קדומות ואינטגרלים לא־מסוימים

השיעור עוסק בפעולה ההפוכה לגזירה: מציאת פונקציה שהנגזרת שלה היא פונקציה נתונה. נגדיר את הפונקציה הקדומה ואת האינטגרל הלא־מסוים, נציג טבלת קדומות בסיסית, ננסח את כללי הליניאריות ונראה כיצד קבוע האינטגרציה מבטא את כל הפתרונות האפשריים. לבסוף נבדוק את נכונות התוצאה בעזרת גזירה.

הגדרת פונקציה קדומה ואינטגרל לא־מסוים

תהי $f$ פונקציה המוגדרת בתחום $I$. פונקציה $F$ נקראת פונקציה קדומה של $f$ בתחום $I$ אם $F'(x)=f(x)$ לכל $x\in I$. למשל, $F(x)=x^2$ היא פונקציה קדומה של $f(x)=2x$, משום ש-$F'(x)=2x$. באותו אופן, $F(x)=\sin x$ היא קדומה של $f(x)=\cos x$.

האינטגרל הלא־מסוים של $f$ הוא אוסף כל הפונקציות הקדומות שלה. הוא מסומן כך:

$\int f(x)\,dx = F(x)+C$

הביטוי $f(x)$ שבתוך סימן האינטגרל נקרא אינטגרנד, והסימן $dx$ מציין שהאינטגרציה נעשית לפי המשתנה $x$. כאשר כותבים $\int 2x\,dx$, הכוונה היא למציאת כל הפונקציות שהנגזרת שלהן היא $2x$.

אם $F$ היא פונקציה קדומה של $f$ בתחום קשיר — קטע, קרן או הישר כולו — אז כל פונקציה קדומה אחרת של $f$ באותו תחום היא מהצורה $F(x)+C$, עבור קבוע כלשהו $C$. הסיבה לכך נובעת ישירות מכללי הגזירה: אם $G$ ו-$F$ הן שתי פונקציות קדומות של $f$, אז $(G-F)'=F'-F'=f-f=0$, ולכן $G-F$ היא פונקציה קבועה בתחום קשיר.

כאשר תחום ההגדרה אינו קשיר, יש להקפיד יותר. לדוגמה, עבור $f(x)=\frac{1}{x}$ בתחום שאינו כולל את $0$, אפשר לבחור קבוע שונה בכל ענף של התחום. בקורס זה נעסוק בעיקר בתחומים קשירים, ולכן נהוג לכתוב קבוע אינטגרציה אחד.

טבלת קדומות נפוצה

טבלת הקדומות מתקבלת ישירות מטבלת הנגזרות: בכל שורה, הנגזרת של הפונקציה שבעמודת הקדומה היא הפונקציה שבעמודת הפונקציה. לכן מציאת קדומה היא לעיתים קרובות היפוך מיידי של פעולת הגזירה.

פונקציה $f(x)$	קדומה $F(x)$
$a$	$ax$
$x^n,\ n\neq -1$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}$
$\frac{1}{x}$	$\ln
$e^x$	$e^x$
$\sin x$	$-\cos x$
$\cos x$	$\sin x$

בטבלה מוצגת קדומה אחת בלבד לכל פונקציה. את קבוע האינטגרציה $C$ מוסיפים לתוצאה הסופית של האינטגרל, ולא לכל שורה בנפרד. לדוגמה:

$\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4}+C$

משום שהנגזרת של $\frac{x^4}{4}$ היא $x^3$. באופן דומה:

$\int \cos x\,dx = \sin x+C$

משום ש-$(\sin x)'=\cos x$.

יש להקפיד על התנאים המופיעים בטבלה. הנוסחה $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ אינה חלה כאשר $n=-1$, ולכן האינטגרל $\int \frac{1}{x}dx$ מטופל בנפרד ונותן $\ln|x|+C$. כמו כן, עבור פונקציות טריגונומטריות יש לשים לב לתחומים שבהם הפונקציה מוגדרת. קדומות נפוצות נוספות מתקבלות מאותו עיקרון, למשל $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}+C$ עבור $a>0,\ a\neq 1$, ו-$\int \frac{1}{\cos^2 x}dx = \tan x+C$ בתחומים שבהם $\cos x\neq 0$.

כללי ליניאריות באינטגרציה

האינטגרל הלא־מסוים מקיים את כללי הליניאריות המוכרים מגזירה. עבור פונקציות $f,g$ וקבוע $a$:

• $\int [f(x)+g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$
• $\int [f(x)-g(x)]dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx$
• $\int a f(x)dx = a\int f(x)dx$

הכלל האחרון אומר שגורם קבוע בלבד אפשר להוציא מחוץ לאינטגרל. אין להוציא גורם התלוי ב-$x$, כגון $x$ או $\sin x$, מחוץ לאינטגרל. כלומר, $\int x f(x)dx$ אינו שווה ל-$x\int f(x)dx$ באופן כללי.

דוגמה: נחשב את האינטגרל

$\int (3x^2-8x+5)\,dx$

נפצל את האינטגרל לפי סכום האיברים ונוציא את המקדמים הקבועים:

$$\int (3x^2-8x+5)\,dx =3\int x^2\,dx -8\int x\,dx +5\int 1\,dx$$

כעת נשתמש בטבלת הקדומות:

$$3\cdot \frac{x^3}{3} -8\cdot \frac{x^2}{2}+5x+C = x^3-4x^2+5x+C$$

לכן:

$\int (3x^2-8x+5)\,dx = x^3-4x^2+5x+C$

קבוע האינטגרציה ומשמעותו הגרפית

הקבוע $C$ אינו סימון פורמלי בלבד; הוא חלק הכרחי של התשובה. מכיוון שנגזרתו של כל קבוע היא $0$, פעולת הגזירה אינה משמרת מידע על הזזה אנכית של הפונקציה. לכן, אם נמצא קדומה אחת של פונקציה נתונה, לא נוכל לדעת ממנה בלבד מהי ההזזה האנכית המקורית, ויש להשאיר את כל האפשרויות פתוחות.

דוגמה: עבור האינטגרל

$\int 6x\,dx$

הפונקציה $3x^2$ היא קדומה אחת, אך גם $3x^2+1$, $3x^2-7$ וכל פונקציה מהצורה $3x^2+C$ הן קדומות של $6x$. הנגזרת של כל אחת מהן היא $6x$, ולכן כולן לגיטימיות.

מבחינה גרפית, כל בחירה של $C$ מזיזה את הגרף אנכית מבלי לשנות את השיפוע שלו באף נקודה. לכן כל הגרפים של $y=3x^2+C$ הם פרבולות בעלות אותה צורה ואותו שיפוע בכל ערך $x$, אך הן חותכות את ציר $y$ בגבהים שונים. בדיוק מסיבה זו כותבים את התשובה עם $+C$: כדי לתאר את כל משפחת הקדומות ולא רק ענף אחד שלה.

אימות תוצאת אינטגרציה באמצעות גזירה

הדרך הישירה ביותר לבדוק תוצאת אינטגרציה היא לגזור את הפונקציה שהתקבלה. אם מצאנו ש-

$\int f(x)\,dx = H(x)+C$

אז נגזור את $H(x)+C$. אם הנגזרת היא $f(x)$, התוצאה נכונה. אם מתקבל ביטוי שונה, יש לבדוק אם נפלה טעות במקדם, בסימן, או בזיהוי הקדומה.

דוגמה: נבדוק את התוצאה

$\int (4x^3-6x+2)\,dx = x^4-3x^2+2x+C$

נגזור את אגף ימין:

$(x^4-3x^2+2x+C)' = 4x^3-6x+2$

הנגזרת זהה לאינטגרנד המקורי, ולכן התוצאה נכונה.

דוגמה קצרה לזיהוי שגיאה: אם עבור $\int 3x^2 dx$ נכתוב בטעות $3x^3+C$, נגזור ונקבל $9x^2$. מכיוון ש-$9x^2\neq 3x^2$, נבין שהמקדם שגוי. התיקון המתאים הוא $x^3+C$, שכן הנגזרת של $x^3$ היא $3x^2$.

חישוב משולב של אינטגרל לא־מסוים

נחשב אינטגרל המשלב כמה סוגי פונקציות:

$\int \left(2e^x+\frac{3}{x}-8x^3\right)dx$

תחילה נשתמש בליניאריות ונוציא את הקבועים מחוץ לאינטגרלים:

$$\int \left(2e^x+\frac{3}{x}-8x^3\right)dx =2\int e^x\,dx +3\int \frac{1}{x}\,dx -8\int x^3\,dx$$

כעת נשתמש בטבלת הקדומות:

$2e^x +3\ln|x| -8\cdot \frac{x^4}{4}+C$

נפשט את המקדם:

$2e^x +3\ln|x| -2x^4+C$

לכן:

$$\int \left(2e^x+\frac{3}{x}-8x^3\right)dx =2e^x +3\ln|x| -2x^4+C$$

נאמת את התוצאה באמצעות גזירה:

$(2e^x +3\ln|x| -2x^4+C)' = 2e^x+\frac{3}{x}-8x^3$

הנגזרת שהתקבלה היא בדיוק האינטגרנד המקורי, ולכן החישוב נכון.