מרכז ופיזור של תוצאה אקראית

השיעור עוסק במדדים הכמותיים המתארים את הערך הצפוי של משתנה מקרי בדיד ואת מידת הפיזור של ערכיו סביב ערך זה. הרעיון המרכזי הוא שהתוחלת מתארת את מרכז ההתפלגות, ואילו השונות וסטיית התקן מתארות עד כמה התוצאות נוטות להתרחק מהתוחלת. נבחן גם כיצד מחשבים מדדים אלה בשינוי ליניארי, בהתפלגות בינומית ובסכום של משתנים מקריים.

תוחלת של משתנה מקרי בדיד

משתנה מקרי בדיד הוא משתנה שמקבל ערכים מספריים בני מנייה, כגון מספר הצלחות, מספר פריטים או סכום כספי המתקבל ממספר אפשרויות מוגבל. לכל ערך אפשרי יש הסתברות, ופונקציית ההסתברות מקיימת שסכום כל ההסתברויות הוא 1.

תוחלת של משתנה מקרי X, המסומנת E(X) או μ, היא הממוצע המשוקלל של כל הערכים האפשריים לפי ההסתברויות שלהם:

E(X) = Σ x · p(x)

בחישוב התוחלת כל ערך מוכפל בהסתברות שלו, ולכן ערכים בעלי הסתברות גבוהה משפיעים יותר על התוצאה. התוחלת אינה בהכרח ערך שהמשתנה יכול לקבל בפועל. היא מתארת את הממוצע שיתקבל בטווח ארוך, אם הניסוי יחזור על עצמו פעמים רבות בתנאים זהים. לכן התוחלת משמשת מדד מרכזי להשוואה בין משתנים מקריים ולחיזוי תוצאה צפויה.

שונות וסטיית תקן של משתנה מקרי בדיד

שונות של משתנה מקרי X, המסומנת V(X), מודדת את ממוצע ריבועי הסטיות של הערכים מהתוחלת. הנוסחה הישירה היא:

V(X) = Σ (x - μ)² · p(x)

נוסחה שימושית נוספת היא:

V(X) = E(X²) - [E(X)]²

הנוסחה השנייה נוחה כאשר נתונה טבלת התפלגות: תחילה מחשבים את E(X²) על ידי הכפלת כל ערך בריבועו ובהסתברות שלו, ואז מחסרים את ריבוע התוחלת. השונות נמדדת ביחידות מרובעות ביחס לערכי המשתנה, ולכן היא פחות נוחה לפרשנות ישירה. ככל שהשונות גדולה יותר, הערכים של המשתנה מפוזרים יותר סביב התוחלת.

סטיית תקן, המסומנת σ, היא השורש הריבועי של השונות:

σ = √V(X)

סטיית התקן נמדדת באותן יחידות כמו המשתנה עצמו, ולכן היא מדד פיזור נוח לתיאור. סטיית תקן שווה 0 מתארת מצב שבו המשתנה מקבל ערך אחד בלבד בהסתברות 1.

טרנספורמציה ליניארית של משתנה מקרי

טרנספורמציה ליניארית היא יצירת משתנה חדש מהצורה Y = aX + b, כאשר a ו־b הם קבועים. דוגמה נפוצה היא מעבר מסכום זכייה לרווח, על ידי הפחתת עלות השתתפות קבועה.

השפעת הטרנספורמציה על המדדים היא:

• E(Y) = aE(X) + b
• V(Y) = a²V(X)
• σ(Y) = |a|σ(X)

חיבור הקבוע b מזיז את כל הערכים באותו שיעור ולכן משנה את התוחלת, אך אינו משנה את השונות ואת סטיית התקן. כפל בקבוע a משנה גם את המרכז וגם את הפיזור. השונות מושפעת מריבוע הכפל, וסטיית התקן מושפעת מהערך המוחלט של הכפל.

לדוגמה, אם הרווח שווה לסכום זכייה פחות עלות קבועה, מדובר ב־a = 1 וב־b שלילי; הפיזור אינו משתנה. אם סכום הזכייה מוכפל פי 2, התוחלת וסטיית התקן מוכפלות, והשונות גדלה פי 4.

התפלגות בינומית

התפלגות בינומית מתארת את מספר ההצלחות במספר קבוע של ניסויים בלתי תלויים, שבהם בכל ניסוי יש שתי תוצאות אפשריות בלבד: הצלחה או כישלון. ההסתברות להצלחה, המסומנת p, קבועה בכל הניסויים.

אם X הוא מספר ההצלחות ב־n ניסויים, נכתוב:

X ~ B(n, p)

ההסתברות לקבל בדיוק k הצלחות היא:

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 - p)^(n - k)

כאשר C(n, k) הוא מספר הדרכים לבחור k הצלחות מתוך n.

בהתפלגות בינומית:

• התוחלת היא E(X) = np
• השונות היא V(X) = np(1 - p)
• סטיית התקן היא σ = √np(1 - p)

התוחלת np מבטאת את מספר ההצלחות הצפוי. השונות תלויה גם ב־n וגם במרחק של p מ־0 או מ־1. כאשר p קרוב ל־0.5, אי הוודאות לגבי מספר ההצלחות גדולה יותר מאשר כאשר p קרוב לקצוות. ניתן לראות את X כסכום של n משתנים שמקבלים 1 בהצלחה ו־0 בכישלון. הצגה זו מסבירה את הקשר בין ההתפלגות הבינומית לבין הכללים של סכום משתנים מקריים.

סכום משתנים מקריים

כאשר בוחנים סכום של כמה משתנים מקריים, מגדירים משתנה חדש T = X₁ + X₂ + ... + Xₙ. לדוגמה, T יכול להיות סכום הזכיות במספר משחקים בלתי תלויים או סך הנקודות שהושגו מכמה רכיבים נפרדים.

תוחלת של סכום היא סכום התוחלות, גם אם המשתנים אינם בלתי תלויים:

E(T) = E(X₁) + E(X₂) + ... + E(Xₙ)

לעומת זאת, כדי לחשב שונות של סכום בעזרת חיבור השונויות, נדרשת אי־תלות בין המשתנים. אם X₁, X₂, ..., Xₙ בלתי תלויים, אז:

V(T) = V(X₁) + V(X₂) + ... + V(Xₙ)

סטיית התקן של הסכום היא השורש הריבועי של השונות הכוללת:

σ(T) = √V(T)

אם נדרשת סטיית תקן של סכום, אין מחברים את סטיות התקן עצמן; תחילה מחברים שונויות, אם יש אי־תלות, ורק אז מוציאים שורש.

אם המשתנים זהים בהתפלגותם, בלתי תלויים, ולכל אחד מהם תוחלת μ ושונות σ², אז:

• E(T) = nμ
• V(T) = nσ²
• σ(T) = √n · σ

יש להבחין בין סכום של n משתנים בלתי תלויים לבין הכפלה של משתנה אחד בקבוע n. במקרה הראשון השונות גדלה פי n, ואילו במקרה השני מתקיים V(nX) = n²V(X), משום שאותו משתנה מוכפל כולו.