השוואת כסף בין תקופות

כסף שמתקבל היום אינו שקול לאותו סכום שיתקבל בעתיד, כי אפשר לצבור עליו ריבית לאורך זמן. לכן כדי להשוות סכומים במועדים שונים, יש להביא אותם למועד משותף באמצעות הריבית. בשיעור זה נבחין בין ערך עתידי לערך נוכחי ונראה כיצד מחשבים אותם עבור תקבול או תשלום יחיד ועבור סדרה של תקבולים או תשלומים.

ערך הזמן של הכסף והנחות היסוד

הריבית היא מחיר הזמן של הכסף: היא מבטאת את הפיצוי שמקבל מי שדוחה שימוש בכסף מההווה לעתיד. לכן שקל היום שווה יותר משקל בעוד שנה, אם הריבית חיובית.

בתקבול, מועד קבלה מוקדם יותר עדיף, כי אפשר לצבור ריבית עד המועד המאוחר. בתשלום, מועד מאוחר יותר עדיף בהיעדר תנאים אחרים, כי הכסף יכול להישאר בידי המשלם ולצבור ריבית. עם זאת, העדפה זו אינה מחליפה את הצורך לכמת את ההפרש באמצעות ריבית.

בקורס נהוג לפשט את הדיון באמצעות הנחת שוק הון משוכלל: כל עוד לא נאמר אחרת, אפשר לחסוך או ללוות כל סכום, והריבית זהה לכל המשתתפים. הנחה זו מאפשרת להשתמש בריבית אחת, r, כדי להעביר סכומים בין תקופות.

נסמן:

• PV — ערך נוכחי, כלומר שווי הכסף במועד 0, היום.
• FV_t — ערך עתידי, כלומר שווי הכסף בעוד t תקופות.
• r — ריבית תקופתית, למשל ריבית שנתית אם התקופה היא שנה.
• t — מספר התקופות עד המועד העתידי.

חישוב ערך עתידי באמצעות צבירת ריבית

הערך העתידי של סכום חד־פעמי מתקבל מצבירת ריבית לאורך התקופות. אם מפקידים סכום PV בריבית תקופתית r, לאחר תקופה אחת מתקבל PV(1+r), ולאחר t תקופות מתקבל:

FV_t = PV(1+r)^t

הגורם (1+r)^t מבטא את צבירת הריבית על פני t תקופות. כל תקופה הריבית מצטרפת לקרן, ובתקופה הבאה גם היא צוברת ריבית.

דוגמה: הפקדה של 100 ש"ח בריבית שנתית של 10% תניב לאחר שנה אחת 110 ש"ח, לאחר שנתיים 121 ש"ח, ולאחר t שנים 100(1.10)^t ש"ח. אם הריבית היא 5%, יש להציב r=0.05; אם הריבית היא 10%, יש להציב r=0.10.

חישוב ערך נוכחי באמצעות היוון

כדי להשוות סכום עתידי לסכום שבידינו היום, יש להפוך אותו לערך של היום. פעולה זו נקראת היוון. ערך נוכחי של סכום עתידי FV_t, שיתקבל בעוד t תקופות, הוא:

PV = FV_t / (1+r)^t

החלוקה ב־(1+r)^t מבטלת את השפעת צבירת הריבית ומחזירה את הסכום למועד 0.

דוגמה: אם הריבית השנתית היא 10%, סכום של 110 ש"ח שיתקבל בעוד שנה שווה היום 100 ש"ח, כי 110/(1.10)=100. באופן דומה, 121 ש"ח שיתקבלו בעוד שנתיים שווים היום 100 ש"ח, כי 121/(1.10)^2=100.

לערך הנוכחי יש שתי פרשנויות שימושיות:

• כמה כסף צריך להפקיד היום בחיסכון בריבית r, כדי לקבל בעתיד את הסכום FV_t.
• כמה כסף אפשר לקבל היום כהלוואה, אם ההחזרים העתידיים הם הסכומים FV_t.

הבאת כמה תקבולים או תשלומים למועד משותף

כאשר יש כמה תקבולים או תשלומים במועדים שונים, אין מחברים אותם ישירות. תחילה מביאים את כולם לאותו מועד, בדרך כלל למועד 0, ורק אז מסכמים או משווים.

דוגמה: נניח שפרויקט דורש השקעה של 100 ש"ח היום ומניב 60 ש"ח בעוד שנה ו־60 ש"ח בעוד שנתיים. הריבית השנתית היא 10%.

תקופה t	תקבול עתידי	מקדם היוון	ערך נוכחי
1	60	1/(1.10)	54.55
2	60	1/(1.10)^2	49.59
סך הכול			104.14

סכום הערכים הנוכחיים של התקבולים הוא כ־104.14 ש"ח. כעת אפשר להשוות אותו להשקעה של 100 ש"ח במועד 0. מכיוון ששני הסכומים נמצאים באותו מועד, ההשוואה תקפה.

אפשר גם להביא את כל הסכומים למועד עתידי משותף. בדוגמה שלעיל, אם בוחרים במועד סוף שנה 2, ההשקעה של 100 ש"ח היום תצמח ל־121 ש"ח, התקבול של 60 ש"ח מסוף שנה 1 יצמח ל־66 ש"ח, והתקבול של 60 ש"ח בסוף שנה 2 נשאר 60 ש"ח. סכום התקבולים במועד זה הוא 126 ש"ח, לעומת 121 ש"ח שהיו מתקבלים מהשקעה חלופית של 100 ש"ח. גם כאן מתקבלת אותה מסקנה כלכלית, משום ששני הצדדים הובאו לאותו מועד.

ריבית תקופתית ומספר תקופות

הנוסחאות אינן מוגבלות לשנים בלבד. הן תקפות לכל תקופה: שנה, חצי שנה, רבעון או חודש, ובלבד שיש התאמה בין הריבית לבין מספר התקופות.

כל עוד לא נאמר אחרת, נהוג בקורס להניח שהתקופה היא שנה והריבית היא שנתית. אם הריבית הנתונה היא שנתית, גם t נמדד בשנים. לכן תקבול שיתקבל בעוד חצי שנה יחושב עם t=0.5, ותקבול שיתקבל בעוד שלוש שנים יחושב עם t=3.

אם בשאלה נתונה ריבית תקופתית שאינה שנתית, יש להשתמש בה ישירות. לדוגמה, אם הריבית היא 2% לרבעון, יש להציב r=0.02, ו־t הוא מספר הרבעונים. סכום שיתקבל בעוד 8 רבעונים יחושב לפי (1.02)^8.

כללים חשובים בעבודה עם תקופות:

• יש להמיר אחוזים לשבר עשרוני לפני הצבה בנוסחה: 5% הם 0.05.
• יש להקפיד ש־r ו־t מתייחסים לאותה יחידת זמן.
• אם מועד נתון בחודשים ובריבית שנתית, אפשר להשתמש ב־t כחלק משנה, למשל 9 חודשים = 0.75 שנה.
• לפני השוואת חלופות, יש להביא כל תקבול ותשלום לאותו מועד משותף.

בכל חישוב שכולל כמה מועדים, יש לבדוק תחילה מהי התקופה הרלוונטית, ורק לאחר מכן להציב את הריבית ואת מספר התקופות.