בדיקת תלות בין מאורעות

כאשר שני מאורעות שייכים לאותו ניסוי, הידיעה שאחד מהם התרחש עשויה לשנות את הסיכוי להתרחשות השני או להותיר אותו ללא שינוי. הרעיון המרכזי הוא השוואה בין הסתברות החיתוך של המאורעות לבין מכפלת ההסתברויות שלהם, או בין הסתברות מותנית לבין הסתברות רגילה. מתוך ההשוואה הזאת אפשר לקבוע אם המאורעות תלויים, בלתי תלויים או זרים.

כלל הכפל לחיתוך מאורעות

החיתוך של שני מאורעות, המסומן $A \cap B$, הוא המאורע שבו מתרחשים גם $A$ וגם $B$. כדי לחשב את ההסתברות לחיתוך, משתמשים בכלל הכפל. הצורה הכללית של הכלל היא:

$P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B)$

הביטוי $P(B|A)$ נקרא הסתברות מותנית: זו ההסתברות שהמאורע $B$ יתרחש, בהינתן שהמאורע $A$ כבר התרחש. לכן כלל הכפל אומר שמחשבים תחילה את ההסתברות למאורע אחד, ואז מכפילים אותה בהסתברות למאורע השני לאחר שהמידע על המאורע הראשון ידוע.

אם ידועה הסתברות מותנית, משתמשים בה ישירות. אם $P(A)=0.4$ ו-$P(B|A)=0.5$, אז $P(A \cap B)=0.4\cdot 0.5=0.2$. אם אין נתון על הסתברות מותנית, אין להניח אוטומטית שההסתברות של $B$ אינה מושפעת מ-$A$.

מאורעות בלתי תלויים

שני מאורעות $A$ ו-$B$ הם בלתי תלויים כאשר התרחשות אחד מהם אינה משנה את ההסתברות להתרחשות השני. כאשר $P(A)>0$ ו-$P(B)>0$, אפשר לתאר אי־תלות כך:

$P(B|A)=P(B)$

וגם:

$P(A|B)=P(A)$

מכאן נובעת הצורה המוכרת של כלל הכפל עבור מאורעות בלתי תלויים:

$P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)$

אין להשתמש בנוסחת המכפלה הזאת רק משום שנראה שהמאורעות אינם קשורים. משתמשים בה רק אם נאמר במפורש שהמאורעות בלתי תלויים, או אם ההקשר מראה זאת ללא ספק, למשל שני ניסויים שנערכים בנפרד ואין ביניהם השפעה.

אם שני ניסויים בלתי תלויים מתבצעים, וההסתברות להצלחה בניסוי הראשון היא 0.7 וההסתברות להצלחה בניסוי השני היא 0.4, אז ההסתברות להצלחה בשני הניסויים יחד היא:

$0.7\cdot 0.4=0.28$

באותו אופן, ההסתברות לכישלון בשני הניסויים היא מכפלת ההסתברויות לכישלון בכל ניסוי:

$(1-0.7)\cdot(1-0.4)=0.3\cdot 0.6=0.18$

בדיקת אי־תלות מתוך נתונים

כדי לבדוק אם מאורעות הם בלתי תלויים, משווים את הסתברות החיתוך שלהם למכפלת ההסתברויות הנפרדות. אם נתון $P(A)$, $P(B)$ ו-$P(A \cap B)$, בודקים האם מתקיים:

$P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)$

אם השוויון מתקיים, המאורעות בלתי תלויים. אם הוא אינו מתקיים, הם תלויים.

לעיתים נתונות ההסתברויות של $A$, של $B$ ושל האיחוד $A \cup B$. במקרה כזה תחילה מחשבים את החיתוך בעזרת הנוסחה:

$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

ולכן:

$P(A \cap B)=P(A)+P(B)-P(A \cup B)$

אחרי חישוב החיתוך משווים אותו למכפלה $P(A)\cdot P(B)$. אם $P(A)=0.2$, $P(B)=0.5$ ו-$P(A \cup B)=0.6$, אז:

$P(A \cap B)=0.2+0.5-0.6=0.1$

ומכפלת ההסתברויות היא:

$0.2\cdot 0.5=0.1$

במקרה זה מתקיים השוויון, ולכן המאורעות בלתי תלויים. אם החיתוך שונה מן המכפלה, המאורעות תלויים.

דרך נוספת לבדוק תלות היא באמצעות הסתברות מותנית. אם נתון ש-$P(A|B)=P(A)$, אז הידיעה שהמאורע $B$ התרחש לא שינתה את ההסתברות של $A$, ולכן המאורעות בלתי תלויים. אם $P(A|B)\neq P(A)$, המאורעות תלויים.

מאורעות זרים אינם מאורעות בלתי תלויים

מאורעות זרים הם מאורעות שאינם יכולים להתרחש יחד. אם $A$ ו-$B$ זרים, אז החיתוך שלהם ריק:

$A \cap B=\varnothing$

ולכן:

$P(A \cap B)=0$

זרות נראית לפעמים כמו מצב של "אין קשר", אך למעשה היא מצביעה על תלות ברורה. אם שני המאורעות בעלי הסתברות חיובית, כלומר $P(A)>0$ ו-$P(B)>0$, אז המכפלה $P(A)\cdot P(B)$ חיובית. לעומתה, הסתברות החיתוך של מאורעות זרים היא 0. לכן השוויון הנדרש לאי־תלות אינו מתקיים.

במילים פשוטות: אם ידוע שהמאורע $B$ התרחש, והמאורעות $A$ ו-$B$ זרים, אז ברור שהמאורע $A$ לא התרחש. לכן:

$P(A|B)=0$

ואילו ההסתברות המקורית של $A$ היא $P(A)$, שהיא חיובית. הידיעה על $B$ שינתה את ההסתברות של $A$ מן הערך $P(A)$ לערך 0, ולכן המאורעות תלויים.

לדוגמה, בהטלת קובייה אפשר להגדיר את $A$: "התוצאה זוגית", ואת $B$: "התוצאה אי־זוגית". שני המאורעות זרים, כי תוצאה אינה יכולה להיות גם זוגית וגם אי־זוגית. עם זאת, הם אינם בלתי תלויים: אם ידוע שהתוצאה אי־זוגית, ההסתברות לתוצאה זוגית היא 0, אף שלפני הידיעה היא הייתה $1/2$.

הבחנה בין זרות לבין אי־תלות

ההבדל בין זרות לאי־תלות הוא בהגדרה ובמשמעות. זרות היא תכונה של החיתוך: אין אף תוצאה משותפת לשני המאורעות. אי־תלות היא תכונה של ההשפעה: הידיעה על מאורע אחד אינה משנה את ההסתברות של המאורע האחר.

לכן יש להבחין בין שלושה מצבים:

• מאורעות יכולים להיות בלתי תלויים ולא זרים: הם יכולים להתרחש יחד, וההסתברות לחיתוך שווה למכפלת ההסתברויות.
• מאורעות יכולים להיות תלויים ולא זרים: הם יכולים להתרחש יחד, אך התרחשות אחד מהם משנה את ההסתברות של השני.
• מאורעות זרים בעלי הסתברות חיובית הם תלויים, משום שהתרחשות אחד מהם שוללת את התרחשות השני.