספר התצפיות שהיינו מצפים לו השערת האפס הייתה נכונה. העלאה בריבוע מבטיחה שכל הפערים יתרמו חיובית לסטטיסטי, והחלוקה ב־E_i נותנת משקל יחסי לגודל הצפוי של כל קטגוריה.

ערך גדול של חי בריבוע מעיד על חוסר התאמה גדול. כדי להכריע, משווים את הערך להתפלגות חי בריבוע עם דרגות החופש המתאימות. במבחן טיב התאמה עם k קטגוריות, דרגות החופש הן k − 1. דרגות החופש מבטאות את מספר הקטגוריות שהשכיחויות שלהן יכולות להשתנות באופן חופשי לאחר שהסכום הכולל של השכיחויות נקבע.

בדיקת אי־תלות בין שני משתנים קטגוריאליים

כאשר נאספים שני משתנים קטגוריאליים על אותן תצפיות, אפשר לבדוק אם קיים ביניהם קשר. למשל, אפשר לבדוק אם מגדר קשור לדעה בנושא מסוים, או אם רמת הכנסה קשורה לסוג צריכה. הנתונים מוצגים בטבלת שכיחות משותפת: טבלה שבה כל תא מציג את מספר התצפיות השייכות לצירוף של קטגוריה אחת מכל משתנה.

במבחן אי־תלות השערת האפס היא שהמשתנים בלתי תלויים, כלומר אין קשר בין הקטגוריות שלהם באוכלוסייה. ההשערה החלופית היא שקיים קשר. המבחן אינו קובע סיבה ותוצאה; הוא בודק בלבד אם דפוס השכיחויות במדגם חורג מן הדפוס הצפוי תחת אי־תלות.

	קטגוריה 1	קטגוריה 2	סך הכול
קבוצה 1	O11	O12	R1
קבוצה 2	O21	O22	R2
סך הכול	C1	C2	n

שכיחות צפויה בטבלת שכיחות משותפת

תחת השערת אי־תלות, השכיחות הצפויה בכל תא מחושבת מתוך שולי הטבלה:

E_ij = (R_i × C_j) / n

כאן R_i הוא סכום השורה i, C_j הוא סכום העמודה j, ו־n הוא גודל המדגם. ההיגיון הוא שאם אין קשר בין המשתנים, שיעור התצפיות בכל תא צריך לשקף בו־זמנית את שיעור השורה ואת שיעור העמודה. לכן תא עם שכיחות צפויה גבוהה יתקבל כאשר גם השורה וגם העמודה שכיחות.

דרגות החופש במבחן אי־תלות הן (r − 1)(c − 1), כאשר r הוא מספר השורות ו־c הוא מספר העמודות. לדוגמה, בטבלה עם שתי שורות ושלוש עמודות דרגות החופש הן (2 − 1)(3 − 1) = 2.

תנאי שימוש וטיפול בשכיחויות צפויות קטנות

המבחן מבוסס על קירוב להתפלגות חי בריבוע, ולכן נדרש שהשכיחויות הצפויות לא יהיו קטנות מדי. תנאי מקובל הוא שבכל התאים E_i ≥ 5. אם תנאי זה אינו מתקיים, אפשר לאחד קטגוריות סמוכות עד שהשכיחויות הצפויות בתאים המאוחדים גדולות די הצורך. איחוד כזה חייב להיעשות מתוך שיקול תוכן, ולא רק כדי לקבל מובהקות.

תנאי חלופי מקובל הוא שאין תא עם שכיחות צפויה קטנה מ־1, ולא יותר מ־20% מהתאים הם בעלי שכיחות צפויה קטנה מ־5. כאשר מבצעים איחוד קטגוריות, יש לעדכן את מספר הקטגוריות ואת דרגות החופש בהתאם. כמו כן, המבחן מתאים כאשר התצפיות בלתי תלויות ונאספו באופן מקרי.

קבלת החלטה ופירוש

לאחר חישוב סטטיסטי המבחן משווים אותו להתפלגות חי בריבוע עם דרגות החופש המתאימות, או משתמשים בערך המובהקות המופיע בפלט. ערך המובהקות, המסומן לעיתים Asymp. Sig. או p-value, הוא ההסתברות לקבל פער קיצוני לפחות כמו הפער שנצפה במדגם, בהנחה שהשערת האפס נכונה.

אם ערך המובהקות קטן מרמת המובהקות שנקבעה מראש, כגון 5%, דוחים את השערת האפס. במבחן טיב התאמה המשמעות היא שיש עדות לכך שההתפלגות הנצפית אינה תואמת את ההתפלגות הצפויה. במבחן אי־תלות המשמעות היא שיש עדות לקשר בין המשתנים. אם ערך המובהקות אינו קטן, אין דוחים את השערת האפס; אין פירושו שהוכח שאין קשר, אלא שאין במדגם הנוכחי עדות מספקת לכך.

עוצמת הקשר ומקדם קרמר

דחיית השערת האפס אינה אומרת עד כמה הקשר חזק. לשם כך משתמשים במדדי עוצמה, ובהם מקדם המתאם של קרמר. המקדם מתאים לטבלאות מכל גודל, וערכו נע בין 0 ל־1: ערך קרוב ל־0 מעיד על קשר חלש, וערך קרוב ל־1 מעיד על קשר חזק.

עבור טבלה עם r שורות ו־c עמודות, מגדירים L כמספר הקטן מבין r ו־c, ומחשבים:

V = √(χ² / [n(L − 1)])

כאשר χ² הוא סטטיסטי המבחן ו־n הוא גודל המדגם. יש לפרש את המקדם לצד עיון בטבלת השכיחויות עצמה, משום שגודל המדגם יכול להשפיע על המובהקות גם כאשר הקשר אינו חזק.

קריאת פלט סטטיסטי

בפלט של מבחן חי בריבוע מופיעים בדרך כלל סטטיסטי Pearson Chi-Square, דרגות החופש df, וערך המובהקות. כן מופיע מספר התצפיות התקפות N of Valid Cases. אם יש תאים עם שכיחויות צפויות נמוכות, הפלט עשוי לכלול הערה על כך, כגון מספר התאים שבהם השכיחות הצפויה קטנה מ־5.

בעת דיווח על המבחן יש לציין את סטטיסטי המבחן, את דרגות החופש, את גודל המדגם ואת ערך המובהקות. יש להבחין בין התיאור המילולי של הקשר לבין ההכרעה הסטטיסטית: טבלת השכיחויות מראה את כיוון הקשר ואת הפרופורציות, ואילו המבחן בודק אם הדפוס הזה חורג באופן מובהק מן הצפוי תחת השערת האפס.