מדדי מרכז בסטטיסטיקה: שכיח, חציון, ממוצע וממוצע משוקלל

סטטיסטיקה תיאורית עוסקת בתיאור קבוצת נתונים גדולה באמצעות מספר מצומצם של מאפיינים. מדדי מרכז הם כלים שמטרתם לתאר את מרכז ההתפלגות בערך אחד טיפוסי או מייצג. בשיעור זה נבחן את השכיח, החציון, הממוצע והממוצע המשוקלל, ונראה כיצד הם משמשים לניתוח תופעות מדעיות וחברתיות המוצגות ברשימה, בטבלה או בייצוג חזותי.

סטטיסטיקה תיאורית ומדדי מרכז

כאשר אוספים נתונים על קבוצה גדולה, למשל ציוני מבחן, שעות התנדבות או זמני המתנה, קשה להסיק מסקנה מכל פרט בנפרד. לכן מסכמים את הנתונים בעזרת מדדים. מדד מרכז הוא ערך מספרי שמנסה לייצג את המקום שבו מתרכזים רוב הנתונים.

הנתונים יכולים להופיע בדרכים שונות:

• רשימת מספרים.
• טבלת שכיחויות.
• דיאגרמת עמודות.
• דיאגרמת עיגול.
• גרף או תרשים אחר.

חשוב להבחין בין משתנה כמותי לבין משתנה איכותי. משתנה כמותי הוא נתון מספרי שאפשר לבצע עליו חישובים, כגון גובה, ציון או מספר שעות. משתנה איכותי מתאר תכונה שאינה מספרית, כגון אזור מגורים או סוג פעילות. עבור משתנה איכותי אין משמעות לחישוב ממוצע או חציון, אך אפשר לבדוק מהו הערך השכיח.

שכיח

שכיח הוא הערך שמופיע במספר הפעמים הגדול ביותר בקבוצת הנתונים. בטבלת שכיחויות, השכיח הוא הערך ששכיחותו הגדולה ביותר. בדיאגרמת עמודות, הוא מתאים לעמודה הגבוהה ביותר. בדיאגרמת עיגול, כאשר מדובר בשכיחויות יחסיות, הוא מתאים לגזרה הגדולה ביותר.

השכיח מתאים במיוחד כאשר רוצים לדעת מהו הערך הנפוץ ביותר. הוא יכול לשמש גם משתנה כמותי וגם משתנה איכותי. ייתכן מצב שבו יש יותר משכיח אחד: אם שני ערכים או יותר מופיעים באותה שכיחות מרבית, לכל אחד מהם יש מעמד של שכיח.

נבחן דוגמה חברתית: קבוצת תלמידים השתתפה בסקר לבחירת אזור לטיול. התוצאות הוצגו בדיאגרמת עיגול: אזור אילת 40%, אזור ים המלח 25%, הגליל 20%, הנגב 15%. הגזרה הגדולה ביותר היא אזור אילת, ולכן מקום הטיול השכיח הוא אזור אילת. במקרה זה אין צורך לחשב ממוצע או חציון, משום שהמשתנה הוא איכותי: אין משמעות מספרית לחישוב ממוצע של מקומות.

חציון

חציון הוא הערך שנמצא באמצע סדרת הנתונים לאחר סידורה בסדר עולה או יורד. החציון מחלק את הנתונים לשני חלקים שווים: מחצית הנתונים קטנה ממנו או שווה לו, ומחציתם גדולה ממנו או שווה לו.

אופן החישוב:

• אם מספר הנתונים אי זוגי, החציון הוא האיבר האמצעי.
• אם מספר הנתונים זוגי, החציון הוא הממוצע של שני האיברים האמצעיים.

לדוגמה, בסדרה 3, 5, 7, 9, 12 יש חמישה נתונים, ולכן החציון הוא האיבר השלישי: 7. בסדרה 2, 4, 6, 8, 10, 12 יש שישה נתונים, ושני האיברים האמצעיים הם 6 ו־8, ולכן החציון הוא 7.

כאשר הנתונים נתונים בטבלת שכיחויות, מוצאים את החציון בעזרת שכיחות מצטברת: סופרים כמה נתונים יש עד כל ערך, ומאתרים את הערך שמחצית הנתונים נמצאת עד אליו או לפניו. אם יש מספר זוגי של נתונים, ייתכן צורך לחשב ממוצע בין שני ערכים סמוכים.

החציון שימושי כאשר בנתונים יש ערכים קיצוניים חריגים. ערכים כאלה אינם משפיעים עליו ישירות כפי שהם משפיעים על הממוצע, ולכן הוא עשוי לייצג טוב יותר את הערך הטיפוסי שבקבוצה.

ממוצע חשבוני

ממוצע חשבוני הוא סכום כל הנתונים חלקי מספר הנתונים. זהו המדד שמשתמש בכל הערכים שבקבוצה, ולכן הוא רגיש לשינוי בכל נתון, ובמיוחד לערכים קיצוניים.

אם הנתונים הם 70, 80 ו־90, הממוצע הוא:

(70 + 80 + 90) / 3 = 80.

כאשר הנתונים מופיעים בטבלת שכיחויות, מכפילים כל ערך בשכיחותו, מחברים את המכפלות ומחלקים בסך כל השכיחויות. לדוגמה, אם בקבוצה יש שני תלמידים עם ציון 70, שלושה תלמידים עם ציון 80 וחמישה תלמידים עם ציון 90, סכום הציונים הוא:

2×70 + 3×80 + 5×90 = 140 + 240 + 450 = 830.

מספר התלמידים הוא 10, ולכן הממוצע הוא 83.

הממוצע מתאים כאשר רוצים לשקלל את כל הנתונים ולהבין את הערך הכולל שלהם. לדוגמה, ממוצע ציונים של תלמיד מבטא את כלל הישגיו במבחנים. עם זאת, אם תלמיד קיבל ברוב המבחנים ציונים סביב 80, אך קיבל ציון חריג נמוך מאוד או גבוה מאוד, הממוצע עלול להשתנות במידה שאינה משקפת את רוב הציונים.

ממוצע משוקלל

ממוצע משוקלל הוא ממוצע שבו לכל נתון יש חשיבות, או משקל, שונה. במקום להתייחס לכל הערכים כאילו הם שווים, מכפילים כל ערך במשקל שלו, מחברים את התוצאות ומחלקים בסכום המשקלות.

דוגמה פשוטה: ציון סופי מורכב מציון מבחן שמשקלו 70% ומציון מטלה שמשקלו 30%. אם ציון המבחן הוא 80 וציון המטלה הוא 90, הממוצע המשוקלל הוא:

0.7×80 + 0.3×90 = 56 + 27 = 83.

ממוצע משוקלל נחוץ גם כאשר מאחדים שתי קבוצות או יותר. אם ידוע הממוצע של כל קבוצה ומספר הפריטים בה, אי אפשר פשוט לחשב ממוצע של שני הממוצעים, אלא אם שתי הקבוצות שוות בגודלן. יש לשקלל לפי גודל כל קבוצה.

לדוגמה, בכיתה אחת יש 20 תלמידים וממוצע הציונים הוא 70. בכיתה אחרת יש 30 תלמידים וממוצע הציונים הוא 80. הממוצע המשותף של כלל התלמידים הוא:

(20×70 + 30×80) / (20 + 30) = (1400 + 2400) / 50 = 76.

התוצאה 76 קרובה יותר לממוצע הכיתה הגדולה, משום שלכיתה שבה 30 תלמידים יש השפעה גדולה יותר על הממוצע המשותף. חישוב פשוט של (70 + 80) / 2 היה נותן 75, אך הוא אינו מתחשב בכך שהקבוצות אינן שוות.

השפעת שינויים בנתונים על מדדי המרכז

בניתוח מידע סטטיסטי נדרשים לעיתים לבחון כיצד שינוי בנתונים משפיע על המדדים. הוספת נתון חדש משפיעה על הממוצע בהתאם לערכו: אם הנתון החדש שווה לממוצע הקיים, הממוצע לא ישתנה; אם הוא גדול ממנו, הממוצע יעלה; אם הוא קטן ממנו, הממוצע ירד.

החציון תלוי במיקום הנתון החדש לאחר סידור הסדרה, ולכן ייתכן שלא ישתנה כלל, או שישתנה רק במעט. השכיח תלוי בשכיחויות: אם הנתון החדש אינו משנה את הערך בעל השכיחות המרבית, השכיח יישאר ללא שינוי.

בחירת מדד מרכז לתיאור תופעה מדעית או חברתית

מדדי המרכז אינם זהים בתפקידם. הבחירה ביניהם תלויה בסוג המשתנה, באופן הצגת הנתונים ובמטרת הניתוח.

• שכיח מתאים כאשר השאלה היא מהו הערך הנפוץ ביותר. הוא יכול לשמש גם נתונים איכותיים, כגון בחירת אזור טיול או סוג פעילות חברתית.
• חציון מתאים כאשר רוצים ערך אמצעי שאינו מושפע מאוד מערכים קיצוניים. לדוגמה, בניתוח זמני המתנה שבו יש כמה מקרים חריגים וארוכים במיוחד, החציון עשוי לתאר טוב יותר את זמן ההמתנה של מחצית הפונים.
• ממוצע מתאים כאשר כל הנתונים חשובים ורוצים לחשב ערך כולל. הוא שימושי בציונים, במדידות מדעיות ובנתונים שאין בהם חריגות קיצוניות.
• ממוצע משוקלל מתאים כאשר לערכים שונים יש חשיבות שונה, או כאשר מאחדים קבוצות בגדלים שונים.

בעת קריאת ייצוג חזותי, יש לזהות תחילה מהו המשתנה ומהי יחידת המדידה. בדיאגרמת עמודות או עיגול אפשר לזהות במהירות את השכיח לפי העמודה הגבוהה או הגזרה הגדולה. כדי לחשב חציון או ממוצע, יש צורך בדרך כלל לעבור מהייצוג החזותי לנתונים מספריים או לטבלת שכיחויות: רושמים את הערכים ואת מספר הפעמים שבהם הם מופיעים, ואז מחשבים לפי ההגדרות.

כאשר מציגים תופעה חברתית או מדעית, חשוב לבחור את המדד שאינו רק נוח לחישוב, אלא גם מייצג נכון את התופעה. לדוגמה, אם רוב הנתונים מרוכזים סביב ערך מסוים אך יש כמה ערכים חריגים, הממוצע עלול להיות גבוה או נמוך ממה שמרגיש המרכז. במקרה כזה, הצגת החציון לצד הממוצע יכולה לתת תמונה מדויקת יותר.