מסלולים

השיעור עוסק בבחינת דרכי תנועה שונות בין נקודות, ובחישוב האורך והזמן הנדרשים לכל אחת מהן. הרעיון המרכזי הוא שהבחירה בדרך אינה נשענת רק על המרחק, אלא על שילוב של אורך, מהירות, זמן ולעיתים גם עלות או תנאי דרך. לשם כך משתמשים בנוסחת דרך־מהירות־זמן, בהמרת יחידות ובמשפט פיתגורס.

מהו מסלול ומהם שיקולי הבחירה

מסלול הוא רצף של קטעים שדרכם עוברים מנקודת מוצא לנקודת יעד, או דרך סגורה שחוזרת לנקודת המוצא. הקטעים יכולים להיות צלעות של מצולעים, שבילים ישרים, קשתות של מעגל או שילוב שלהם.

כאשר יש כמה אפשרויות, צריך להחליט איזו אפשרות עדיפה לפי מטרת השאלה:

• אורך קצר ביותר.
• זמן קצר ביותר.
• עלות נמוכה ביותר.
• תוואי דרך נוח יותר.

לפעמים השיקולים אינם מצביעים על אותה אפשרות. לכן חשוב תחילה לזהות מה בדיוק נדרש להשוות: מרחק, זמן, עלות או שילוב של כמה נתונים.

הקשר בין דרך, מהירות וזמן

בקשר בין דרך, מהירות וזמן משתמשים בנוסחה:

דרך = מהירות × זמן

אם הדרך מסומנת באות d, המהירות באות v והזמן באות t, מתקיים:

d = v ⋅ t

מתוך הנוסחה אפשר לחלץ את המהירות:

v = d / t

ואת הזמן:

t = d / v

הנוסחה מתאימה להליכה, ריצה, רכיבה ונסיעה. אם המהירות אינה קבועה, מחשבים בנפרד את הזמן או את הדרך בכל קטע, לפי הנתונים של אותו קטע.

לדוגמה, אם עוברים 6 ק״מ במהירות 4 קמ״ש, הזמן הוא:

6 / 4 = 1.5 שעות.

המרת יחידות אורך וזמן

כדי שהנוסחה תיתן תוצאה נכונה, היחידות חייבות להתאים. אם המהירות נתונה בקילומטרים לשעה, הדרך צריכה להיות בקילומטרים והזמן בשעות.

אם המרחק נתון במטרים, ממירים לקילומטרים:

• 1,000 מטר הם 1 קילומטר.
• כדי להמיר מטרים לקילומטרים, מחלקים ב־1,000.
• כדי להמיר קילומטרים למטרים, מכפילים ב־1,000.

אם הזמן נתון בדקות, ממירים לשעות:

• 60 דקות הן שעה אחת.
• כדי להמיר דקות לשעות, מחלקים ב־60.
• כדי להמיר שעות לדקות, מכפילים ב־60.

לדוגמה, מרחק של 750 מטר הוא 0.75 ק״מ. אם המהירות היא 5 קמ״ש, הזמן הוא:

0.75 / 5 = 0.15 שעה.

כדי להציג את הזמן בדקות, מכפילים:

0.15 × 60 = 9 דקות.

המרת מהירות ליחידות נוחות

לעיתים המהירות נתונה בקילומטרים לשעה, אך המרחק קצר והזמן המבוקש הוא בדקות. במצב כזה אפשר להמיר את המהירות למטרים לדקה.

כדי לעשות זאת:

• מכפילים את מספר הקילומטרים בשעה ב־1,000 כדי לקבל מטרים לשעה.
• מחלקים ב־60 כדי לקבל מטרים לדקה.

לדוגמה, מהירות של 6 קמ״ש היא 6,000 מטר לשעה. לכן בדקה אחת עוברים:

6000 / 60 = 100 מטרים.

אם המרחק הוא 300 מטר, הזמן הוא:

300 / 100 = 3 דקות.

אפשר גם להשאיר את המהירות בקמ״ש ולהמיר את המרחק לקילומטרים ואת הזמן לשעות. העיקרון הוא שהיחידות בכל הנוסחה יהיו תואמות.

חישוב אורך של מסלול מקטעים ומצורות

את אורך המסלול מחשבים על ידי חיבור אורכי כל הקטעים. אם המסלול עובר לאורך צלעות של מצולע, משתמשים בהיקף, כלומר באורך הקו הסוגר את הצורה, או בסכום הצלעות הנתונות.

• במלבן, ההיקף הוא סכום שני האורכים ושני הרוחבים.
• בריבוע, ההיקף הוא ארבע פעמים אורך הצלע.
• במשולש, ההיקף הוא סכום שלוש הצלעות.

אם חלק מהמסלול הוא קשת של מעגל, מחשבים את אורך הקשת לפי חלק מההיקף השלם. היקף מעגל הוא:

2πr

כאשר r הוא רדיוס — המרחק ממרכז המעגל אל כל נקודה על המעגל.

אם המסלול כולל חצי מעגל, אורך הקשת הוא:

πr

אם המסלול כולל גם את הקוטר הסוגר, מוסיפים את אורך הקוטר. קוטר הוא קטע העובר דרך מרכז המעגל ומחבר שתי נקודות על המעגל, ואורכו:

2r

השוואת אורכים של מסלולים שונים

לפני חישוב זמן, לעיתים נדרש להשוות רק את אורכי המסלולים. במקרה כזה מחשבים את האורך הכולל של כל אפשרות ובודקים איזה מסלול קצר יותר.

אם המסלולים כוללים צורות שונות, יש להקפיד על כמה כללים:

• צלע משותפת נספרת רק פעם אחת בכל מסלול שבו היא מופיעה.
• חלקי מעגל מחושבים לפי הרדיוס המתאים להם.
• אם יש קטע אלכסוני, ייתכן שצריך להשתמש במשפט פיתגורס כדי לחשב את אורכו.
• אם שני מסלולים מתחילים ומסתיימים באותן נקודות, ההפרש בין אורכיהם הוא האורך העודף של המסלול הארוך.

הפרש האורכים יכול לשמש אחר כך לחישוב הפרש זמנים, אם המהירות ידועה.

משפט פיתגורס ככלי לקיצור מסלול

משפט פיתגורס משמש כאשר במסלול יש קטע אלכסוני, או כאשר בודקים אם מעבר ישיר בין שתי נקודות קצר יותר מהליכה לאורך שני קטעים ניצבים.

במשולש ישר זווית, ריבוע אורך היתר שווה לסכום ריבועי אורכי הניצבים. אם הניצבים הם a ו־b, והיתר הוא c, אז:

c² = a² + b²

היתר הוא הצלע שמול הזווית הישרה, והיא הצלע הארוכה ביותר במשולש ישר זווית.

לדוגמה, אם הליכה לאורך שני שבילים ניצבים היא 300 מטר ו־400 מטר, אפשר לבדוק את אורך הקיצור האלכסוני:

300² + 400² = 90000 + 160000 = 250000

ולכן:

c = 500

כלומר אורך הקיצור האלכסוני הוא 500 מטר. קיצור כזה רלוונטי רק אם מותר לעבור בו, ולכן יש לבדוק את תנאי המסלול ולא רק את החישוב.

מסלול המורכב מכמה קטעים

במקרים רבים המסלול אינו קטע אחד רצוף. הוא יכול לכלול שביל ישר, צלע של מלבן, קשת מעגל וקטע חזרה. כאשר המהירות משתנה מקטע לקטע, מחשבים את הזמן בכל קטע בנפרד.

לדוגמה:

• קטע ראשון באורך 1.2 ק״מ נעשה במהירות 4 קמ״ש.
• קטע שני באורך 0.8 ק״מ נעשה במהירות 2 קמ״ש.

הזמן בקטע הראשון:

1.2 / 4 = 0.3 שעה.

הזמן בקטע השני:

0.8 / 2 = 0.4 שעה.

הזמן הכולל:

0.3 + 0.4 = 0.7 שעה.

בדרך זו אפשר לבדוק גם שינוי במסלול: החלפת קטע אחד בלבד עשויה לשנות את הזמן הכולל, אף אם שאר הקטעים נשארים זהים.

השוואת זמנים במסלולים שונים

כדי להחליט איזה מסלול מהיר יותר, אין להסתפק רק באורך. מחשבים את הזמן של כל מסלול בעזרת הנוסחה:

t = d / v

אם המסלול מורכב מכמה קטעים ומהירות שונה בכל קטע, מחשבים את הזמן בכל קטע בנפרד וסוכמים. לאחר מכן משווים את סכומי הזמנים.

מסלול ארוך יותר יכול להיות מהיר יותר אם נוסעים או הולכים בו במהירות גבוהה יותר, או אם הוא רצוף ונוח יותר.

לדוגמה:

• מסלול ראשון באורך 2 ק״מ, במהירות 4 קמ״ש:
  2 / 4 = 0.5 שעה.
• מסלול שני באורך 2.4 ק״מ, במהירות 6 קמ״ש:
  2.4 / 6 = 0.4 שעה.

המסלול השני ארוך יותר, אך זמן המעבר בו קצר יותר.

אם רוצים למצוא את הפרש הזמנים, מחסרים את הזמן הקצר מהזמן הארוך. אם ההפרש מתקבל בשבר של שעה, מכפילים ב־60 כדי להציגו בדקות.

מסלולים מעגליים וחלקי מעגל

במסלולים מעגליים משווים לעיתים בין הקפה שלמה, חלק ממעגל ומעבר בין מעגלים. אם שני מסלולים דומים אך רדיוסיהם שונים, אורך ההקפה תלוי ברדיוס: ככל שהרדיוס גדול יותר, ההיקף גדול יותר.

אם קוטר המסלול החיצוני גדול פי מספר נתון מקוטר הפנימי, גם היקפו גדול פי אותו מספר, משום שההיקף פרופורציוני לקוטר. כאשר עוברים חלק ממעגל, מחשבים את אותו חלק מההיקף.

אם יש שביל שמחבר בין מסלולים, מוסיפים גם את אורך השביל. לכן מסלול הכולל מעבר בין שני מעגלים אינו מורכב רק מקשת, אלא גם מקטעי חיבור ישרים.

עלות ותנאי דרך כחלק מההחלטה

בחלק מהשאלות ההחלטה אינה רק לפי זמן או מרחק. מסלול עשוי להיות כרוך בעלות נסיעה, כגון כביש אגרה, או להיות מושפע מתנאי דרך, כגון פקקים, שביל עפר או דרך שאינה רצופה.

אם העלות תלויה במרחק, מחשבים אותה לפי:

עלות = מחיר לקילומטר × דרך

אם יש עלות קבועה, כגון תשלום בכניסה לכביש אגרה, מוסיפים אותה לעלות הנסיעה. אם תנאי הדרך מקשים על התנועה, המהירות הממוצעת קטנה, ולכן הזמן בפועל גדל.

כאשר יש כמה שיקולים, צריך לפרט מהי מטרת הבחירה:

• אם המטרה היא זמן קצר ביותר, משווים זמנים.
• אם המטרה היא עלות נמוכה ביותר, משווים עלויות.
• אם יש פשרה בין זמן לעלות, מציגים את שני ההפרשים ומסבירים איזה שיקול נבחר.