היקפים של צורות גאומטריות בהקשר אורייני – חישובים ותכונות

השיעור עוסק בחישוב אורך הקו הסוגר צורות שונות, כפי שהוא נדרש במצבים מוחשיים: גידור חצר, מסגרת של חלון, חישוק של טרמפולינה או תכנון מסלול הליכה. הרעיון המרכזי הוא שהיקף מתקבל מחיבור חלקי השפה החיצונית בלבד: קטעים ישרים בצורות מצולעות, וקשתות במעגל או בחלקיו. כאשר חסר אורך של צלע, נעזרים בתכונות הצורה או במשפט פיתגורס.

היקף כקו תוחם של צורה

היקף של צורה הוא אורך הקו התוחם אותה. במצולע, ההיקף הוא סכום אורכי הצלעות. במעגל, ההיקף הוא אורך הקו העגול הסגור. בהקשר אורייני, ההיקף מייצג את כמות החומר הדרושה לגידור, למסגרת, לחישוק או לשביל המקיף שטח. לכן חשוב לזהות תחילה מהי השפה החיצונית של הצורה, ורק לאחר מכן לחבר את אורכי החלקים שלה.

יש להבחין בין היקף לבין שטח. היקף נמדד ביחידות אורך, כגון סנטימטרים, מטרים או קילומטרים, ואילו שטח נמדד ביחידות שטח, כגון סנטימטרים רבועים או מטרים רבועים. גם כאשר שתי צורות בעלות שטח דומה, ייתכן שהיקפיהן שונים, ולכן בחישוב הקשור לגדר, למסגרת או למסלול יש להתייחס להיקף דווקא.

חישוב היקף של משולשים ומרובעים

במשולש ההיקף הוא סכום שלוש הצלעות. אם המשולש שווה צלעות, כל הצלעות שוות ולכן ההיקף הוא שלוש פעמים אורך הצלע. אם המשולש שווה שוקיים, שתי השוקיים שוות, ולכן ההיקף הוא סכום הבסיס ושתיים מהשוק.

במרובע ההיקף הוא סכום ארבע הצלעות. יחד עם זאת, תכונות של מרובעים מוכרים מקצרות את החישוב:

• מלבן: צלעות נגדיות שוות. אם אורכי הצלעות הם a ו-b, ההיקף הוא 2a+2b.
• ריבוע: כל הצלעות שוות. אם הצלע היא a, ההיקף הוא 4a.
• מקבילית: צלעות נגדיות שוות. אם אורכי שתי צלעות סמוכות הם a ו-b, ההיקף הוא 2a+2b.
• מעוין: כל הצלעות שוות. אם הצלע היא a, ההיקף הוא 4a.
• טרפז: אין תכונה כללית של שוויון צלעות, ולכן ההיקף הוא סכום ארבע הצלעות. בטרפז שווה שוקיים, שתי השוקיים שוות, ולכן ההיקף הוא סכום שני הבסיסים ושתיים מהשוק.

כאשר הצורה היא חלק ממתקן או ממבנה, יש לבדוק אם כל הצלעות שייכות לשפה החיצונית. לדוגמה, במסגרת של חלון, ההיקף הוא אורך הקו החיצוני של המסגרת, ולא סכום כל הקווים הפנימיים של הזכוכיות.

שימוש בתכונות צורות למציאת צלעות חסרות

במצבים רבים לא כל הצלעות נתונות במפורש. במקרה כזה משתמשים בתכונות הצורה כדי להשלים את הנתונים לפני חישוב ההיקף.

אם נתון היקף ונתונה צלע אחת, אפשר לבנות משוואה פשוטה. לדוגמה, במקבילית שבה ההיקף הוא P ואחת הצלעות היא a, הצלע הסמוכה b מתקבלת מהקשר P=2(a+b). במלבן הנוסחה זהה מבחינת מבנה, אך יש לזכור שהצלעות הן בדרך כלל אורך ורוחב. בריבוע ובמעוין, אם נתון ההיקף P, אורך הצלע הוא P חלקי 4.

לעיתים הקשר בין הצלעות מתואר במילים. אם צלע אחת גדולה פי 2 מצלע אחרת, אפשר לסמן את הצלע הקטנה ב-x ואת הצלע הגדולה ב-2x. אם צלע אחת קטנה ב-3 ס"מ מצלע אחרת, אפשר לסמן את הצלע הגדולה ב-x ואת הקטנה ב-x-3. לאחר מכן מציבים את הביטויים בנוסחת ההיקף ומקבלים משוואה.

בטרפז שווה שוקיים אפשר להשתמש בשוויון השוקיים גם כאשר נתון ההיקף ונתונים הבסיסים: סכום השוקיים הוא ההיקף פחות סכום הבסיסים, ואורך כל שוק הוא מחצית מסכום זה. חשוב להבחין בין נתון על צלע לבין נתון על אלכסון, גובה או קטע עזר. אלכסון אינו צלע של המרובע, ולכן אינו נכנס ישירות לחישוב ההיקף, אך הוא עשוי לעזור במציאת צלע באמצעות משפט פיתגורס.

משפט פיתגורס בחישוב היקפים

משפט פיתגורס מאפשר לחשב אורך צלע חסרה במשולש ישר זווית. במשולש ישר זווית, הצלע שמול הזווית הישרה נקראת יתר, ושתי הצלעות האחרות נקראות ניצבים. לפי המשפט, ריבוע אורך היתר שווה לסכום ריבועי אורכי הניצבים. אם נסמן את הניצבים ב-a וב-b ואת היתר ב-c, מתקבל הקשר c²=a²+b².

בחישוב היקפים נשתמש במשפט כאשר הצורה כוללת משולש ישר זווית, או כאשר אפשר ליצור ממנה משולש כזה בעזרת גובה או אלכסון.

• אם במשולש ישר זווית ידועים שני הניצבים, מחשבים את היתר לפי c=√(a²+b²) ומוסיפים אותו לסכום הצלעות.
• אם ידועים יתר וניצב אחד, מחשבים את הניצב החסר על ידי העברת ריבוע הניצב הידוע לאגף השני: b²=c²-a².
• בטרפז שווה שוקיים, הורדת גובה מהבסיס העליון לבסיס התחתון יוצרת משולש ישר זווית שבו אפשר לחשב את השוק.
• במלבן או בריבוע, אלכסון יוצר שני משולשים ישרי זווית; אם נתונים האלכסון וצלע אחת, אפשר למצוא את הצלע השנייה ואז את ההיקף.

יש להקפיד שהצלע שמחשבים באמצעות פיתגורס היא אורך חיובי, ושהשימוש במשפט נעשה רק במשולש ישר זווית. כמו כן, אם הנתונים כוללים יחידות שונות, יש להמיר אותן לפני הצבה במשפט.

היקף מעגל, קשת וגזרה

מעגל הוא אוסף הנקודות במישור שמרחקן ממרכז קבוע שווה לרדיוס r. הקוטר d הוא קטע המחבר בין שתי נקודות על המעגל ועובר במרכז, ואורכו פעמיים הרדיוס. היקף המעגל הוא אורך הקו העגול כולו, והוא נתון בנוסחה C=2πr או C=πd. הקבוע π הוא מספר אי-רציונלי שערכו המקורב הוא 3.14159; בחישובים רבים משתמשים בערך 3.14 או בערך מדויק יותר לפי הדרישה.

חלק ממעגל נקרא קשת. קשת היא הקטע העגול שבין שתי נקודות על המעגל. אם הזווית המרכזית הנשענת על הקשת היא α מעלות, אורך הקשת הוא החלק המתאים מהיקף המעגל: (α/360)·2πr. אם הקשת היא חצי מעגל, אורכה πr. אם הקשת היא רבע מעגל, אורכה πr/2.

כאשר מדובר בגזרה, כלומר בחלק מעיגול התחום בין שני רדיוסים והקשת שביניהם, ההיקף של הגזרה אינו רק אורך הקשת. יש להוסיף גם את שני הרדיוסים התוחמים אותה. לכן היקף גזרה עם זווית מרכזית α הוא אורך הקשת ועוד 2r. באופן דומה, היקף חצי עיגול כולל את קשת חצי המעגל ואת הקוטר, והיקף רבע עיגול כולל את קשת רבע המעגל ואת שני הרדיוסים.

אם נתון היקף המעגל וצריך למצוא את הרדיוס, משתמשים בקשר ההפוך: r=C/(2π). אם נתון היקף וצריך למצוא את הקוטר, מתקבל d=C/π. פעולות כאלה נפוצות במצבים שבהם ידוע אורך חישוק או מסגרת עגולה, וצריך למצוא את קוטר הבסיס או את הרדיוס שלה.

צורות מורכבות מקטעים ומקשתות

במצבים אורייניים רבים הצורה אינה מצולע פשוט או מעגל שלם, אלא שילוב של קטעים ישרים וקשתות. דוגמאות נפוצות הן חלון שמעליו חצי מעגל, מסגרת של דלת עם קשת, מתקן טיפוס, או מסלול ריצה הכולל קטעים ישרים וחלקים מעוגלים.

כדי לחשב היקף של צורה כזו, יש לבצע שלושה שלבים עקרוניים:

1. לזהות את הקו החיצוני בלבד. קטעים פנימיים שמחלקים את הצורה אינם חלק מההיקף, אלא אם נדרשת במפורש מסגרת פנימית.
2. לחשב את אורך כל חלק מהקו החיצוני: קטעים ישרים לפי צלעות, וקשתות לפי חלק מהיקף המעגל.
3. לחבר את כל החלקים. אם יש פתח, כגון דלת או כניסה, יש להחסיר את אורך הפתח מהיקף הסגור, בהתאם לדרישת המצב.

כאשר צורה מורכבת מכמה צורות צמודות, הקווים המשותפים ביניהן אינם חלק מהשפה החיצונית. לעומת זאת, אם מחשבים אורך של מסגרת סביב כל חלק בנפרד, יש להתייחס לכל שפה בנפרד לפי הנתונים.

דוגמה עקרונית נפוצה היא חלון שמורכב ממלבן ומעליו חצי מעגל. אם רוחב המלבן שווה לקוטר חצי המעגל, אז הקוטר משמש גם כצלע עליונה של המלבן וגם כבסיס לחצי העיגול. בחישוב ההיקף החיצוני של החלון כולו, אין סופרים את הקוטר פעמיים: הקשת העליונה היא חצי היקף מעגל, והצלעות הישרות הן שתי השוקיים והבסיס התחתון של המלבן. אם נדרש אורך מסגרת סביב החלק המלבני בלבד או סביב החלק העגול בלבד, יש לחשב את השפה של כל חלק לפי מה שמבוקש.

יחידות מידה והשוואת אפשרויות לפי היקף

במצבים מציאותיים נתונים עשויים להופיע ביחידות שונות: סנטימטרים, מטרים או קילומטרים. לפני חיבור אורכים יש להמיר אותם לאותה יחידה. לדוגמה, 1 מטר שווה 100 סנטימטרים, ו-1 קילומטר שווה 1000 מטרים. אם חישוב ההיקף נעשה בסנטימטרים אך התשובה נדרשת במטרים, יש להמיר את התוצאה בסיום.

היקפים משמשים גם להשוואה בין אפשרויות. כאשר צריך לבחור בין כמה מסלולים, אפשרויות גידור או מסגרות, מחשבים את אורך הקו התוחם של כל אפשרות ובוחרים לפי השיקול הנדרש: אורך קצר יותר, כמות חומר קטנה יותר, או עלות נמוכה יותר כאשר העלות תלויה בהיקף. אם העלות היא למטר של גדר או למטר של מסגרת, חישוב ההיקף הוא הבסיס לחישוב העלות.

במצב שבו נתון אורך כולל של גדר או של מסגרת, אפשר להשתמש בהיקף כדי לבדוק אם האורך מספיק לצורה מסוימת. לשם כך מחשבים את היקף הצורה המבוקשת ומשווים אותו לאורך הזמין. אם ההיקף קטן מהאורך הזמין או שווה לו, האורך מספיק; אם ההיקף גדול מהאורך הזמין, נדרשת תוספת או בחירת צורה אחרת.