ייצוגים סטטיסטיים

השיעור עוסק בדרכים שבהן נתונים שנאספו על תופעות במדע ובחברה נעשים מובנים וקריאים. הרעיון המרכזי הוא שרשימה, טבלה ותרשים יכולים לתאר את אותם נתונים, והמעבר ביניהם מאפשר לקרוא מידע, להשוות בין קבוצות ולזהות דפוסים. נלמד כיצד מארגנים נתונים בטבלה, כיצד מחשבים חלק יחסי מתוך כלל הנתונים וכיצד בוחרים ייצוג מתאים.

משתנה, ערך ואוכלוסייה

בסטטיסטיקה מתארים תכונה של פרטים בקבוצה. הקבוצה שעליה נאסף המידע נקראת אוכלוסייה, והתכונה הנמדדת נקראת משתנה. התוצאה שנמדדת עבור פרט אחד נקראת ערך.

לדוגמה, אם בודקים את מספר הילדים במשפחות ביישוב, המשתנה הוא מספר הילדים במשפחה, והערכים האפשריים הם 0, 1, 2, 3 וכדומה. אם בודקים את סוג התגובה לחיוג טלפון, המשתנה הוא סוג התגובה, והערכים הם קטגוריות כגון שיחה תקינה, אין מענה, קו מקולקל או קו תפוס.

נהוג להבחין בין כמה סוגי משתנים:

• משתנה איכותי מתאר שיוך לקטגוריה, כגון סוג פרי, סוג תגובה או תחום לימוד.
• משתנה כמותי מתאר גודל מספרי, כגון ציון, מספר מוצרים או אחוז.
• משתנה כמותי בדיד יכול לקבל ערכים מספריים נפרדים, לרוב מספרים שלמים, כגון מספר משפחות או מספר שערים.
• משתנה כמותי רציף יכול לקבל כל ערך בתחום מסוים, כגון גובה, זמן או טמפרטורה.

סוג המשתנה משפיע על בחירת הטבלה והתרשים המתאימים להצגת הנתונים.

טבלת שכיחויות

כאשר נאספים נתונים רבים, קשה להסיק מהם מידע אם הם מופיעים כרשימה ארוכה. לכן מסדרים אותם בטבלה. טבלת שכיחויות היא טבלה שבה מופיעים ערכי המשתנה, ולצד כל ערך מופיעה שכיחות — מספר הפעמים שהערך הופיע בנתונים.

לדוגמה, אם ברשימת ציונים מופיעים הציונים 70, 80, 70, 90, 80 ו־70, אפשר לסדר את הנתונים כך:

ציון	שכיחות
70	3
80	2
90	1

סכום השכיחויות בטבלה שווה למספר הנתונים הכולל. בדוגמה שלעיל נבדקו שישה ציונים, ולכן סכום השכיחויות הוא 6. אם נבדקו 35 תלמידים, סכום השכיחויות חייב להיות 35. בדיקה זו מסייעת לגלות שגיאת ספירה או נתון שנשמט.

טבלת שכיחויות מאפשרת לראות מיד איזה ערך הופיע יותר מאחרים, כמה נתונים נכללים בכל קטגוריה, ומהו סדר הגודל של התופעה.

שכיחות יחסית

לעיתים חשוב לדעת לא רק כמה פעמים הופיע ערך, אלא איזה חלק הוא מהווה מתוך כלל הנתונים. לשם כך משתמשים בשכיחות יחסית. שכיחות יחסית של ערך היא היחס בין השכיחות שלו לבין סכום השכיחויות.

אם ערך מסוים הופיע 12 פעמים מתוך 30 נתונים, השכיחות היחסית שלו היא 12 חלקי 30, כלומר 0.4, או 40%.

שכיחות יחסית יכולה להופיע כשבר, כשבר עשרוני או כאחוז. כאשר משתמשים באחוזים, סכום השכיחויות היחסיות של כל הערכים הוא 100%. כאשר משתמשים בשברים עשרוניים, הסכום הוא 1.

טבלת שכיחויות יחסית שימושית במיוחד כאשר משווים בין שתי קבוצות שגודלן שונה. לדוגמה, אם בקבוצה אחת יש 50 נבדקים ובקבוצה אחרת יש 200 נבדקים, השוואה של מספרים מוחלטים בלבד עלולה להטעות. השכיחות היחסית מאפשרת להשוות את החלק היחסי של כל ערך מתוך הקבוצה כולה.

בניית טבלת שכיחויות מרשימת נתונים

בניית טבלת שכיחויות מתחילה ברשימת נתונים גולמית. רשימה כזאת היא אוסף של ערכים כפי שנמדדו, ללא סידור וללא סיכום. כדי להפוך אותה לטבלה, פועלים לפי השלבים הבאים:

1. מגדירים את המשתנה הנבדק ואת יחידת המדידה.
2. מרכזים את כל הערכים שהופיעו בנתונים.
3. סופרים כמה פעמים הופיע כל ערך.
4. רושמים את הערכים ואת השכיחויות בטבלה.
5. בודקים שסכום השכיחויות שווה למספר הנתונים הכולל.

כאשר הערכים רבים מאוד או כאשר המשתנה רציף, נהוג לקבץ את הנתונים למחלקות. מחלקה היא טווח ערכים, כגון 0 עד 9, 10 עד 19 או 20 עד 29. יש להקפיד שהמחלקות יהיו זרות, כלומר שלכל נתון תתאים מחלקה אחת בלבד, ושהן יכסו את כל הנתונים בלי להשאיר ערך מחוץ לטבלה.

לדוגמה, אם מודדים ציונים במבחן, אפשר לבחור מחלקות של 50 עד 59, 60 עד 69, 70 עד 79 וכדומה. ציון 75 ייכנס למחלקה 70 עד 79, וציון 68 ייכנס למחלקה 60 עד 69.

קריאת מידע מטבלת שכיחויות

קריאה נכונה של טבלת שכיחויות מתחילה בזיהוי המשתנה ובעמודות הטבלה. יש לבדוק מה מייצג כל ערך, מהי השכיחות שלו, ומהו סכום השכיחויות. מתוך כך אפשר להבין כמה פעמים הופיע ערך מסוים, איזה ערך הוא בעל השכיחות הגבוהה ביותר, וכמה נתונים שייכים לקבוצה של ערכים.

בטבלת שכיחויות יחסית קוראים את הנתונים כאחוזים או כחלקים מתוך שלם. לדוגמה, אם בטבלת תגובות לחיוגים כתוב ש־50% מהחיוגים הסתיימו בשיחה תקינה, פירוש הדבר שמחצית מהחיוגים הובילו לשיחה. אם ידוע גם מספר החיוגים הכולל, אפשר לעבור משכיחות יחסית לשכיחות.

נניח שבוצעו 500 חיוגים, ומהם 250 בשיחה תקינה, 100 ללא מענה, 125 בקו מקולקל ו־25 בקו תפוס. השכיחויות היחסיות הן בהתאמה: 50%, 20%, 25% ו־5%.

אם נתון חסר, אפשר לעיתים למצוא אותו בעזרת הסכום הכולל או בעזרת שכיחות יחסית. אם ידוע שהשכיחות היחסית של ערך היא 20% ושהסכום הכולל הוא 500, השכיחות של הערך היא 20% מתוך 500, כלומר 100.

מעבר מטבלת שכיחויות לייצוג חזותי

ייצוג חזותי הוא הצגה של הנתונים בתרשים. המעבר מטבלה לתרשים מאפשר לראות במהירות השוואות, חלקים מתוך שלם ומגמות. לפני בחירת התרשים יש להחליט מהו המסר המרכזי: השוואה בין קטגוריות, הצגת חלק משלם, או תיאור שינוי לאורך זמן.

דיאגרמת עמודות

דיאגרמת עמודות היא תרשים שבו כל ערך או קטגוריה מיוצגים על ידי עמודה. גובה העמודה מייצג את השכיחות של הערך. ציר אחד מציג את הערכים, והציר השני מציג את השכיחות.

דיאגרמת עמודות מתאימה להצגת שכיחויות של ערכים בדידים או קטגוריות. לדוגמה, אפשר להציג בה את מספר המשחקים שבהם הובקעו 0, 1, 2, 3 או 4 שערים. כדי לבנות דיאגרמת עמודות מטבלה, רושמים את הערכים על הציר, מסמנים את השכיחויות ובוחרים קנה מידה ברור, כלומר סימון מספרי עקבי על ציר השכיחות.

דיאגרמת עיגול

דיאגרמת עיגול מציגה את הנתונים כחלקים מתוך שלם. העיגול כולו מייצג את כלל הנתונים, וכל גזרה בעיגול מייצגת ערך אחד או קטגוריה אחת. גודל הגזרה נקבע לפי השכיחות היחסית.

לכן דיאגרמת עיגול מתאימה כאשר הנתונים מתוארים באחוזים או בשכיחויות יחסיות. אם העיגול מחולק לעשרה חלקים שווים, כל חלק מייצג 10%. אם רוצים לחשב זווית מרכזית לפי אחוז, משתמשים בכך שהעיגול כולו הוא 360 מעלות: 1% מתאים ל־3.6 מעלות. לדוגמה, ערך ששכיחותו היחסית היא 25% ייוצג בזווית של 90 מעלות.

גרף

גרף הוא תרשים המתאר קשר בין שני משתנים או שינוי של משתנה לאורך זמן. בגרף נהוג לסמן שני צירים: ציר אופקי, שלרוב מציג זמן או ערך שעל פיו בודקים שינוי, וציר אנכי, שמציג את הערך הנמדד.

גרף מתאים כאשר רוצים לזהות מגמה, כגון עלייה, ירידה, יציבות או קצב שינוי. לדוגמה, אחוז הזכאים לתעודת בגרות לאורך שנים יכול להיות מוצג בגרף, שבו הציר האופקי מציג שנים והציר האנכי מציג אחוזים.

מעבר מייצוג חזותי לטבלת שכיחויות

המעבר מתרשים לטבלה דורש קריאה מדויקת של הצירים, הכותרות וקנה המידה. בדיאגרמת עמודות קוראים את גובה כל עמודה ורושמים את הערך ואת השכיחות המתאימה לו. אם העמודה מגיעה עד 12 בציר השכיחות, פירוש הדבר שהשכיחות של הערך היא 12.

בדיאגרמת עיגול קוראים את החלק היחסי של כל גזרה. אם הגזרות מסומנות באחוזים, אפשר לרשום ישירות טבלת שכיחויות יחסית. אם הגזרות מסומנות בזוויות, ממירים את הזווית לשכיחות יחסית: זווית של 72 מעלות מתאימה ל־72 חלקי 360, כלומר 0.2, או 20%. אם ידוע מספר הפרטים הכולל, אפשר לחשב גם את השכיחות. לדוגמה, אם יש 500 פרטים וגזרה היא 20%, השכיחות שלה היא 100.

בגרף קוראים נקודות לפי הצירים. אם נקודה נמצאת מעל שנה מסוימת ומגיעה לערך מסוים בציר האנכי, אפשר לרשום את הזוג: שנה וערך. לאחר מכן אפשר לסדר את הנתונים בטבלה. כאשר הגרף מתאר תופעה חברתית או מדעית, יש לשים לב ליחידות: אחוזים, מספרים, מיליונים או זמן.

בחירת ייצוג מתאים לנתונים

לא כל ייצוג מתאים לכל נתונים. הבחירה תלויה בסוג המשתנה, בכמות הנתונים ובמטרת ההצגה.

• להשוואת שכיחויות בין קטגוריות או ערכים בדידים, דיאגרמת עמודות היא בדרך כלל בחירה מתאימה.
• להצגת חלקים מתוך שלם, דיאגרמת עיגול מתאימה כאשר יש מעט קטגוריות והנתונים ניתנים להצגה כאחוזים.
• לתיאור שינוי לאורך זמן או קשר בין שני משתנים, גרף מתאים יותר.
• כאשר יש נתונים רבים או ערכים רציפים, טבלת שכיחויות עם מחלקות עשויה להיות נוחה יותר מרשימה ארוכה.

ייצוג חזותי חייב לכלול כותרת ברורה, סימון צירים, יחידות מדידה וקנה מידה עקבי. קנה מידה לא ברור או התחלה לא מתאימה של ציר עלולים להציג את הנתונים באופן מטעה. לכן לפני קריאת מסקנה מתרשים, יש לבדוק מה בדיוק נמדד, באילו יחידות, ומהו טווח הערכים המוצג.

קריאת נתונים והבחנה בין עובדה לפרשנות

כאשר נתונים מוצגים בתופעה מדעית או חברתית, יש להבחין בין הנתון עצמו לבין המסקנה שמוסקת ממנו. נתון הוא עובדה כגון שכיחות, אחוז, ערך של עמודה או נקודה בגרף. מסקנה היא פירוש של הנתון, כגון טענה שיש עלייה, ירידה או הבדל בין קבוצות.

לדוגמה, אם בגרף מופיע שאחוז מסוים עלה משנה אחת לאחרת, העלייה עצמה היא תיאור של הנתונים. הסבר אפשרי לעלייה, כגון שינוי מדיניות או שינוי באוכלוסייה, הוא כבר פרשנות שדורשת מידע נוסף.

במעבר בין ייצוג מספרי לייצוג חזותי יש לשמור על דיוק: לא להוסיף נתונים שאינם מופיעים, לא לגרוע נתונים קיימים, ולבדוק שהערכים בטבלה תואמים את התרשים.